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1、时间：二O二一年七月二十九日三角形四心的向量问题之阿布王创作时间：二O二一年七月二十九日三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形 式一.知识点总结1) O是 ABC 的重心 OA OB OC 0；1S BOC 2 2 3) O是 ABC 的夕卜心 |OA | |OB | |OC |(或 OA OB OC )若O是ABC的外心 则 BOC： S AOC： S aob sin BOC：sin AOC ：sin AOB sin2A : sin 2B : sin 2CjI. 故 sin2AOA sin 2BOB sin2COC 0 4) O是内心 ABC的充要条件是引进单位向量，使条件变
2、得更简洁。如果记 AB,BC,CA的单位 AOC S AOB 二 S ABC右O是ABC的重心，则3故 OA OB OC 0 ；PG 1(PA PB PC) G 为 ABC 的重心. 32) O是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ；若O是ABC (非直角三角形)的垂心，则 S boc : S aoc : S aob tan A : tan 向量为e1,e2,e3 ,则刚 才O是ABC内心 的充 要条 件可以 写成时间：二O二一年七月二十九日 :tan CLji故 tan AOA tan BOB tan COC 0时间：二O二一年七月二十九日OA (eie3)OB (ei e
3、?) OC (e? ea) CO是ABC内心的充要条件也可以是 aOA bOBcOC C若O是ABC的内心，则S BOC : S AOC : S AOB a :故 aOA bOB cOC CK sin AOAsin BOBsin COC C；|AB| PC | BC | PA |CA | PB C P ABC 的内心;向量（SS 42）（C）所在直线过 ABC的内心|AB| |AC|平分线所在直线）；（是BAC的角范例（一）.将平面向量与三角形内心结合考查例1. O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点 P满足OP OA瑞兽,ABAC一定通过ABC 的（(A)外心（B）内心（
4、C）重心（D）垂心C, 则P点的轨迹解析：因为曾是向量方的单位向量设ABAB与 筋方向上的单位向量分别为0和e2 ,可化为APABC 中,（q %）,由菱形的基赋性质知AP平分BAC,则知选B.又 OP OA AP , AP平分 BAC,则原式那么在点评:这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基赋性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能 迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”时间：二O二一年七月二十九日时
5、间：二O二一年七月二十九日例2. H是 ABC所在平面内任一点，HA HB HB HC HC HA 点H 是 ABC的垂心.由 HA HB HB HC HB （HC HA） 0 HB AC 0 HB AC,同理HC AB , HA BC.故H是 ABC的垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是 ABC所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA, 则P是4ABC的（D ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解析：由 pA pb pB pc彳#pA pB pB pc 0.即 pB （pA pc） 0,即pB cA 0贝U PB CA,同理 PA BC,PC AB所以P为ABC的垂心.
6、故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4. G是 ABC所在平面内一点，gA gB gc =0 点G是ABC的重心.证明作图如右，图中gB GC GE连结BE和CEE,则CE=GB BE=GC BGC叨平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将 GB GC GE 代入 gA GB GC =0,时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日得GA EG=0 GA GE
7、 2GD ,故G是AABC的重心.（反之亦然（证 略）例5. P是4ABC所在平面内任一点.G 是 ABC的重心1 PG （PA PB PC）.3证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)VG是 ABC的重心/. GA GB GC =0 AG BG CG =0,即 3pG pA pB PC由此可得PG -（PA PB PC）.（反之亦然（证略）3例6若O为ABC内一点，OA OB OC 0 ,则O是ABC的A.内心C.垂解析：由OA OB OC 0得OB OC OA ,如图以OB OC为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD ,由平行
8、四边形性质知OE -OD, oa 2oe|,同理可证其它两边上的这个性质，所以是 重心，选D。点评：本题需要扎实的平面几何知识， 平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为2。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的1对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。（四）.将平面向量与三角形外心结合考查例7若O 为 ABC内一点，OA lOBi lOC ,则O 是 ABC 的（ ）A.内心B .外心C .垂心D.重心时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故 O是ABC的外心，
9、选B。点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关 知识巧妙结合。(五)将平面向量与三角形四心结合考查例 8 .已知向量 函，配，OP3满足条件 op1 + op2 +OP3 =0,I 函 |=| Op；|=| Op； |=1 ,求证4P1P2P3是正三角形.(数学第一册(下)，复习参考题五B组第6题)证明 由已知op；+op；=-op；,两边平方得op； op2=同理 OP； op；=op； op；= 1，I PK|=|康|二| PK|= 6,从而 P1P2P鹿正三角形.反之，若点O是正三角形APIP2P3的中心，则显然有 op； + op2+op；=0 且|op；|=| op
10、2|=| op； |.即O是 ABC所在平面内一点，0p；+0p2 + 0p； =0 1L| Op；|=| 威 |=| Op； | 点 O是正 P1P2P；勺中 心.例9.在4ABC中，已知 Q G H分别是三角形的外心、重心、 垂心。求证： Q G H三点共线，且 QG:GH=1:2【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示 的直角坐标系。设 A(0,0)、B (x1,0)、C(x2,y2) , D E、F分别为 AR BG AC的中点，则有：时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日D (a,0)、E(j,X)、F(马 2222 2由题设可设Qt，y3)、Hg,
11、),即QH=3QG,故Q G H三点共线，且QG G【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数H=1 2算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，料向量的运算完ADC(x2,y2) Q、x全HEB(xi,0)化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地彳吉合在一起，： 从而,很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代 数运算的论证。例10.若。H分别是 ABC的外心和垂心.求证 OH OA OB OC .证明 若 ABC的垂心为H,外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于 D,连结AD, CD. AD AB , CD BC .又垂心为 H, AH BC ,CH AB ,.AH/1
12、CD CH/AD四边形AHC两平行四边形，/. AH DC DO OC ,故 OH oA AH oA oB OC .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、 重心、垂心的位置关系：(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；(2)三角形的重心在“欧拉线”上，)为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11.设。G H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.求证 OG 1OH 3证明 按重心定理 G是 ABC的重心og 1（OA
13、 OB OC）3按垂心定理OH OA OB OC由此可得 OG 12（OA +loB+2OC）可得 30P 30M 2MC , .MP 士 MC ,即0H. 3弥补练习1.已知A、B、C是平面上不共线的三点，0是三角形ABC的重心，动点P满足0P=1 （ 10A + 10B+20C）,则点 P一定为三角形 ABC的（B） 322A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点11 . B 取 AB边的中点 M,则OA OB 20M，由0P =-时间:o二一年七月二十九日3时间：二O二一年七月二十九日( D )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心2 .已知 ABC
14、的三个顶点A、B、C及平面内一点 P满足：PA PB PC 0, 则 P 为 ABC 的( C )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心3 .已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：Op Oa (Ab Ac), 则 P的轨迹一定通过4ABC的( C )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心4 .已知 ABC P为三角形所在平面上的动点，且动点 P满足：PA? PC PA?PB PB?PC 0, 则 P 点为三角形的( D )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心5 .已知 ABC P为三角形所在平面上的一点，且点 P满足：a PA b PB c?PC 0, 则 P
15、 点为三角形的(B )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心226 .在二角形 ABC中，动点P满足：CA CB 2AB?CP,则P点轨迹 一 定 通 过 zABC 的 ：(B )时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日aB aCbC=o且|AB| |AC|A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心7 .已知非零向量 AB与AC满足（AB- + JAC ） |AB| |AC|1、，C.等腰非等边三=2 ,则 ABC 为（）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形角形 D.等边三角形解析：非零向量与满足（ ） =0,即角A的平分线垂直于 |AB| | AC|77 1.一.BC,AB=A
16、C 又 cosA & &=J ， /A=,所以 ABC为等边| AB | | AC | 23三角形，选D.8. ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH m（OA OB oC）,则实数 m = 19.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ,则点 O是 ABC 的（B ）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点x y时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日证点G是ABC的重心，知GA GB GC O,1得 AG (AB AG) (AC AG) O,有 AG -(AB AC)。又M, N, G三点共线(A不在直线 MMh),于是存在 ，使得 AG 丽 丽(且1), AG xAB yAC=-(AB AC),1得1 ,于是得-3x yx y3时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日223点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点 P不过重心，故选B.2.在同一个平面上有ABC及一点O满足关系式：0a2+BC2 =0B2 + CA2 = 0C2 + AB2 ,则 o 为 abc 的