三年级奥数三大原理分步与分类教师版.docx

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1、知识要点分步与分类生活中常有这样的情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同 的方法要知道完成这件事情共有多少种方法，就要进行分步计数。一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有 m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事一共有N mi m2 L mn种不同的方法.注：这件事要分几个彼此互不影响 的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以通过分步计数解决.我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”还有这样的一种情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中 的一种

2、方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的.那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要通过 分类计数来解决.一般地，如果完成一件事有 k类方法，第一类方法中有 g种不同做法，第二类方法中有 m2种不同做 法，第k类方法中有 叫种不同的做法，则完成这件事共有N mi m2 L 叫种不同的方法.注：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以通过分类 计数解决.我们可以简记为：“加法分类，类类独立”.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次， 分类时要注意满足两条基本原则： 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； 分别属于

3、不同两类的两种方法是不同的方法.只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确.分步【例1】一名儿童做加法游戏，在一个红口袋中装着20张分别标有数1, 2 , L , 19 , 20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1，2，L ，9，10的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数。这名儿童一共可以列出多少个加法式子？【分析】分两个步骤：第一步有20种选择第二步有10种选择20 10 200，所以这名儿童一共可以列出200个加法式子。【例2】某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种， 共有多少种不同的买法？ 【分析】分

4、两步：第一步：买一种主食，有 3种选择；第二步，买一种副食，有 5种选择；共有3 5 15种，共有15种不同的买法。【例3】书架上有6本不同的外语书,的取法？【分析】分两步：第一步：取一本外语书，有第二步：取一本语文书，有6种选择;4种选择;4本不同的语文书，从中任取外语，语文书各一本，有多少种不同共有6 424种，有24种不同的取法。【例4】书架上有6本不同的画报，10本不同的科技书，请你每次从书架上任取一本画报和一本科技书, 共有多少种不同的取法？【分析】分两步：第一步：取一本画报，有 6种选择第二步：取一本科技书，有 10种选择 一共有：6 10 60种不同的取法。100米跑，200米跑

5、四项中【例5】王英，赵明，李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远，跳高,的一项比赛，问，报名的结果会出现多少种不同的情形?【分析】 分三步：第一步：王英去报名，可报第二步：赵明去报名，可报第三步：李刚去报名，可报4个项目中的一项，有 4种选择;4个项目中的一项，有 4种选择;4个项目中的一项，有 4种选择;共有4 4 464种不同的情况。【例6】王英，赵明，李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远，跳高，100米跑，200米跑四项中的一项比赛（每个人报名的项目各不相同），问，报名的结果会出现多少种不同的情形？【分析】分三步：第一步：王英去报名，可报 第二步：赵明去报名，可报 第三步：李刚去报

6、名，可报4 个项目中的一项，有 4 种选择；3个项目中的一项，有 3 种选择；2 个项目中的一项，有 2 种选择；共有 4 3 2 24 种不同的情况。例 7】 “IMO ”是国际数学奥林匹克的缩写，现有 5 种不同颜色的笔。如果允许 3 个字母用相同的颜色， 有多少种不同的写法？【分析】 当允许3个字母用相同的颜色，写“ IMO ”这3个字母分3个步骤： 第1步，用 5种不同颜色的笔写字母 I ，有 5种选择； 第 2步，用 5种不同颜色的笔写字母 M ，有 5种选择； 第3步，用5种不同颜色的笔写字母 0,有5种选择；允许 3个字母用相同的颜色，写“ IMO” 共有 5 5 5 125种不

7、同的写法。【例8】“IM0是国际数学奥林匹克的缩写，把这三个字母写成三种不同颜色，现有五种不同颜色的笔,按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？【分析】 这3个字母用3种不同颜色来写，写“ IM0 ”这3个字母分3个步骤： 第1步,用 5种不同颜色的笔写字母 I ,有5种选择； 第 2步,用 4种不同颜色的笔写字母 M ,有 4种选择； 第 3步,用 3种不同颜色的笔写字母 0,有 3种选择；这 3个字母用 3种不同颜色,写“ IM0” 共有 5 4 3 60种不同的写法。例 9】 某市的电话号码是七位数的, 首位不能是 0 ,其余各位数上可以是 0 9 种的任何一个, 并且不同 位上

8、的数字可以重复,那么,这个城市最多可容纳多少部电话机？分析】 可以分为 7 个步骤： 第一步：首位不能是 0,有 9 种选择, 第二步,第三步,第四步,第五步,第六步,第七步,每步都有10种选法。共有 9 10 10 10 10 10 10 9000000 种,所以这个城市最多可容纳 9000000部电话机。例 10】某个七位数, 首位不能是 0 ,其余各位数上可以是 0 9 种的任何一个, 并且不同位上的数字不可以重复,那么,这个七位数一共有多少种可能？分析】 可以分为 7 个步骤：第二步：还剩下9个数字,有 9 种选择第三步：还剩下8个数字,有 8 种选择第四步 第五步 第六步 第七步还剩

9、下 还剩下 还剩下 还剩下7个数字,有 7 种选择6个数字,有 6 种选择 5 个数字,有 5 种选择4个数字,有 4 种选择共有 9 9 8 7 6 5 4544320 种选择,所以这个七位数共有544320 种可能。第一步：首位不能是 0,有 9 种选择,例 11】不限制数字的使用次数,由数字 1, 2, 3, 4, 5, 6共能组成多少个四位数？分析】 分四步：第一步：确定个位上的数字,有 6种选择；第二步：确定十位上的数字,有 6种选择；第三步：确定百位上的数字，有6种选择；第四步：确定千位上的数字，有6种选择；因此共可以组成6 6 6 6 1296个四位数。【例12】由数字1，2，3

10、，4，5，6共组成多少个四位奇数?【分析】 分四步：第一步：确定个位上的数字，有 3种选择； 第二步，确定十位上的数字，有 6种选择； 第三步，确定百位上的数字，有 6种选择； 第四步：确定千位上的数字，有 6种选择； 因此共可以组成3 6 6 6648个四位奇数。【例13】由数字1，2，3，4，5，6共可以组成多少个没有重复数字的四位奇数?【分析】 分四步：第一步：确定个位上的数字，有3种选择；第二步，确定十位上的数字，有5种选择；第三步，确定百位上的数字，有4种选择；第四步：确定千位上的数字，有3种选择；共可以组成3 5 4 3 180个没有重复数字的四位数。【例14】学校组织读书活动，要

11、求每个同学读一本书，小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本，那么小明借一本书可以有多少种不同的选法? 【分析】分三类：第一-类:借一本外语书，有150种选法第二一类:借一本科技书，有200种选法第三类:借一本小说，有100种选法共有150 200 100 450种，那么小明借一本书可以有450种不同的选法。【例15】一件工作可以用两种方法完成，有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成，选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？【分析】分两类：第一类：选择会用第一种方法的人，有5种选法第二类：选择会用第二种方法的人，有4种选法共有5

12、 4 9种，所以选出一个人来完成这件工作，共有9种选法。【例16】在1 50中任取两个自然数，使它们的和大于50，一共有多少种取法？【分析】在150中任取两个自然数做和满足题意的和最小为51,最大为99,其中和为51的有25种选择，和为52的有24种选择，和为53的有24种选择，和为54的有23种选择，和为55的有23 种选择 和为98的有1种选择，和为99的有种中选择。25+24+24+23+23+2+2+1+1=625，也就是说一共有 625种取法。分步和分类【例17】一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有 8个小球，所有这些小球颜色各不相同，问：（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种

13、不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？【分析】（1 ）分两类：第一类：从第一个口袋里取，有3种选法第二类：从另一个口袋里取，有8种选法共有3 8 11种不同的选法。（2 ）分两步：第一步：从第一个口袋里取一个小球，有3种选法第二步：从另一个口袋里再取一个小球，有8种选法共有3 8 24种不同的选法。【例18】如下图，从甲地到乙地有 4条路可走，从乙地到丙地有 2条路可走，从甲地到丙地有 3条路可走，那么，从甲地到丙地共有多少种走法？【分析】 分两类：第一类：由甲地途径乙地到丙地，这时，分两步，第一步：从甲地到乙地，有4种走法；第二步：从乙地到丙地，有 2种走法，共有4

14、 2 8种走法；第二类：由甲地直接到丙地，由已知条件可知，有3种走法；那么从甲地到丙地共有 4 2 3 11种不同的走法。【例19】如图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丁地有三条路，从甲地到丙地有两条路，从丙地到丁地有四条路，问：从甲地到丁地共有多少种走法？【分析】 分两类：第一类：由甲地途径乙地到丁地，这时，分两步，第一步：从甲地到乙地，有3种走法；第二步：从乙地到丁地，有 3种走法，共有3 3 9种选择；第二类：由甲地途径丙地到丁地，这时，分两步，第一步：从甲地到丙地，有2 种走法；第二步：从丙地到丁地，有 4 种走法，共有 2 4 8种选择； 共有： 9 8 17 种不同的走法。例 20

15、】（第六届“走美杯”初赛）用若干个1分、 2分、 5分的硬币组成 1角钱（不要求每种硬币都有），共有多少种不同的方法？分析】 1角 10分，考虑 5 分的个数来拼凑。10 5 5 ；10 5221、 10 52 1 1 1、105 1 1 1 11；10 2222 2 、102 2 2 2 11、10 2 22 1 1 1 1、10 2211 1 1 11、 10 2 1 11 1 1 1 11、 10 1 1 11 1 1 1 1 11。所以，一共有 10 种不同的方法。例 21】中秋节，妈妈给小丽买了一盒月饼，共有6块，告诉她每天至少吃一块， 5 天吃完，共有多少种吃法？分析】 将 6拆成

16、 5 个自然数的和： 6 2 1 1 1 1 ，即某一天小丽要吃两块，其余四天各吃一块，那 么共有 5 种吃法。例 22 】七个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有几种？分析】 先在四个盒子中各放一个球，还剩下三个球。然后分三类：例 23 】有四张卡片，上面写有0，1， 2， 4四个数字，从中任意抽出三张卡片组成三位数，这些卡第一类：三个球放在一个盒子里，有4种第二类：三个球放在两个盒子里，有4 3 12 种第三类：三个球放在三个盒子里，有4种一共有：4 12 4 20 种。片共可组成多少个不同的三位偶数？分析】 分三类：第一类：当个位是0 时，可以组成的三位数有3

17、26种第二类：当个位是2 时，可以组成的三位数有224种第三类：当个位是4 时，可以组成的三位数有224种共有 64 4 14 种，所以可以组成 14 个没有重复数字的三位偶数。例 24】 不限制数字的使用次数，用 0到 9这10个数字，可以组成多少个三位偶数？ 分析】 法一：分三步第一步：百位数不能选 0，有 9种选择。第二步：十位数有 10 种选择。第三步：个位数有 5 种选择。共有 9 10 5 450种选择，所以可以组成 450 个的三位偶数。 法二：分两类：第一类：当个位为 0 时，有 9 10 90 种选择第二类：当个位不为 0 时，有 4 9 10 360种选择共有 90 360

18、 450 种选择，所以可以组成 450个的三位偶数【例25】用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？【分析】分两类：第一类：当个位为 0时，有9 8 72种选择第二类：当个位不为 0时，有4 8 8256种选择共有72 256 328种选择，所以可以组成 328个没有重复数字的三位偶数【例26】某信号兵用红黄蓝 3面旗从上到下在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面，2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？【分析】分三类：第一类：挂1面旗时：可以表示3种不同的信号。第二类：挂2面旗时：可以表示3 2 6种不同的信号第三类：挂3面旗时：可以表示

19、 3 2 16种不同的信号共3 6 6 15种，所以一共可以表示 15种不同的信号。【例27】从19， 20，21，L，97, 98， 99这81个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？【分析】分两类：一类是选取两个奇数，另一类是选取两个偶数。这81个数中有41个奇数，40个偶数。在41个奇数中选取两个不同的奇数，有41 40 2 820种选法。在40个偶数中选取两个不同的偶数，有40 39 2 780种选法。共820 780 1600种，所以选取两个不同的数使其和为偶数的选法总数1600种。【练习1】不限制数字的使用次数， 由数字0，3，6，5组成三位数，可组成多少个不相等的

20、三位数?【分析】分三步：第一步：确定百位上的数字，有 3种选择；第二步：确定十位上的数字，有 4种选择；第三步：确定个位上的数字，有 4种选择； 因此共可以组成3 4 4 48个不相等的三位数。【练习2】不限制数字的使用次数，由数字 0, 1，2，3组成三位数，可组成多少个不相等的三位数？【分析】分三步：第一步：确定百位上的数字，有 3种选择；第二步：确定十位上的数字，有 4种选择；第三步：确定个位上的数字，有 4种选择；因此共可以组成3 4 4 48个不相等的三位数。 练习 3】 由数字 0，1， 2， 3组成三位数，可组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析】 分三步：第一步：确定百位上的数

21、字，有3 种选择；第二步，确定十位上的数字，有3 种选择；第三步，确定个位上的数字，有2 种选择；因此可组成 3 3 2 18 个没有重复数字的三位数。练习 4】 由数字 0，1， 2， 3可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 分析】 法一：分四步：第一步：千位上有 3种选择第二步，百位上有 3 种选择第三步：十位上有 2 种选择第四步：个位上有 1 种选择 共有 3 3 2 1 18 种选择，可以组成 18个没有重复数字的四位数法二：分两类： 第一类：当个位为 0时，有 3 2 1 6 种选择 第二类：当个位不为 0 时，有 3 2 2 1 12种选择共有 6 12 18种选择，所以可以组成

22、 18 个没有重复数字的四位数。练习 5】 学校组织读书活动，要求每个同学读一本外语书，一本科技书，一本小说，小明到图书馆借 书时，图书馆有不同的外语书 150本，不同的科技书 200 本，不同的小说 100本，那么小明 借三种书可以有多少种不同的选法？分析】 分三步：第一步：读一本外语书，有150种选法第二步：读一本科技书，有200 种选法第三步：读一本小说，有100种选法共有 150 200 100 3000000种，那么小明借一本书可以有3000000种不同的选法。练习 6】 用0到9 这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析】 分三个步骤：第一步：百位数不能选 0，有

23、9 种选法。 第二步：十位数可以选剩下的 9 个数也有 9 种选法。 第三步：个位数可以选剩下的 8 个数，有 8 种选法。共有 9 9 8 648种，所以可以组成 648 个没有重复数字的三位数。练习 7】 不限制数字的使用次数，用 0到 9这10个数字，可以组成多少个三位偶数？ 分析】 法一：分三步第一步：百位数不能选 0，有 9种选择。第二步：十位数有 10 种选择。第三步：个位数有 5 种选择。共有 9 10 5 450种选择，所以可以组成 450 个的三位偶数。 法二：分两类：第一类：当个位为 0 时，有 9 10 90 种选择第二类：当个位不为 0 时，有 4 9 10 360种选

24、择共有 90 360 450 种选择，所以可以组成 450个的三位偶数练习 8】 用0到9 这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？ 分析】 分两类：第一类：当个位为 0时，有 9 8 72 种选择 第二类：当个位不为 0 时，有 4 8 8 256种选择共有 72 256 328 种选择，所以可以组成 328 个没有重复数字的三位偶数请你每次从书架上取一本画报或者一本科技练习 9】 书架上有 6 本不同的画报， 10本不同的科技书， 书，共有多少种不同的取法？分析】 分两类： 第一类：取一本画报，有 6 种选择 第二类：取一本科技书，有 10 种选择 一共有： 6 10 16种不

25、同的取法。练习 10】书架上有 6 本不同的画报和 的拿法？7 本不同的漫画书，从中最多拿两本 （不能不拿） ，有多少种不同分析】分两类：第一类：拿两本，分两步，共有(6 7) (6 7 -1)7 6 114 种选择；第二类：拿一本，共有 6 713 种选择；共有 114+13=127 种选择练习 11】 十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙全 部配起来？分析】 法一：第一把钥匙试 9次，第二把钥匙试 8次， L ，第九把钥匙试 1次，第十把不用试。 最多试开： 9 8 7 6 5 4 3 2 1 45 次，就能把钥匙和锁全部配起来。 法二：第一把锁试

26、 9 把钥匙，第二把锁试 8 把钥匙， L ，第九把锁试 1 把钥匙，第十把锁不用 试。最多试开： 9 8 7 6 5 4 3 2 1 45 次，就能把钥匙和锁全部配起来。练习 12】 由数字 0，1， 2， 3可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 分析】 分两类：第一类：当个位是 0 时，可以组成的四位数有 3 2 1 6 种 第二类：当个位是 2 时，可以组成的四位数有 2 2 1 4种 共有 6 4 10 种，所以可以组成 10 个没有重复数字的四位偶数。补充题库【补充1】不限制数字的使用次数，由 0, 1 , 2 , 4四个数字，可组成多少个三位数?【分析】分三步第一步第二步 第三步百位上有 十位上有 个位上有共可组成3 4 43种选择4种选择4种选择48个三位数