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1、专题强化瞻精练提能1. (2019南京模拟)在等比数列an中，a2a6= 16, a4 + a&= 8,则囂=解析法一：设等比数列 an的公比为q,由a2a6= 16得a . 2 ,. 2n 1 n +1q6= 16,所以aiq3= 4.由 a4 + a8= 8,得 a1q3(1 + q4)= 8,即 1 + q又 b1= = 1 ,所以 bn=+ 1 = a122= 2,所以 q2= 1 .于是 誥=q10= 1 .a4= 4,法一:由等比数列的性质，得a2= a2a6= 16,所以a4=4,又a4+ a8= 8,所以a8= 4a4= 4,Ia4= 4,a或因为a6= a4a80,所以则公比
2、q满足q4 = 1, q2 = 1,所以一 =q10= 1.a8= 12.a8 = 4,a10答案12. (2019宿迁模拟)若等差数列an满足a2 +足=4 , a3+ &= 12，贝V+ $的值是解析由 S3= 3a2，得 a2 = 1,由 Ss= 5a3,得 a3= 2,则 a4= 3, S7= 7a4,贝V a4+ S7= 8a4=24.答案243. (2019 苏名校高三入学摸底)已知数列an满足a1= 2,an+ 1 =n+12 ann+ 2 an+ 2bn= a(n N*),则数列bn的通项公式是 an+ 1解析由已知得尹an*RE N ),则盘=習n +弄N*), an+1 a
3、n21 *即 bn +1 bn= n + -(n N ),所以b2 b1= 1 + *,b3 b2= 2+ 2 ，bn bn1 = (n 1) +1,2(n 1) n n 1 n 1+ =2 + 2 2n 1累加得 bn b1 = 1 + 2 + 3 + + (n 1) + 2答案bn =n2+ 14已知等比数列an为递增数列若 ai0，且2(an+ a“+2)= 5an+1,则数列 a.的公比解析因为 2(an + an + 2)= 5an+ 1,2所以 2an(1 + q )= 5anq,所以 2(1 + q2) = 5q,解得 q = 2 或 q =2010一 42彳 Q - q + 1
4、 q 1 2 + 1 218S51法 :因为 -=；,所以不妨设 S5= a, S10= 3a, aM),易知 S5, S10 S5, S15 S10, S20S103S15成等比数列，由S5=a,S10 S5= 2a,得 S15 = 4a,S20 S15 = 8a,从而S20 = 15a, 因为数列为递增数列，且a10 ,所以q1,所以q= 2.答案25. (2019苏锡常镇四市高三教学调研 (一)中国古代著作张丘建算经中有这样一个 问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了 700里.那么这匹马最后一天
5、行走的里程数为.解析由题意可知，这匹马每天行走的里程数构成等比数列，设为an,易知公比q =2,则 S7=a1(1q7)1-q=2a1 1 爲=呼色=700,所以 印=700x 曇，所以a?= ag6 =700x務x 2 = 120，所以这匹马最后一天行走的里程数为洛7答案需Q 16. (2019苏州市第一学期学业质量调研)设Sn是等比数列an的前n项和，若 鬲=,则S5S20 + S10解析法一：设等比数列an的公比为q,若公比q为1，则瓷=2，与已知条件不符，n、/a1 (1 q )Q11 q1只S%所以公比qM 1,所以Sn=，因为T-=-，所以 10=1，所以q5 = 2，所以S20+
6、 S101-qS1031 q103 1 q5所以一=a=彩.S2o + Sio 15a+ 3a 18 1答案187. 设数列an, bn都是等差数列，且 ai = 25, bi = 75, a2+ b2= 100,那么an + bn组成的数列的第37项的值为 .解析an, bn都是等差数列，则an+ bn为等差数列，首项为ai+ bi= 100,d= (a2 + b2) (ai + bi) = 100 100= 0,所以an+ bn为常数数列,第 37项为 100.答案100& (2019南京市四校第一学期联考)已知各项均为正数的等比列 an中，a2= 3, a4= 27, S2n为该数列的前
7、2n项和，Tn为数列anan+ 1的前n项和，若S2n= kTn,则实数k的值为 .解析因为各项均为正数的等比数列an中，a2= 3, a4= 27,所以ai= 1,公比q= 3,所以S2n =1 x (1 32n)1 32n3 1an = 3n 1.令 bn = anan +1 = 3n 1 3n= 32n 1,所以 bi = 3,数列bn为等比数列，公比q= 9,所以3x (1 9n) Tn =1 92n3 (3 1)8因为 S2n= kTn,2n2n解得k=4.33 13 (3 1)所以一= k，ai + bi 0法：由题意可得 ,贝U 83+ b3= ai+ 4 + 4bi= 2(ai
8、 + bi)+ 3(ai+ 2bi)+ 4ai + 2bi 22,故a3 + b3的取值范围是（一s, 2）.答案（s, 2）10. 在数列an中，n N*，若二一p= k（k为常数），则称冇为“等差比数列”，an+i an下列是对“等差比数列”的判断： k不可能为0; 等差数列一定是“等差比数列”； 等比数列一定是“等差比数列”； “等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是 .解析由等差比数列的定义可知，k不为0,所以正确，当等差数列的公差为 0,即 等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以错误；当an是等比数列，且公比q= 1时，an不是等差比数列，所以错误；数列0
9、, 1, 0, 1，是等差比数列，该数列中有无数多个0,所以正确.答案11. （2019 宝鸡模拟）已知数列 an满足 a1= 5, a? = 5, a*+1 = a* + 6a*1 （n2）.（1）求证：an+1+ 2an是等比数列；求数列an的通项公式.解（1）证明：因为 an+1= an+ 6an1（n2）,所以 an+1 + 2an= 3an + 6an 1 = 3(an+ 2an 1)(n2).又 a1= 5, a2 = 5,所以 a2+ 2a1 = 15,所以 an+ 2an i 0(n2),an +1 + 2an 所以=3(n2),an + 2an1所以数列an+1 + 2an是
10、以15为首项，3为公比的等比数列.(2)由(1)得 an + 1 + 2an= 15 3= 5 X 3 ,则 an+1 = 2an+ 5 X 3 ,所以 an+1 3“+1 = 2(an 3).又因为a1 3 = 2,所以an 3和，所以an 3n是以2为首项，2为公比的等比数列.所以 an 3n = 2 X ( 2)n-1,即 an= 2X ( 2)n 1 + 3n(n N*).,1n 一 1*12. (2019苏州市高三模拟)已知数列 an满足：a1 = , an +1 an= p 3 nq , n N ,p, q R.(1)若q = 0，且数列an为等比数列，求p的值；若p = 1，且a
11、4为数列an的最小项，求q的取值范围.、,n 1解(1)因为 q = 0, an+ 1 一 an= p 3,an + 1所以石二3 符合题意所以p的值为0或1.因为 p= 1,所以 an+1 - an= 3n1 nq,又a4为数列an的最小项，a4 a3 09 3qw 027所以，即，所以3 027 4q 04此时 a2 a1 = 1 q0, a3 a2= 3 2qa2a3a4.当 n4 时，令 bn = an +1 an, bn+1 bn = 2 3 q2 3 40 ,所以 bn+ 1bn,所以 0W b4b5b6，即 a4 a5a6a7 .综上所述,当3 q 0),贝Uq + 3 + 3+
12、 d= 11,( 22 (3 + 3+ d+ 3+ 2d)= 9q ,解得 d= 3, q = 2.所以 an= 3n, bn= 2n1.(2)因为 Tn= 1 + 2 + + 2n1= 2n 1,所以有 2n 1 = 3m+ r 2n 1. (*)若 r 2,则 r 2n1 2n 1, (*)不成立，2n- 1 1所以 r = 1, m=；.若n为奇数，当n= 1时，m= 0,不成立，当 n 1 时，设 n = 2t+ 1, t ,_ n 1._2.t.2 12 14 1m= Z;333n为偶数，设n= 2t, tN ,n 1, 2t 1,t 1.2 12 12 4 1m=3t 14 _ 1
13、1=2 斗33 3t_14 1因为一3 Z,所以m?乙综上所述,存在正整数 m, n, r,使得Tn= am+ r bn成立，此时n为大于1的奇数，r2n-1=1,且 m=4答案49. (2019泰州市高三模拟)已知公差为2的等差数列an及公比为2的等比数列bn满足ai + bi 0, a2+ b20解析法一：由题意可得，该不等式组在平面直角坐标系aiObi中表示的ai + 2bi 2平面区域如图中阴影部分所示,则当a3+ b3= ai + 4 + 4bi经过点(2, 2)时取得最大值一2,则 a3 + b3 2.1 1所以 a2= a1 + p = 2 + p, a3= a2 + 3p = ?+ 4p.由数列an为等比数列，解得p = 0或p = 1.1当p = 0时，an+ 1 = an,所以an = 1，符合题意;当 p = 1 时，an+ 1 an= 3n 1,所以 an= a1 + (a2 aj + (a3 a2)+ + (anan1)1 1=1+ (1 + 3+- + 3n 2) = +