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1、【精品】文化和艺术中的数学MC埃舍尔图形创意的数学观研究9、向40分钟要质量，提高课堂效率。,年第,期 上海交通大学学报(哲学社会科学版) ,(,，, 第,卷 ,(, (总,期) ,，, ,(, , ,;, ,;,;,) ,(,(, 文化和艺术中的数学 ,(,(埃舍尔图形创意的数学观研究 林 迅 (上海交通大学媒体与设计学院，上海,) 摘 要:本文应用数学作为方法论，研究中西方传统文化、建筑和艺术中所蕴含的 数学观，重点探讨,(,(埃舍尔图形创意所基于和遵循的数学“法则”，唤醒人们重视科学 对艺术的影响作用。研究数学与文化的另一主要目的是，希望人们能从全方位的和文化 的视角欣赏数学的全貌和魅力
2、。 关键词:文化符号;图形创意;数学思维;对称 中图分类号:, 文献标识码:, 文章编号:,(,), 数学与文化和艺术在人类文明的形成和 面的天赋与哲学的、宇宙奥秘的以及数学的探发展过程中有着密切的关联，它们都是构成人 索完美结合在一起。,(,(埃舍尔称自己为一类文明所不可分割的有机部分。人类思想和 个“图形艺术家”。他的图形创意具有数学思维激情的优秀成果，无论是艺术、宗教、美学、哲 和艺术的创造，他的作品堪称科学与艺术相融学和科学的成果都如同我们今天一样，与数学 合的典范。在埃舍尔的作品中，数学的原则和有着密切的关联。事实证明，数学一直是人类 思想得到了非同寻常的形象化。因此。数学家文化的重
3、要组成部分。 们常借助他的作品作为专业教科书插图，运用 他的作品解释抽象繁复的数学理论和原理。 一、,(,(埃舍尔图形创意中的数学理论 ,(,(埃舍尔图形创意的数学灵感和理论来源 ,(,(埃舍尔(, , ,;,) 于很多方面。研究和欣赏埃舍尔的艺术，无疑,年出生，荷兰著名版画家，是一位神奇而 首先必须了解其作品所蕴含的数学思想和理独特的超现实主义艺术家，在晚年时期作品最 论，才能真正享受到他的艺术和数学同时带给终被人们理解并受到广泛的重视，引起了艺术 人们的审美愉悦和视觉享受。界的轰动。,(,(埃舍尔的大多数作品以非常 ,(,(,(埃舍尔图形创意所基于的数学理论巧妙、合理、令人信服和奇思妙想创
4、造了许多 ,(,(埃舍尔的图形创意所基于的数学理在现实世界中可能和不可能存在的虚拟艺术 论十分繁多并且分类也很广，不同时期的创意世界。在,(,(埃舍尔的“虚拟艺术世界”中， 作品所基于的数学灵感是不同的，作品风格与人们完全能感悟出他独特的审美追求，以及对 形式也不同。,(,(埃舍尔经常从他读到的数宇宙的奥秘、人类自身的奥秘等人类文明相关 学思想中获得创作灵感。在他的最热情的赞问题的孜孜不倦的探索。 美者之中有许多数学家，他们彼此的思想交流 ,(,(埃舍尔是一位具有渊博的知识并且 也是他数学思想和灵感来源的另一主要方面。善于思维和探索的艺术家，他曾学习和从事过 数学的原则和思想对他的创作起着十分
5、巨大建筑设计，他的许多版画作品显然将其建筑方 的影响作用。他的许多图形创意直接运用平 收稿日期:, 作者简介:林迅(,一)。男，上海交通大学媒体与设计学院副教授、英国利兹大学设计学院博士。万方数据 , 上海交通大学学报(哲学社会科学版) 第,卷 面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻 ,(,)图,(,)是作品的草图和原理解析说明，如反映了非欧几里德几何学的精髓，而他自已也 果人们紧跟着画中的那些僧侣向上走，理应每走被悖论和“不可能”(, ,)的图形结 动一步都会到达更高一层台阶。但是，走完一圈构所迷住。总体来看，d=r 直线L和O相切.第三章 圆(1)定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内
6、接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.埃舍尔图形创意的数学 之后，人们却发现自己又回到了原点。反之，如灵感主要来源于以下几个方面:数学家罗杰? 果人们跟着那些僧侣沿着台阶向下走动，同样当彭罗斯(, ,)的三角原理、数学对称 人们完成整圈之后又回到了原处。无穷尽的上理论、几何学中无穷悖论以及射影几何理论 升与下降这种循环反复就是这作品的主题。当等。基于以上的数学灵感，他创造性地创作了 然，作品其中还蕴含作者对审美、对生命，对宇宙许多吸引人的艺术成果，并且借助可视化的图 等种种思考。显然，数学和视觉心理学等有关原形创意发展演绎了数学的思想和理论。 理在图形结构的构造中起有效的辅助作用。图 ,(
7、,(,(埃舍尔创意作品的特征与分类 ,(;)是,(,(埃舍尔根据数学家罗杰?彭罗斯 依据,(,(埃舍尔艺术作品的风格和形式 的三角原理所创作的另一幅作品。画面中瀑布特征以及所基于的数学思维和理论，其作品风 流水川流不息，人们初看发现不出任何异样，也格特征以及创意所基于的数学原理和理论大 就是说，人们的视线如跟随建筑中的细部和,字概可分为如下几种类型: 型水沟看去，根本无法发现画中所蕴藏的视错觉 (,)幻想的空间(, , , ,;,)，基 骗术。但经细心观察就能发现，水的流向完全违于视错觉及几何学原理。 反地心引力原理，瀑布水的源头与下面的积水沟 (,)渗透的世界(, , ,)， 是同处一个水平
8、面，人们眼睛看到的和物质对象基于视错觉及几何学原理。 存在差异和错觉。图,(,)是作品的草图和原理 (,)有规律的平面分割(, , , 解析示意图。, , , ,)，基于数学对称理论。 (,)透视(,;,)，基于射影几何理论。 (,)有规则的晶体和螺旋形的体构(, , , ,)，基于晶体学理论。 (,)所谓“不可能”(, ,)或称矛盾空间，基于视错觉以及数学家罗杰?彭罗斯的三角原理(, , ,)。 (,)太空(, ,)或时空无穷极限，基于数学和几何学中无穷悖论理论。 圈, 田,(,) 图,是数学家罗杰?彭罗斯的三角原理示图和“疯狂的板条箱”(, ,)示意图。图,、图,、图,和图,分别是,(,(
9、埃舍尔基于以上相关数学原理而创作的部分作品(资料来源于“, ,; , , ,(,(,;,”, ,)。如图,所示，这是,(,(埃舍尔根据数学家罗杰?彭罗斯的三角原理(文章发表在,年,月英国心理学杂志)所创作的一系列 圈,(,) 图,，,) 图,(,)探索和研究的作品，称为不可能存在的建筑(，, ,)。作品中所探索和表现的矛盾 图,(,)是,(,(埃舍尔基于数学几何学中空间以及由视错觉所形成的幻觉，其主要原理是 无穷悖论理论为探索太空或时空无穷极限而基于数学家罗杰?彭罗斯的三角原理和视觉心 创作的系列作品之一，作品名为内部变小无理学等有关知识。在作品上升与下降中，见图 极限(, , , , , ,
10、 ,)，万方数据 ,年第,期 林迅文化和艺术中的数学 , 描绘同一母题的向内无穷尽变小和收缩变换。 图,(,)是根据几何学中无穷悖论理论而创作 的另一幅作品，相同母题在无穷尽变小和收缩 变换同时形成有规律性的空间填补。图,是 ,(,(埃舍尔以探索宇宙、自然、生命和数学为 主题和灵感而创作的系列作品之(4)面积公式:(hc为C边上的高);（1）理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.53.264.1生活中的数3 P24-29一，作品名为 四面体小行星(, ,)，描绘 有人类
11、居住的小行星，是一个环绕星球表面的 图,(,) 正四面体(, ,)，共由四个三 角形表面构成，其中二个三角形的面为可视面 二、数学对称理论的释义 (朝正面)，画面中间垂直的边锋将正四面体的 两个面分离。所有垂直于可视三角形面的直 ,(数学对称理论 线:围墙、房子、居住人群、树等，向球体的中心 在科学中，对称性指的是研究对象在某种 方向，直线的透视消失点聚焦在球体的中心， 变换或操作下保持不变的性质，因而具有根本 即球的地心引力中心，所有水平于可视三角形 性意义。所谓对称变换(, , 面的表面:花园、道路、弯曲伸展的运河水的表 ,)是对称操作(, ,)的结 面均是构成球体外壳的组成部分。作品的数
12、 果。在平面中，对称操作只影响对象的几何学 学灵感来源于晶体学、射影几何及柏拉图宇宙 性质的变换，对称变换仅涉及设计的结构。同 天体模型原理等。图,(,)为,(,(埃舍尔的自 时，允许反演对称操作并使对象重新回到原 画像手持反射球体(, , ,;, 点。在艺术中，对称性常与平衡、形状、形式、 ,)，球中反射影像就是,(,(埃舍尔本 空间等相联系。 人，作品是根据几何学中射影几何理论而创 历史上最早意识到“对称”在二维平面设 作。图,(,)为,(,(埃舍尔形究球体上射影几 计中(尤其是纺织品图案设计及平面图形装饰 何原理的示图。 设计)具有辅助作用，并努力使“对称”原理非 神秘化地应用于设计实践
13、的人是,(,(,。 他是英国利兹大学纺织系的一名物理学家，在 ,世纪,年代他连续发表了,篇研究论 文，,试图通过简易通俗的数学语言解析数学 对称原理，并通过可视化的图形符号解析对称 在构建图形结构与设计过程中的辅助作用。 ,的最初动机是鼓励和启发那些从事纺 织品图案设计的学生，通过学习数学对称原 图,【,) 图,(,) 理，在二维重复的有规律性的图形结构的设汁 过程中得到帮助。这些最初的理论探索和尝 试在以后的晶体学领域得到发展并被用于解 释三维空间的晶体结构。 从非数学研究的角度看，, ,的著 作装饰原理(, , , ,。出 版于,世纪初)似乎最具影响力。该书分析介 绍了大量的图案与装饰，并
14、根据不同的时期、 民族区域和风格对其分类。该书在以后的, 图, 图,(,) 世纪，直至近年还在继续再版，同时印有法文万方数据 , 上海交通大学学报(哲学社会科学版) 第,卷及德文版(对图形与对称的研究起到了进一步的促进和推广作用。,(,(,;,的著作秩序感(“, , , ,”一, , , ,;, , ,;, ,)。他从心理学、视知觉和美学的视角，分析传统文化和艺术中的秩序感和美感，以及文化符号所蕴含的相关的数学原理，他的对称与文化的相关研究有重要的影响力。 从数学研究的角度看，历史上的数学家和科学家(例如，,，引,，,，,，引,，,，,。, , ,(,。,;,;,(, ,”都已经意识到数学意义
15、上的对称，是以四种基本对称操作或几何变换在平面中的应用为特征。所谓对称操作和几何变换，125.145.20加与减（三）4 P68-74A、当a0时即平移、旋转、反射，滑移反射。他们的研究和探索在晶体学和数学对称的研究领域具有重要的影响力。 历史上曾有无数的人们都进行过有关数学对称理论的开创性研究与探索实践。从图形创意的理论研究与实践探索综合的角度看， 睑?平移,(,(埃舍尔的研究与探索最具代表性，并且理论研究体系也十分系统和深入，它那神奇的图形创意是科学与艺术相融合的典范，充分体 ?。,旋转现了他对数学对称理论的通透了解与娴熟应用(那些看似无意巧合的奇妙图形创意，在其图形组织结构中却深藏着深奥
16、的数学原理)。 仝?,么刍反射 ,(数学对称原理与术语解释 数学概念上的对称具有严格的定义，所谓对称是以四种基本对称操作在平面中的应用 滑移反射为特征，在二维平面，四种对称操作(平移、旋转、反射以及滑移反射)可以单独或组合应用于某一对象中(图形结构之中)呈现不同的对 ,旋转中心称特征。根据对称操作在图形结构中的组合 反射轴情形，可以对图形结构进行科学系统的分类。 一滑移反射轴 图, 所谓图案是由基本的母题(基本结构元素)在平面无限地周期性地重复而构成。在二 ,(数学对称原理与相关符号的进一步的解析维平面，母题的重复可以是朝一个方向的(通 以上四种几何学行为一般都称为对称操过平移、反射、旋转或滑
17、移反射等对称操作)形 作，同义的术语包括对称(,)，全成带状的图案(, ,)，或朝 等变换(;,;, ,), ,，或等两个各自不相同方向的重复和平移(通过平 距同构(,), ,。在图案构造中，平移移、反射、旋转或滑移反射等对称操作)形成遍 是遍布图案的最基本特征，平移是在平面上两万方数据 ,年第,期 林迅 文化和艺术中的数学 , 个不同的互不平行的方向上进行的。除了在 两个独立方向上的平移外，另外三种对称操作 中的任何一种或数种也可以应用于遍布图案 的构造。图,(资料来源于对称与图形创意 林迅著)例举了一个由一系列等边三角形构成 的二维平面，在这二维平面中存在几种可能发 生的对称操作和几何变换
18、，确切地说，存在多 种方法可以使这些等边三角形与自身相重合。 例如移动了一个用矢量,或矢量,所标示 圈, 的平移距离，该三角形将与自身相重合。例如 具有规律性排列重复图案的构成，还涉及 该等边三角形围绕着点,旋转,。，它就通过 另一重要的对称要素:形成一个点阵的对应点 六次旋转与自身相重合。同样，如果跨过反射 的框架。可以将一个已确定的图案中的点连 ,觥 轴,或反射轴,或反射轴,进行反射操 接起来以产生形状、大小和内容都相同的点阵 作，可以得到相同的效果。 单位(单位胞体)。当一个点阵单位在平面上 , 被平移朝着两个独立的互不平行方向的同时， 将产生完全的遍布图案(, ,)。如 , 图,所示，(资料来源于“, , .