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1、浙江省十校联盟 2021 年 10 月高三联考 数学参考答案一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。15B B D C C610A D B C A24 555二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。11，1 + i ；1232， -80 ；13 x + 2 y = 0 ，；14 4 2 ，；15 2 ；16 3 - 1 ；17 a 1 3212三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（本小题满分 14 分）解：（I）由题意得
2、OP = 2 ，则cosa = - 1 ,sina = 3 ，4 分22cos(a + p) = -sina = - 3 7 分22（II） f (x) = (- 1 sin x + 3 cos x)2 - (- 1 cos x + 3 sin x)2 = 1 cos 2x ，10 分22222故T = 2p = p 12 分2由2kp - p 2x 2kp ，知单调递增区间为kp - p , kp(k Z) 14 分219（本小题满分 15 分）（I）证明：过点 A 作 AO BC ，垂足为O ，连接OD 1 分由ABC = DBC = 120 ，得ABO = DBO = 60 而 AB =
3、 BD ， OB = OB ，则 ABO 与 DBO 全等 3 分故DOB = AOB = 90 ，即 DO BC 而 AODO = O ，故 BC 平面 AOD 5 分而 AD 平面 AOD ，故 AD BC 7 分（II）解法 1：设点在平面上的投影为点，则就是直线与平面所成角9 分由 AB = BC = BD ，可知 HA = HC = HD ，点为 ADC 的外心由（I）知，就是直二面角的平面角，故11 分设，利用勾股定理等知识，求得 AH =12 13 分42因此， cos BAH = AH =AB42 ，7故直线与平面所成角的余弦值为15 分解法 2：设点 B 在平面 ADC 上的
4、投影为点 H ，则BAH 就是直线 AB 与平面 ADC 所成角9 分由（I）知， AOD 就是直二面角 A - BC - D 的平面角，故 AO OD 10 分设 AB = 2 ，利用V= V，求得 BH = 2 7 13 分B- ADCA-BDC7因此， sin BAH = BH =7 , cos BAH =42 ，AB77故直线 AB 与平面 ADC 所成角的余弦值为42 15 分7解法 3：由（I）知， AOD 就是直二面角 A - BC - D 的平面角， 故 AO OD 8 分建立如图的空间直角坐标系Oxyz ，设 AB = 2 ，则 A(0, 0, 3), B(0,1, 0),
5、C(0, 3, 0), D( 3, 0, 0) 于是， AB = (0,1, -3), AC = (0, 3, -3), AD = ( 3, 0, -3) 10 分设平面 ADC 的法向量为n = ( x, y, z) ，则n AC, 即 3y -3z = 0,n AD, 3x -3z = 0,解得n = ( 3,1, 3) 12 分设所求线面角为q ，则sinq =| cos |= | AB n | =2| AB | n |2 77因此， cosq =42 ，故直线 AB 与平面 ADC 所成角的余弦值为742 15 分720（本小题满分 15 分）（I）由 S6 = 3(a1 + a6 )
6、 = 3(a3 + a4 ) = 3a4 = 9 ，得a4 = 3, a3 = 0 故an 的公差d = 3 ， an = a3 + (n - 3)d = 3n - 9 ，即数列an 的通项公式为an = 3n - 9 3 分当 n 2 时， b = (b - b) + (b- b) + (b - b ) + b = 2n-1 + 2n-2 + 2 + 2 = 2n ，nnn-1n-1n-2211而b = 2 ，故b = 2n ，即数列b 的通项公式为b= 2n 6 分1nnn（II） Tn2Tn= -6 2 - 3 22 + (3n -12) 2n-1 + (3n - 9) 2n ，+ 3
7、2n= -6 22 - 3 23 + (3n -12) 2n + (3n - 9) 2n+1 8 分上述两式相减，得-Tn= -12 + 3 22 +- (3n - 9) 2n+1= -12 + 3 (2n+1 - 4) - (3n - 9) 2n+1 = -24 - (3n -12) 2n+1 ，n+1得Tn = (3n -12) 2+ 24 11 分设cn= (3n -12) 2n+1 ，显然当n 4 时， c 0 ， Tn 24 且单调递增13 分n而c1 = -36, c2 = -48, c3 = -48 ，故Tn 的最小值为T2 = T3 = -24 15 分21（本小题满分 15
8、分）解：（I）由题意有2 pm = 4 ，及m + p = 2 ，2 分2解得 p = 2, m = 1 故抛物线的方程为 y2 = 4x 5 分（II）设 A(x , y ), B(x , y ) ，则 y2 = 4x , y2 = 4x 6 分1 1221122两式相减得 y2 - y2 = 4(x - x ) ，即 y1 - y2 ( y + y ) = 4 121212x1 - x2于是-4kAB = 4 ， kAB = -1 ，9 分（注：利用直线与抛物线方程联立，求得kAB = -1 ，同样得 4 分）故直线l 的方程为 y = -(x - 2) - 2 ，即 y = -x 10
9、分y2y2y2y2（）设 A( 1 , y ), B( 2 , y ),C( 3 , y ), D( 4 , y ) ，且l : y = k(x - 2) - 2 41424344由 y = k (x - 2) - 2, 得ky2 - 4 y - 8k - 8 = 0 ，则 y + y= 4 , y y= -8k - 8 11 分 y2 = 4x,12k1 2k由 M , A,C 三点共线，可得y1= y3 - y1 =4，化简得 y y = 4 ，即 y= 4 y2y2y2y + y1 33y 1 + 14 3 - 131144同理可得， y4 =4 13 分y2假设C, D,Q 三点共线，
10、则有 y3 + 2 =y4 - y3，化简得 y y+ 2( y+ y ) + 8 = 0 y2y2y23 434 3 - 2 4 - 3 444进一步可得，2y1 y2+ 1 + 1y1y2+ 1 = 0 ，即k+-4k - 41-2k - 2+ 1 = 0 ，解得k =- 2 3因此，当直线l 的斜率k =- 2 时， C, D,Q 三点共线15 分322（本小题满分 15 分）解：（I） g(x) = x2 + ax + b ， D = a2 - 4b 1 分若D 0 ， g(x) 0 ， f (x) 在(-, +) 上单调递增；3 分-a + D若D 0 ，方程 g(x) = 0 有两
11、个不等实根 x = -a - D , x =，1222f (x) 在(-, x1 ) 上单调递增，在(x1 , x2 ) 上单调递减，在(x2 , +) 上单调递增 5 分1 2（II）因 f (x) 有两个极值点 x , x ，由（1）知D = a2 - 4b 0 ，且 x + x = -a ， x2 + x2 = a2 - 2b ， g(x ) = g(x ) = 0 7 分121212于是， f (x ) + f (x ) =x1 g(x ) + x2 g(x ) + a (x2 + x2 ) + 2b (x+ x ) + 2123132612312= a (a2- 2b) +2ba3(
12、-a) + 2 =- ab + 2 9 分6362a 2a2a（）由 g(x) = x+ ax + b = (x + ) + b -，则 g(x) 的极值点为 x =-242aa3a3aba22于是， f (- ) = 0 ，即-+-+ 1 = 0 显然， a 0 ，则b =+22482a26aa22a23 24由（II）知， D = a2 - 4b 0 ， b ，则+，解得a 11 分a3 -4a226a4于是， f (x1 ) + f (x2 ) = 6a(+ ) + 2 = 0 6aa2a22a2a22故 f (x), g(x) 的所有极值之和为b -=+-= -+= h(a) 13 分46a412a因 h(a) = - a -62 ，若a 3 24 ，则h(a) 0 ， h(a) 在( 3 24, +) 上单调递减，a2故 h(a) h( 3 24) = 0 3 18若 a - 3 12 时有h(a) 0 ，则h(a) 在(-, - 3 12) 上单调递增，在(- 3 12, 0) 上单调3递减，故h(a) h(-12) = -3 242因此，当a 时，所求的取值范围为(-, 0) 综上， f (x), g(x) 这两个函数的所有极值之和的取值范围是(-, 0) 15 分