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1、大招13向量共线模型与等和线、平面向量共线定理若点A,B,C互不重合，P是A,B,C三点所在平面上的任意一点， 且满足PC = xPA十yPB , 则A, B, C三点共线u x+y=1.证明:(1)由x + y =1= A, B, C三点共线.由x + y =1得PC =xPA yPB =xPA (1 -x)PB= PC - PB = x(PA - PB)=即BC, BA共线，故 A B, C三点共线.(2)由A, B, C三点共线=x + y =1.由A, B, C三点共线得BC , BA共线，即存在实数x使得BC=xBA.故 PC -PB =x(PA-PB)= PC =xPA + (1-
2、x)PB.令 y=1x,则 有 x y =1.“爪”字型图：在ABC中，D是 BC上的点，如果 BD : CD = m: n ,则mnAD =AC +AB ,其中AD , AB , AC知二可求一.如果AD是BC边上的中m n m n一 1 : 1 一一线，则 AD =，AC 1AB.22二、等和线Q平面内一组基底OA , OB及任一向量 Op , OP = ?“OA + nOB(k, nwr),若点 p在直线AB上(即图中q的位置)或者在平行于 AB的直线上，则儿+ R = k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线 AB平行的直线称为等和线(1)当等和线恰为直线 AB时，k =1 .
3、(2)当等和线在 O点和直线AB之间时，k (0,1).(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k (1,十比).(4)当等和线过O点时，k=0.(5)若两等和线关于 O点对称，则两定值(k)互为相反数.【解题步骤及说明】1 .确定等值线为1的线；2 .平移(旋转或伸缩)该线，结合动点白可行域，分析何处取得最大值和最小值；3 .从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值.评注平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系， 则需要通过变换基地向量， 使得需要研究的代数式为基地的系数和.进步探究过C点作直线/
4、AA在/上任作一点C,连接iy同理可得，以丽而基底时,5?对应的系数和依然为/结论在向量起点相同的前提 的直线上面的点为终点 数和为定值，这样的线 线”。值的大小与起点 下，所有以与A8平行 的向量，其基底的系 ,我们称之为“等和 到等和线的距离成正比，若等和线与48在起点的两侧时，值为负。1 例1在AABC中，已知D是AB边上的一点，若 AD =2DB , CD = CA十，CB ,则九 3().A 1B.1C.-D-33,3例2若D为AABC所在平面的一点， BC =3CD ,则().一 1 一 4 一八A. AD = -1AB 4 AC33一 1 一 4 B. AD AB AC 33一
5、4 一 1 二C. AD = AB AC33D. AD = 4 AB -1 AC33例3已知D, E, F分别是 MBC的三边BC, CA AB上的点，且DC =2bD , cE =2eA ,AF =2FB ,则 AD + BE +CF 与 BC ()A.反向平行B.同向平行 C.互相垂直D.既不平行也不垂直例 4 4ABC 中，点 D 在 AB 上，CD 平分 / ACB 若 CB=a,CA=b, a=1,b = 2,则 CD二().八 1221u34-43A. a -b b. a b C. a b D. a b33335555例5 已知点G是AABC的重心，过点 G作直线与 AB, AC两
6、边分别交于 M, N两点，且11 ,AM = xAB , AN = yAC , D为边AB的中点，求一+ 一的值.x y例6在 MBC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，过点H作直线MN别交AR AC于点M N,若AM =xAB , AN =yAC ,则x + 4y的最小值是（）A. 9B.2 C. 3D.14例7在APAB所在平面上的点C满足PC = xPA + yPB ,且x + y = 2 ,请指出点C的位置.例8、给定两个长度为1的平面向量oA 和 OB,它们的夹角为120,如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 AB上变动。若OC=xOA + yOB，其中x, yw R,则x + y的最大值例9、（2013,南通二模）如图，正六边形 ABCDEF中，P是ACDE内（包括边界）的动点, 设AP =uAB+P AF （a,P w R）,则a +P的取值范围是 .