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1、2012年上海高考数学理科试题及答案word版2012年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷(理工农医类) 一、填空题(本大题共有14题，满分56分) 3,ii1、计算:(为虚数单位) ,12,i1，i1,2、若集合，则, Bxx,12AB,Axx,，,210,3,2,2cosx533、函数的值域是 ,fx(),22sin1x,ll4、若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为(结果用反三角函数值表示) arctan2n,(2,1)62,5、在的二项式展开式中，常数项等于 ,160x,x,16、有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则VVV,.,.12n28l
2、im(.)VVV，, 12n,n7xa,1,，,7、已知函数(为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是 aafx()(,1,fxe(),，,32,8、若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 ,329、已知是奇函数，且，若，则 f(1)1,gxfx()()2,，g(1),1yfxx,，(),ll,10、在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成的形式，则M(2,0),f()61, f(),sin,6,11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全2相同的概率是(结果用最简分数表示) 3,ABCDNBCCD
3、A，,ABADM12、在平行四边形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，3,BMCNAMAN,2,5且满足，则的取值范围是 ,BCCD1 1ABC01,x13、已知函数的图像是折线段，其中、，函数()B(,5)yfx,()A(0,0)C(1,0)yxfx,()25的图像与轴围成的图形的面积为 x4BCABCDBC,2ADc,2ABBDACCDa，,，,214、如图，与是四面体中互相垂直的棱，若，且，AD222ABCD其中为常数，则四面体的体积的最大值是 cac,1ac,3二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 2i15、若B是关于的实系数方程xbxc，,0的一个复数根，则( ) 1
4、2，xA、 B、 C、 D、 bc,2,3bc,2,3bc,2,1bc,2,1222ABCABCCsinsinsinABC，,16、在?中，若，则?的形状是( ) A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定 4517、设，随机变量,取值x、x、x、x、x的概率均为0.2，随机变1010,xxxxx,1011234551234xx，xx，xx，xx，xx，2334455112量,取值、的概率也均为0.2，若记D,、D,分别为,、,的2211222222A方差，则( ) D,D,D,D,A、, B、, 2211D,D,D,D,xxxxC、, D、与大小关系与、的取值有关 2211
5、12341n,DnN,asinSaaa,，.SSS,.,18、设，()，在中，正数的个数是( ) nnn1212100n25A、25 B、50 C、75 D、100 三、解答题(本大题共有5题，满分74分) 19、(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 PABCD,ABCDABCDPCPAEAB,2如图，在四棱锥中，底面是矩形，?底面，是的中点，已知，2 ，求: PA,2AD,22PCD(1)三角形的面积 BC(2)异面直线与所成的角的大小 AE解因为底面所以又:(1),PAABCDPACDADCD,所以平面CD,PAD从而分CDPD,.3？ 22因为PDCD,
6、，,2(22)23,2,1所以三角形的面积为PAD，,223232(2):解法一如图所示建立空间直角坐标系则,(2,0,0),(2,22,0),(1,2,1),BCE,？分AEBC(1,2,1),(0,22,0)8, 设与的夹角的，则AEBC,AEBC42,cos,2，222AEBC,.4,由此知，异面直线与所成的角的大小是分？BCAE124解法二:取中点，连接、，则EF 从而，AEF(或其补角)PBFEFAFBC,是异面直线BC与AE所成的角.8？分 在,AEF中，由、,、,EFAFAE222 知是等腰直角三角形,AEF,所以，,AEF.4,因此，异面直线与所成的角的大小是分？BCAE124
7、20、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 fxx()lg(1),，已知 3 (1)若，求的取值范围 x0(12)()1,fxfx01,x(2)若是以2为周期的偶函数，且当时，求函数()的反函数x,1,2gx()gxfx()(),ygx,(),220,x,解:(1)由得,11.,x,x，,10,2222,xx由得分0lg(22)lg(1)lg11103,，,xx？x，11x21因为所以得xxxxx，,，,，,10,1221010,.33,11x,21,由得分,x？6,2133,x,33,(2)1,2,20,1,当时因此xx,ygxgxgxfxx,()(2)(2
8、)(2)lg(3)10？分 由单调性可得y,0,lg2.yx因为所以所求反函数是分x,310,.14yx,310,0,lg2？21、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系A(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图，现假设:?失事船的移动路径可122yx,视为抛物线;?定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;?救援船出发小时后，失事船所在位置的横t497t坐标为 t,0.5P(1)当时，写出失事船所在位置的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船
9、速度的大小和方向 (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船, 4 7122解时的横坐标代入抛物线方程:(1)0.5,7,tPxtyx,P249得的纵坐标分Py,3.2？P949由得救援船的速度的大小写为海里时分AP,949/4？2777由得故救援船速度的方向为北偏东弧度分tan,.6，,，,OAPOAParcranarctan？3030302设救援船的时速为海里经过vt小时追上失事船此时位置为(7t,12t).(2),222 212),t，由vtt,，(7)(1122整理得分vt,，144()337.10？2t12因为当且仅当t，,2,t=1时等号成立.2t22所以即y,，,14423
10、3725,.v2,5因此救援船的时速至少是海里才能追上失事船,254.？1分22、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 22在平面直角坐标系中，已知双曲线 xOyCxy:21,1(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积 CCx1122llOPP(2)设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证:? CQOQxy，,1122NOMONOMNM(3)设椭圆，若、分别是、C上的动点，且?，求证:到直线的距CCxy:41，,212离是定值 2,x22解:(1)双曲线C:,，左顶点,yx1,0,2A渐近线方程
11、:y=,1,12,2,2过点与渐近线Axyxyxy=22,21平行的直线方程为即,，,，,2,2x,yx,2,4解方程组得,1yx,，21,y,212所以所求三角形的面积为S,OAy285 (2),设直线的方程是因直线与已知圆相切PQyxbPQ,，b2 故,，即,1b22yxb,，,22由得xbxb,210,2221xy,xxb，,2,12设、则PxyQxy(,)(,),11222xxb,112,又所以yyxbxb,，()(),1212,2OPOQxxyyxxbxxb ,，,，2()121212122222,，,2(1)2bbbb,20故OPOQ,.(3)当直线垂直于轴，ONx23ONOMOM
12、N,1,则直线的距离为23当直线不垂直于轴时，ONx2设直线的方程为显然ONykxk,(),21则直线的方程为OMyx,.k1,2x,22,ykx,1，k2,，4k由得所以,ON,22224，k41xyk，,2,y,2,4，k,21，k2同理,OM221k,设到直线的距离为OMNd22222因为,，OMONOMON，d，211133k，3 所以,，,即,3,d2222dk，13OMON综上，到直线的距离是定值OMN.23、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 6 ,n,2对于数集，其中，定义向量集YaastsXtX,(,),，Xxxx,1,.
13、,0.,xxx,12n12n,若对任意，存在，使得，则称具有性质，例如具有性质 XPP,1,1,2aY,aY,aa,0,1212x,2(1)若，且具有性质，求的值 P,1,1,2,xx,(2)若具有性质，求证:，且当时， XP1,Xx,1x,1n1(3)若具有性质，且、(为常数)，求有穷数列的通项公式 XPqx,1xq,xxx,.,1212n,解:(1)选取,aa(x,2),Y中与垂直的元素必有形式(,1，)b11所以x,2b,从而x=4,(2)证明:取,(aaaax,x),Y,设,(s,t)Y满足, 0112212由(s+t)x,0得s+t=0,所以s、t异号1因为-1是X中唯一的负数，所以
14、s,t之中一个为-1,另一个为1，故1,.其中,则,knxx,1 假设x,1,k1n,选取并设满足,axxYastYaatx,，,(,),(,)0 0，即sx111nn,则异号，从而之中恰有一个为。stst,1,若则矛盾sxtxtx,1,;11n若则矛盾t1,;,xsxsxn11所以x1.,1(3)解法一:i1,猜测xqin,1,2,.？i？n.记,1,1,2,3,xxk？kk2先证明:若A具有性质,，则,也具有性质P.kk，1,任取当中出现时，显然有满足aststAstaaa,(,),.,10. 122k,当且时，则st,11.s,t,因为,具有性质,，所以有，使得aststAaa,(,),
15、0. kk，2111112,从而和中有一个是-1，不妨设,.sts1111假设,且,，,则txstx,.由，得(,)(1,)0s=tx x，tt11kk，,11111kkkk，与s,矛盾.k10、做好培优扶差工作，提高数学及格率，力争使及格率达95%。所以,t,.从而,也具有性质,.1kki,1现在数学归纳法证明:x=q,i=1,2,n.？i当n=2时，结论显然成立;i,1假设时n=k时，,有性质,，则,1,1,;xx？x=q，i=1,2,nkki21,;xx？，当n=k，,时，,若有性质,，则,1,1,1,xx？kkk，2,2k 7 (1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅
16、助线.（圆心向弦作垂线）k，1也有性质,，所以,1,1,q,？qx.,kk，,取，并设满足,axqastaas,(,)(,)1t1 0.由此可得或.,121k，q 若，则t1q,x=，不可能;,k，s11.弧长及扇形的面积jkkk,1所以sx,1,qt=q.=q且xq，所以x=q,kkk，11i,1综上所述x=q，i=1,2,n.？i(1)三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.解法二:,st,2设则等价于astastaa,(,),(,),0. 11122212ts,22、会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体
17、会数与日常生活的密切联系。,s,记,=sXtXstX,则数集具有性质,当且仅当数集,关于原,t,点对称.注意到-1是,中的唯一负数，,共有个数，:？(,0),1,xxxn23n所以,也只有个数:(,0)1,n.xxxxnnnn由于,？,1已有个数，对以下三角数阵n,xxxx1221nn,xxxxnnnn,？xxxxnn,1221同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。xxxnnn,111,？xxxnn,2314.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即？定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，x2x1xxxxxxnnnn,1122注意到所以从而数列的通项为,？,xxxxxxnn111121,定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. （尺规作图）k,1,xk,12 xxqkn,1,2,.？k1,x1,推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.8 9