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1、免费下载-2012年上海高考数学（理科）试卷【免费】用请下载 2012年上海高考数学,理科,试卷 一、填空题(本大题共有14题，满分56分) 3,i 1(计算:= (i为虚数单位). 1，i2(若集合，则= . A,x|2x，1,0B,x|x,1,2A:B2cosx 3(函数的值域是 . f(x),sinx,14(若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 (结果用反三角 n,(,2,1)ll函数值表示). 26 5(在的二项展开式中，常数项等于 . (x,)x1 6(有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为 2V,V,V,，则 . lim(V，V，？，V),12n12n
2、,n|x,a| 7(已知函数(a为常数).若在区间1,+,)上是增函数，则a的取值范 f(x)f(x),e围是 . 8(若一个圆锥的侧面展开图是面积为2,的半圆面，则该圆锥的体积为 . 2 9(已知是奇函数，且.若，则 . f(1),1g(x),f(x)，2g(,1),y,f(x)，x10(如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角 M(2,0)ll ,.若将的极坐标方程写成的形式，则 ,f(,),l, 6O M x . f(,),11(三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示). ,12(在平行四边形A
3、BCD中，?A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别 3|BM|CN|是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 . AM,AN,|BC|CD|113(已知函数y,f(x)的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0). 2y,xf(x)(0,x,1)函数的图像与x轴围成的图形的面积为 . 【免费】用请下载 D 14(如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为 常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 . C B 二、选择题(本大题共有4题，满分20分) A 215(若是关于x的实系数方程
4、的一个复数根，则 ( ) 1，2ix，bx，c,0(A). (B). (C).(D). b,2,c,3b,2,c,3b,2,c,1b,2,c,122216(在中，若，则的形状是 ( ) ,ABCsinA，sinB,sinC,ABC(A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)不能确定. 4517(设，. 随机变量取值、的 10,x,x,x,x,10xxx,10,xxx11352451234x，xx，xx，xx，xx，x2334455112概率均为0.2，随机变量取值、的概率也为0.2. ,222222若记、分别为、的方差，则 ( ) D,D,1212(A),. (B),.
5、(C),. D,D,D,D,D,D,121212(D)与的大小关系与、的取值有关. D,D,xxxx1212341n,18(设，. 在中，正数的个数是 ( ) a,sinS,a，a，？，aS,S,？,Sn12n12100n25n(A)25. (B)50. (C)75. (D)100. P 三、解答题(本大题共有5题，满分74分) 19(如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA?底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， E D A AD=2，PA=2.求: 2(1)三角形PCD的面积;(6分) B C (2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分) 20(已知函数f(x),
6、lg(x，1). (1)若0,f(1,2x),f(x),1，求的取值范围;(6分) x(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当时，有g(x),f(x)，求函数 0,x,1y,g(x)(x,1,2)的反函数.(8分) 【免费】用请下载 21(海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处，如图. 现假设:?失事船的移动路径可视为抛物线 y 212P ;?定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;?救 y,x49援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. t7t(1)当时，写出失事船
7、所在位置P的纵坐标. 若此时 t,0.5x O 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向;(6分) (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船,(8分) A 2222(在平面直角坐标系中，已知双曲线. xOyC:2x,y,11(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 CC11的三角形的面积;(4分) 22 (2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证: Cx，y,11OP?OQ;(6分) 22 (3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OM?ON， CC:4x，y,1C212求证:O到直线MN的距离是定值.(6分) 23(对于数集，其中，定义
8、向量集 X,1,x,x,？,x0,x,x,？,xn,212n12n. 若对于任意，存在，使得，则称X Y,a|a,(s,t),s,X,t,Xa,Ya,Ya,a,01212具有性质P. 例如X,1,1,2具有性质P. (1)若x,2，且,1,1,2,x，求x的值;(4分) (2)若X具有性质P，求证:1,X，且当x,1时，x=1;(6分) n1(3)若X具有性质P，且x=1，x=q(q为常数)，求有穷数列的通 x,x,？,x1212n项公式.(8分) 【免费】用请下载 2012年上海高考数学,理科,试卷解答 一、填空题(本大题共有14题，满分56分) 3,i 1(计算:= 1-2i (i为虚数单
9、位). 1，i1 2(若集合，则= . A,x|2x，1,0B,x|x,1,2A:B(,3)22cosx53 3(函数的值域是 . f(x),22sinx,14(若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 arctan2 (结果用反三角 n,(,2,1)ll函数值表示). 26 5(在的二项展开式中，常数项等于 -160 . (x,)x16(有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为 28V,V,V,，则 . lim(V，V，？，V),12n12n7,n|x,a| 7(已知函数(a为常数).若在区间1,+,)上是增函数，则a的取值范 f(x)f(x),e围是 (-, 1 .
10、 3 8(若一个圆锥的侧面展开图是面积为2,的半圆面，则该圆锥的体积为 . ,32 9(已知是奇函数，且.若，则 -1 . f(1),1g(x),f(x)，2g(,1),y,f(x)，xl 10(如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角 M(2,0)l,.若将的极坐标方程写成的形式，则 ,f(,)l6, 1 . f(,),O ,M x sin(,)611(三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 2两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示). 3,12(在平行四边形ABCD中，?A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别 3|BM|CN
11、|是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 2, 5 . AM,AN,|BC|CD|113(已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0). y,f(x)2D 5函数的图像与x轴围成的图形的面积为. y,xf(x)(0,x,1)414(如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为 C 222常数，则四面体ABCD的体积的最大值是ca,c,1 . B 3A 二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 215(若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 ( B ) 1，2ix，bx，c,0(A)b,2
12、,c,3. (B)b,2,c,3. (C)b,2,c,1.(D)b,2,c,1. 22216(在中，若，则的形状是 ( C ) ,ABCsinA，sinB,sinC,ABC(A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)不能确定. 【免费】用请下载 4517(设，. 随机变量取值、的 10,x,x,x,x,10xxx,10,xxx11352451234x，xx，xx，xx，xx，x2334455112概率均为0.2，随机变量取值、的概率也为0.2. ,222222若记、分别为、的方差，则 ( A ) D,D,1212(A),. (B),. (C),. D,D,D,D,D,D,
13、121212(D)与的大小关系与、的取值有关. xD,D,xxx1213241n,18(设，. 在中，正数的个数是 ( D ) a,sinS,a，a，？，aS,S,？,Sn12n12100n25n(A)25. (B)50. (C)75. (D)100. P 三、解答题(本大题共有5题，满分74分) 19(如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA?底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， E AD=2，PA=2.求: D 2A (1)三角形PCD的面积;(6分) B (2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分) C 解(1)因为PA?底面ABCD，所以PA?CD，又AD?
14、CD，所以CD?平面PAD， 从而CD?PD. 3分 22 因为PD=，CD=2， 2，(22),23z 1 所以三角形PCD的面积为. 6分 ，2，23,232P (2)解法一如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)， 22E ，. 8分 AE,(1,2,1)BC,(0,22,0)D A y 设AE与的夹角为,，则 BCB 2AE,BC4, ，,=. cos,C 42，222AEBC|x , 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分 4解法二取PB中点F，连接EF、AF，则 P EF?BC，从而?AEF(或其补角)是异面直线
15、BC与AE所成的角 8分 F E 在,AEF中，由EF=、AF=、AE=2 22D A 知,AEF是等腰直角三角形， , 所以?AEF=. B 4C ,因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分 420(已知函数. f(x),lg(x，1)(1)若，求的取值范围;(6分) 0,f(1,2x),f(x),1x(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当时，有g(x),f(x)，求函数 0,x,1的反函数.(8分) y,g(x)(x,1,2)2,2x,0,解(1)由，得. ,1,x,1,x，1,0,2,2x2,2x 由0,lg(2,2x),lg(x，1),lg,1得1,10. 3分 x，1x，1
16、21 因为，所以，,x,. x，1,0x，1,2,2x,10x，1033,1x1,21 由得,x,. 6分 ,3321,x33,(2)当x,1,2时，2-x,0,1，因此 y,g(x),g(x,2),g(2,x),f(2,x),lg(3,x). 10分 【免费】用请下载 由单调性可得. y,0,lg2yx因为，所以所求反函数是，. 14分 x,0,lg2y,3,10x,3,1021(海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处，如图. 现假设:?失事船的移动路径可视为抛物线
17、 y 2P 12;?定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;?救 y,x49援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. t(1)当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 t,0.5x O 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向;(6分) (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船,(8分) 2712A 解(1)时，P的横坐标x=，代入抛物线方程 7t,y,xt,0.5P249中，得P的纵坐标y=3. 2分 P949 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. 4分 94927727 由tan?OAP=，得?OAP=arctan，故救援船速度的方向 ,303，12307 为北偏东arct
18、an弧度. 6分 302 (2)设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为. vt(7t,12t)222221 由，整理得v,144(t，)，337.10分 vt,(7t)，(12t，12)2t21 因为t，,2，当且仅当=1时等号成立， t2t22 所以，即. v,144，2，337,25v,25因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 14分 2222(在平面直角坐标系中，已知双曲线. xOyC:2x,y,11(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 CC11的三角形的面积;(4分) 22 (2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相
19、切，求证: Cx，y,11OP?OQ;(6分) 22 (3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OM?ON， CC:4x，y,1C212求证:O到直线MN的距离是定值.(6分) 222x解(1)双曲线，左顶点，渐近线方程:. A(,0)y,2xC:,y,111222 过点A与渐近线平行的直线方程为，即. y,2xy,2(x，)y,2x，122,x,y,2x,4 解方程组，得. 2分 ,1y,y,2x，1,2,21 所以所求三角形的面积1为. 4分 S,|OA|y|,28(2)设直线PQ的方程是y,x，b.因直线与已知圆相切， |b2,1 故，即. 6分 b,22,，yxb,22 由，得. x
20、,2bx,b,1,0,222x,y,1,，,2xxb,12 设P(x, y)、Q(x, y)，则. 1122,2xx,b,1,12又2，所以 2 OP,OQ,xx，yy,2xx，b(x，x)，b12121212【免费】用请下载 222， ,2(,b,1)，b,2b，b,b,2,0故OP?OQ. 10分 (3)当直线ON垂直于x轴时， 32 |ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为. 23当直线ON不垂直于x轴时， 21 设直线ON的方程为(显然)，则直线OM的方程为. y,kxy,x|k|,k221,x,ykx,22,21，k4，k 由，得，所以. |ON|,22,222k4，ky,4
21、x，y,1,2,4，k,221，k同理. 13分 |OM|,22k,122222 设O到直线MN的距离为d，因为， (|OM|，|ON|)d,|OM|ON|233k，3111 所以，即d=. ,，,322223d|OM|ON|k，1综上，O到直线MN的距离是定值. 16分 23(对于数集，其中，定义向量集 X,1,x,x,？,x0,x,x,？,xn,212n12n. 若对于任意，存在，使得，则称X Y,a|a,(s,t),s,X,t,Xa,Ya,Ya,a,01212具有性质P. 例如具有性质P. X,1,1,2(1)若x,2，且，求x的值;(4分) ,1,1,2,x(2)若X具有性质P，求证:
22、1,X，且当x,1时，x=1;(6分) n1(3)若X具有性质P，且x=1，x=q(q为常数)，求有穷数列的通 x,x,？,x1212n项公式.(8分) 解(1)选取，Y中与垂直的元素必有形式. 2分 (,1,b)a,(x,2)a11所以x=2b，从而x=4. 4分 (2)证明:取.设满足. a,(x,x),Ya,(s,t),Ya,a,0111212由得，所以、异号. (s，t)x,0sts，t,01因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1， st故1,X. 7分 假设，其中，则. x,10,x,1,x1,k,nk1n选取，并设满足，即， sx，tx,0a,(x,x),Ya,(s
23、,t),Ya,a,011n1n212则、异号，从而、之中恰有一个为-1. stst若=-1，则2，矛盾; s若=-1，则，矛盾. x,sx,s,xtn1n所以x=1. 10分 1i,1 (3)解法一猜测，i=1, 2, , n. 12分 x,qi记，k=2, 3, , n. A,1,1,x,？,xk2k先证明:若A具有性质P，则A也具有性质P. k，1kA 任取，、,.当、中出现-1时，显然有满足; a,(s,t)ststaa,a,0k1212当且时，、?1. sts,1t,1因为A具有性质P，所以有，、,A，使得， sta,(s,t)a,a,0k，1k，11121112从而和中有一个是-1，
24、不妨设=-1. sts111假设,A且,A，则.由，得，与 ttt,x(s,t),(,1,x),0s,tx,xk，1k1k，1k，111k，1k，1,A矛盾.所以,A.从而A也具有性质P. 15分 tskkk1【免费】用请下载 i,1现用数学归纳法证明:，i=1, 2, , n. x,qi当n=2时，结论显然成立; 垂直于切线; 过切点; 过圆心.i,1 假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, , k; A,1,1,x,？,xx,qk2ki当n=k+1时，若有性质P，则 A,1,1,x,？,x,xA,1,1,x,？,xk，12kk，1k2ktan1k,1 也有性质P，所以. A,1,1,q
25、,？,q,xk，1k，1扇形的面积S扇形=LR2取，并设满足，即.由此可得s与ta,(x,q)xs，qt,0a,(s,t)a,a,01k，1k，1212中有且只有一个为-1. 若，则1，不可能; t,1等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。k,1kk,1k 所以，又，所以. x,qt,q,q,qx,qx,qs,1，1kk，1k，13、学习并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。i,1i,1 综上所述，i=1, 2, , n. 18分 x,qx,
26、qiist12, 解法二设，则等价于. a,(s,t)a,(s,t)a,a,0ts1112221212s 记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于 B,|s,X,t,X,|s|,|t|t原点对称. 14分 注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数， B:(,0),x,x,？,x23n所以也只有n-1个数. B:(0,，,)扇形的面积S扇形=LR2xxxxnnnn,？,由于，已有n-1个数，对以下三角数阵 xxxx,1,221nn（2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：xxxxnnnn,？, xxxx,1,221nnxxx111n,n,n,？, xxx231n,n,(一)教学重点 八、教学进度表x2 x1xxxxxx12nn,nn,12,？,？, 注意到，所以，从而数列的通项公式为 xxxxxx111n,1n,215.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45、135、225。xk,1k,12x,x(),q ，k=1, 2, , n. 18分 k1x1