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1、九年级数学上册 全册同步导学（正文） 苏教版第一章 图形的证明(二) 1.1等腰三角形的性质和判定 【自主学习】 (一)复习巩固: 1(用,的过程，叫做证明(经过,称为定理( 2(我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实: (1)两直线平行，,;(2)同位角相等，,; (3),的三角形全等;(4),的三角形全等; (5),的三角形全等;此外，还有,和,也都看作是基本事实( (二)新知导学 1(等腰三角形有哪些性质, ?,;?,; 2. 等腰三角形有哪些判定,; 【合作探究】 1.证明:等腰三角形的两个底角相等( 2.怎样证明:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合( 3(
2、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理( 定理:,，(简称:,) 定理:,，(简称:,) 4(你能写出上面两个定理的符号语言吗,(请完成下表) 文学语言 图形 符号语言 在?ABC中 等边对等角 ?,; ?,( 在?ABC中，AB,AC (1)?BAD,?CAD ?,，,( 三线合一 (2)?BD,CD ?,，,( (3)?AD?BC ?,，,( 5(思考与探索 如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的, 要求:(1)写出它的逆命题:,( - 1 - (2)画出图形，写出已知、求证，并进行证明( 【自我检测】 一、填空题 1(如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，
3、那么另两边长分别为,( 2(如果等腰三角形有两边长为2和5，那么周长为,( 3(如果等腰三角形有一个角等于50?，那么另两个角为,( 4(如果等腰三角形有一个角等于120?，那么另两个角为,( 5(在?ABC中，?A,40?，当?B等于多少度数时，?ABC是等腰三角形, 6(等腰三角形的一个内角为70，它一腰上的高与底边所夹的度数为_. 7(等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为15，8两部分，则它的底边长为_. 二、选择题 8(下列命题中，正确的是( ) A.两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B.两条边彼此相等的两个直角三角形全等 C.有一高对应相等的等边三角形全等 D. 有一条边彼此相
4、等的等腰直角三角形全等 9.下列条件:?已知两腰;?已知底边和顶角;?已知顶角与底边;?已知底边和底边上的高;?已知腰和腰上的高线。其中能确定一个等腰三角形的条件是( ) A.? B.? C.? D.? 三、解答题 10(已知:如图，AD平分?BAC，AB=AC( A (1)求证:AD?BC. (2)请你说明?DBC是等腰三角形( D B C 11(如图，?ABC中，AB,AC，2条角平分线BD、CE相交于点O，求证:OB,OC( A E D O B C 12(如图在?ABC中，D，E分别是AC、AB上的点，BD、CE交于点O，给出下列四个条件，?EBO=?DCO，?BEO=?CDO，?BE=
5、CD，?OB=OC. (1)上述四个条件中哪两个条件可以判定?ABC是等腰三角形(用序号写出所有情况) (2)选择其中一种情况证明?ABC是等腰三角形( 13(求证:如果一个等腰三角形中有一个角等于60?，那么这个三角形是等边三角形( - 2 - 14(如图，BO平分?CBA, CO平分?ACB, 且MN/BC, A (1)写出图中所有的等腰三角形 (2)求证:BD+CE=DE M O N (3)若AB=12,BC=24,AC=18,求?AMN的周长( C B 15(如图，点E是等边?ABC内一点，且EA=EB，?ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分?DBC，求?BDE的度数( A DE
6、CB16(如图1，等边?ABC中，D是AB上的一动点，以CD为一边向上作等边?EDC，连AE， (1)求证:AE?BC (2)如图2，将(1)中等边?ABC改为以BC为底边的等腰三角形所作?EDC改为相似于?ABC，请问:是否仍有AE?BC,证明你的结论( A E A E D D B C B C 图2 图1 - 3 - 1.2直角三角形全等的判定(1) 【自主学习】 (一)复习巩固: 1.等腰三角形性质定理:(1),;(2),.等腰三角形判定定理:,. 2.已知:如图?EAC是?ABC的外角，AD平分?EAC，且AD?BC.求证:AB,AC E A D B C 3(在上图中，如果AB,AC，A
7、D?BC，那么AD平分?EAC吗,如果结论成立，你能证明这个结论吗, 4.你还能得到其他的结论吗,与同学交流. (二)新知导学 1(请大家按要求作图: ?画?PCQ ?在射线CP上取线段CA,4厘米，画弧交射线CQ于B 使AB,5厘米( ?连接AB 2(请同桌之间所画直角三角形是否全等,由此得到什么结论, ( 【合作探究】 1(证明:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写为“H L”)( 已知: 求证: 证明: 12.如果在上面的图中，如果?BAC=30?，那么BC=AB吗,并用文字语言叙述出来( 2- 4 - 【自我检测】 一、选择题 1.下面关于直接三角形全等的判定，不正确的是
8、( ) A(有一个锐角和一边对应相等的两个直接三角形全等 B(有两边对应相等的两个直接三角形全等 C(有两角对应相等，且有一条公共边的两个直接三角形全等 D(有两角和一边对应相等的直接三角形全等 2(使两个直角三角形全等的条件( ) A(一锐角对应相等 B(两锐角对应相等 C(一条边对应相等 D(两条边对应相等 3(用两个全等的直角三角形拼下列图形:(1)平行四边形(不包含菱形、矩形、正方形);(2)矩形;(3)菱形;(4)正方形;(5)等腰三角形，一定可以拼成的图形是( ) A(1)(2)(5) B(2)(3)(5) C(1)(4)(5) D(1)(2)(3) 4(在下列定理中假命题是( )
9、 A(一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B(一个直角三角形必能分成两个等腰三角形 C(两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D(两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形 5(已知，如图，?ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个( ) (1)AD平分?EDF;(2)?EBD?FCD;(3)BD=CD;(4)AD?BC( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ,，BAF,60，DAE6.如图,矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果,则 等于( ) ,15304560A. B. C. D. 7(Rt?ABC中，?B=90?，?ACB=6
10、0?，延长BC到D，使CD=AC，则AC:BD=( ) A(1:1 B(3:1 C(4:1 D(2:3 二、填空题 8.如图，点A.B.C在一条直线上，DA?AC,E?CAC,垂足分别为A、C，AB=EC，AD=CB，则?DBE= 009.在?ABC中，?C=90，A=30，AB=4，则BC= ，AC= . 10.如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直接三角形的直角顶点落在点A处，两条直角边分别与CD相交于点F，与CD得延长线交于点E，四边形AECF的面积等于 11(如图，在?ABC和?ABD中，?C=?D=90?，若利用“AAS”证明?ABC?ABD，则需要加条件 _
11、或 ; 若利用“HL”证明?ABC?ABD，则需要加条件 或 ( 12(如图，?ABC中，AD?BC，CE?AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件: ，使?AEH?CEB 13.如图，有一个直角?ABC，?C=90?，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB，P.Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP= 时,才能使ABC?PQA. - 5 - 三、解答题 14.如图，CD?AB,BE?AC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于点O,如果AB=AC，那么图中有几对全等的直接三角形,试证明你的结论. A DE OBC15.如图，在?ABC中，已知D是
12、BC中点，DE?AB，DF?AC，垂足分别是E、F，DE,DF. 求证:AB=AC A EFBC D16.已知:如图，AC平分?BAD，CE?AB于E，CF?AD于F，且BC,DC.你能说明BE与DF相等吗, F C D 1 2 A E B - 6 - 1.2直角三角形全等的判定(2) 【自主学习】 (一)复习巩固: 1.我们已经学习过有关直角三角形全等的判定方法，请你写出这些定理;直角三角形全等的判定定理: (1),.简写( ) 2),.简写( ) (3),.简写( ) 4),.简写( ) (5),.简写( ) 2.如图，在?ABC和?ABD中，?C=?D=90?，若利用“AAS”证明?AB
13、C?ABD，则需要加条件 _或 ; 若利用“HL”证明?ABC?ABD，则需要加条件 或 ( (二)新知导学 证明:角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 已知，OC是?AOB的平分线，点P在OC上PD?OA，PE?OB，垂足分别为D、E，求证:PD=PE. A DCP O EB 【合作探究】 1.证明:在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 已知，如图，PD?OA，PE?OB，垂足分别为D、E，且PD=PE，求证:点P在?AOB的平分线上. A DPO EB2.如图，?ABC的角平分线AD、BE相交于点O，点O到?ABC各边的距离相等吗,点O在?C的平分线上吗, A
14、E OBCD- 7 - 【自我检测】 一、选择题 1. 下列各点中到三角形各边的距离相等的是( ) A(三角形三条角平分线的交点 B(三角形三条高线的交点 C(三角形三条垂直平分线的交点 D(三角形三条中线的交点 2.?ABC中，?C=90?，AD为角平分线，BC=32，BD?DC=9? 7, 则点D到AB的距离为( ) A.18cm B.16cm C.14cm D.12cm 3(在?ABC内部取一点P使得点P到?ABC的三边距离相等，则点P应是?ABC的哪三条线交点( ) A(高 B角平分线 C.中线 D.边的垂直平分线 二、填空题 4.如图，点 P到?AOB两边的距离相等，若?POB=30
15、?，则 ?AOB=_度( 5.已知O为?ABC的三条角平分线的交点，?BOC=120?，则?A= . 6.如图,在?ABC中，?C,90?，AC,BC，AD平分?CAB，交BC于 D,DE?AB于E，且AB,6 cm，则?DEB的周长为_cm. 7.如图，点P是?AOB的角平分线上的一点，PD?OB，PE?OB，OE=4?，?AOB=30?， PD的长为_. 三、解答题 8.如图，已知点C是?AOB平分线上一点，点P、P分别在边OA、OB上，如果要得到PO=OP，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号 . ?OCP=?OCP ;?OPC=?OPC;?PC=PC ;?PP?O
16、C并择其一加以证明. A P C OPB9(如图，在?ABC中，已知D是BC中点，DE?AB，DF?AC，垂足分别是E、F，DE,DF. 求证:AB=AC(两种以上方法) A EFBCD- 8 - 10.如图，已知?ABC的外角?CBD和?BCE的平分线相交于点F，求证:点F在?DAE的平分线上( 11(如图，已知:?BAC=?ADC=90?，E是AC上的一点，AB=AD。求证:EB=ED D ECA B212(如图，BD是?ABC的角平分线，DE?AB于点E，DF?BC于点F，S=36cm，AB=18cm，BC=12cm，求?ABCDE的长( 13.如图，在?ABC中，AB=AC，DE是过点
17、A的直线，BD?DE于D，CE?DE于E( (1)若BC在DE的同侧(如图?)且AD=CE，说明:BA?AC( (2)若BC在DE的两侧(如图?)其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗,若是请予证明，若不是请说明理由( - 9 - 1.3平行四边形矩形菱形正方形的性质和判定(1) 【自主学习】 (一)复习巩固: 1.根据我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，填写下表: 平行四边形 矩形 菱形 正方形 对边平行 对边相等 四边相等 对角相等 4个角是直角 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直 两条对角线平分两组对角 B2. 如图，图中有_个平行四边形. ABABBCBCCAC
18、A/,/,/CAA(二)新知导学 1(上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质, 2(你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个,为什么? BC3(证明定理“平行四边形对角线互相平分”. 已知，如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，求证:AO=CO，BO=DO AD4 1O23 BC 由此证明过程，同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、“平行四边形对角相等”，这样我们可得平行四边形的三条性质定理: ? ; ? ; ? . 【合作探究】 1.已知:如图， 平行四边形ABCD中，E、F分别是DC、AB的中点. 求证:AE=CF - 10 - 112.若将上题中的“E、F分别是
19、AD、BC的中点”改为“AE=AD，CF=BC”，是否还能得到同样的结论, 33【自我检测】 一、填空题 1(已知O是 ABCD的对角线交点，AC=10cm，BD=18cm，AD=12cm，则?BOC的周长是_( 2(已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，?AOB的面积为2，那么ABCD的面积为_( 3(已知平行四边形的两邻边之比为2:3，周长为20cm，则这个平行四边形的两条邻边长分别为_( 4(平行四边形的周长为30，两邻边的差为5，则其较长边是_( 二、选择题 5(在 ABCD中，AC=10，BD=6，则边长AB，AD的可能取值为( )( A(AB=4，AD=4 B(AB=4，AD=
20、7 C(AB=9，AD=2 D(AB=6，AD=2 6(平行四边形一边长为12cm，那么它的两条对角线的长度可能是( )( A(8cm和14cm B(10cm和14cm C(18cm和20cm D(10cm和34cm 7(在 ABCD中，AB=2，BC=3，?B=60?，则 ABCD的面积为( )( 33A(6 B( C(3 D(3 32三、解答题 8(如图，在 ABCD中，AE平分?BAD交DC于点E，AD=5cm，AB=8cm，求EC的长( 9(如图，在 ABCD中，AC?AB，AB=6，BC=10，求:(1)AB与CD的距离;(2)AD与BC的距离( 10(如图， ABCD中，点E，F在
21、对角线AC上，且AE=CF(请你以点F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条线段，猜想并证明它和图中已有的某一线段相等(只需证明一组线段相等即可)( (1)连结_( (2)猜想:_=_( (3)证明: - 11 - 11(如图，已知四边形ABCD是平行四边形，?BCD的平分线CF交AB于点F，?ADC的平分线DG交边AB于点G( (1)求证:AF=GB; (2)请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得?EFG为等腰直角三角形，并说明理由( 12(如图， ABCD中，AD?DB，AC与BD相交于点O，OD=1，?CAD=30?，求AC和DC的长( 13(已知:如图， ABCD中，AC，B
22、D交于点O，EF过点O，分别交CB，AD的延长线于点E，F，求证:AE=CF( 14(有两张全等的三角形纸片，三角形纸片的三条边长分别为2cm，3cm，4cm(你能用这两张三角形纸片拼出几种形状不同的平行四边形, (1)请画图说明各种不同拼法，并说明理由: (2)计算所拼的各个平行四边形的周长( 15(用三种不同的方法把 ABCD的面积四等分，并简要说明理由( - 12 - 1.3平行四边形矩形菱形正方形的性质和判定(2) 【自主学习】 (一)复习巩固: 1._叫矩形，由此可见矩形是特殊的_;因而它且有上节课我们证明过的平行四边形性质?_;?_;?_这三个性质 2(证明: 矩形的四个角都是直角
23、 如图:已知_ 求证:_ 图形:画在下面方框内 3.证明 : 矩形对角线相等 如图:已知_ 求证:_ 图形:画在下面方框内 (二)新知导学 1.如图 矩形ABCD，对角线相交于E，图中全等三角形有哪些,说说看 将目光锁定在Rt?ABC中，你能看到并想到它有什么特殊的性质吗,现在我们借助于矩形来证明 2.AD“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”(如何证明,) E 【合作探究】 A1.已知:如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB.求证:?AOB是等边三角形 DBC O2.若将上题的条件“AC=2AB”改为“?BOC=120?”，你能获得有关这个矩形的哪些结论, CB - 13
24、 - 【自我检测】 一、填空题 1.矩形是轴对称图形，它有_条对称轴( 2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则?ABO的周长为_( 3.如图，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路(小路任何地方水平宽度都相等)，则剩余实验田的面积为_( 4.如图,在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA?MD(若矩形ABCD的周长为48cm，则矩形ABCD的面积2为_cm( 二、选择题 5.如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为( )( A(98 B.196 C.280 D.284 三、解答题 AD6.已知:如图，矩形
25、ABCD的两条对角线相交于点O，?AOD,120?，AB,4cm，求矩形对角线的长 O A DCBE 7.如图 BD，CE 是?ABC的两条高，M是BC的中点，求证 ME=MD C MB 8.已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点( (1)求证:?ADE?BCF;(2)若AD=4cm，AB=8cm，求OF的长( - 14 - 9.如图，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的中点F处，折痕为AE，求CE的长( 10. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P
26、处，点D落在点3Q处，AD与PQ相交于点H，?BPE=30?( (1)求BE、QF的长(2)求四边形PEFH的面积( 11. 如图,先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上(如图?所示)，再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30?(如图?所示)，若AB=4，BC=3，则图?和图?中，点B的坐标为_，点C的坐标为_( ? ? 12.阅读下列过程: 如图?，小肖过AB，CD的中点画直线EF，把矩形ABCD分割成甲、乙两部分( 如图?，小徐过A，C两点画直线AC，把矩形ABCD分割成丙、丁两部分(回答下列问题: (1)填空:S_S，S_S
27、(填“”或“”或“,”); 甲乙丙丁(2)根据小肖、小徐的分割原理，你还能探索出其他的分割方法吗,请在图?中任意给出一种; (3)由本题的操作过程，你发现了什么规律, - 15 - 1.3平行四边形矩形菱形正方形的性质和判定(3) 【自主学习】 (一)复习巩固 1( 叫做菱形，可见菱形是特殊的平行四边形，因此它具备平行四边形的?_;?_;?_这三个性质 (二)新知导学 1.将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下打开，你发现这是一个什么样的图形?说明你的理由( 2(菱形的性质 (1)边 ; (2)对角线: ;(3)角: ( (4)对称性: ( 【合作探究】 1.观察平行四边形和菱形的对
28、角线把它们所分成的三角形，你有何发现, 2.证明:菱形的4条边都相等。 3.菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 4.菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。 - 16 - 【自我检测】 一、选择题 1.下列命题中，错误的是( )。 A(矩形的对角线互相平分且相等 B(对角线互相垂直的四边形是菱形 C(等腰梯形的两条对角线相等 D(等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 2(下列图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A(等边三角形 B(菱形 C(等腰梯形 D(平行四边形 3.菱形ABCD中，不一定成立的是( ) A(四边形ABCD是平行四边形 B(AC?BD C(
29、?ABD是等边三角形 D(?CAB,?CAD 4.如图，菱形ABCD中，BE?AD于E，BF?CD于F，AE=DE，则?EBF=() A(75? B(60? C(50? D(45 二、填空题 5(如图，点O是AC的中点，将周长为4?的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AO长度得到菱形OBCD,则四边形OECF的周长是 ? 6(在菱形ABCD中，?BAD,80?，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F，F为垂足，连接DE，则?CDE,_ 7(菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的面积为_，边长为_( 8(在边长为6的菱形ABCD中，?BAD,60?，E为AB的中点，F为AC上一动点，则E
30、F+BF的最小值为_。 BC9(如图菱形ABCD中，AC=16，BD=12，求菱形ABCD的高BE AED 10(已知:如图，在菱形ABCD中，F是BC上的一点，DF交AC于E，求证:?ABE=?CFE BCF E AD - 17 - 11(已知:如图，在菱形ABCD中，E是AD的中点，EF?AC交CB的延长线于F，交AC、AB于M、P(求证:AB与EF互相平分( EA D M P FBC 12(已知:如图，在菱形ABCD中，EF在BD所在的直线上，且DE=BF。请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等( (1)连结:_(2)猜想:_=_
31、( A证明: DE BF13(求证:菱形的对角线的交点到各边的距离相等( C14(已知:如图，?ABCD中，EF分别是ABCD的中点，BD是对角线，AGDB交CB的延长线于点G( (1)求证:?ADE?CBF; DFC(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么样的四边形,证明你的结论( AEB G - 18 - 1.3平行四边形矩形菱形正方形的性质和判定(4) 【自主学习】 (一)复习巩固 1.正方形: 矩形叫做正方形; 2.正方形的性质有:角 ;边: ; 对角线: ;对称性: . (二)新知导学 1.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角. 已知: 求证:
32、 证明: 【合作探究】 1.已知:如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O;正方形ABCD的顶点A与点O重合，AB交BC于点E，AD交CD于点F.求证:OE=OF DA O AF D BC E C ，发散:?重合部分(四边形AECF)与正方形ABCD的面积关系,并证明. ?正方形ABCD改成矩形，结论还成立吗,若成立给出证明，若不成立，说明理由. AD2.如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且?BAE,2?DAM.求证:AE,BC，CE. M - 19 - EBC【自我检测】 一、选择题 1(下列结论:(1)正方形具有平行四边形的一切性质;(2)正方形具有矩形
33、的一切性质;(3)正方形具_ 有菱形的一切性质;(4)正方形具有四边形的一切性质(其中正确结论有( ) A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 2(四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判别此四边形是正方形的是( ) ?AC=BD，AB?CD，AB=CD?AD?BC，?A=?C ?AO=CO，BO=DO，AB=BC ?AO=BO=CO=DO，AC?BD A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 223.边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB?x轴,BC?y轴, 反比例函数与的y,y,xx图象均与正方形ABCD的边相交,则图中的阴影部分的面积是( ) A(2 B(4 C(8 D(6
34、4(如图，在正方形ABCD的外侧，作等边?ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设?CDH、?GHE的面积分别为S、S，则( ) 12A(3S= 2S B(2S= 3SC(2S=S D(S = 2S 331 21 2 1 2125.有一边长为2的正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折，设折痕为EF(如图(1);再沿过点D的折痕将角A反折，使得点A落在EF的H上(如图(2)，折痕交AE于点G，则EG的长度为 436,233,843,423,A( B( C( D( 二、填空题 6. 如图,正方形ABCD中,?DAF=25?,AF交对角线BD于E,交CD于F, 则?BEC= 度. 7(如图，在正
35、方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD， BF,2BC边上的点，若，则GF的长为 ( AG,1，GEF,90:8(如图:正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE?AC于E，PF?BD于F，则PE+PF= (可以用一句话概括:正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于 ( 9(如图，点O(0，0)，B(0，1)是正方形OBBC的两个顶点，以对角线OB为一边作正方形OBBC，再11121以正方形OBBC的对角线OB为一边作正方形OBBC，依次下去(则 点B的坐标 1212 23 1 610(如图，正方形ABCD的边长为4，MN?BC，分别交AB、CD于点，在MN上任取两
36、点P、Q，那么图中阴影部分的面积是 ( - 20 - 三、解答题 11.如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE?AG于E，BF?DE，交AG于F，求证:AF,BF=EF( DA EF BCG12. 如图，已知正方形ABCD，延长BC到E，在CD上截取CF=CE，延长BF交DE于G(求证:BG?DE( 13. 如图，正方形ABCD中，P为对角线AC上一点，PE?CD于E，PF?AD于F，判断BP与EF之间的大小关系，并证明你的结论( F A D E P B C - 21 - 14(如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，,垂
37、足为M，AM交BD于点F( ?求证:OE,OF; ?如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE,OF”还成立吗?如果成立，请给出证明;如果不成立，请说明理由( A D A D O O E F M C B C M B 图1 图2 F E 15.如图11，在正方形中，点在边上，射线交于点，交的延长线于点. FAFBDEABCDCDBCG(1)求证:?; ,ADE,CDE(2)过点作，交于点，求证:; HCCH,CEFGFH,GHDF,xxx(3)设AD,1，试问是否存在的值，使为等腰三角形，若存在，请求出的值;若,ECG不存在，请说明理由. D
38、A E FH GB C- 22 - 1.3平行四边形矩形菱形正方形的性质和判定(5) 【自主学习】 (一)复习巩固 1、我们学过平行四边形的性质有哪些, 2、平行四边形是如何定义的,具备什么的四边形是平行四边形,请与同学交流( (二)新知导学 1(定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2(定理1;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形( 已知: 求证: 定理2:对角线互相平分的四边形是平行四边形( 已知: 求证: 【合作探究】 1.已知:如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，求证:四边形BFDE是平行四边形 DA EFB C发散:(1)若BE?DF，四边形BF
39、DE是平行四边形吗, (2)若BE?AC于E DF?AC于F，四边形BFDE是平行四边形吗, (3)若BE=DF，四边形BFDE是平行四边形吗, 2.如图，如果OA=OC，OB,OD那么四边形ABCD不是平行四边形，这个结论成立吗,如果成立，你能证明吗, DA O - 23 - BC【自我检测】 一、选择题 1.下列图形中,既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A(平行四边形 B(等边三角形 C(矩形 D(等腰梯形 2(A、B、C、D在同一平面内，从(1)AB?CD(2)AB=CD(3)BC?AD(4)BC=AD这四个条件中任意选两能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( ) A(3种
40、B(4种 C(5种 D(6种 3(在平面直角坐标系中，以点A(0，0)、B(0，-5)、C(-2，-2)为平行四边形的三顶点，则第四顶点不可能在( ) A( 第一象限 B( 第二象限 C(第三象限 D(第四象限 4(在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC,6，BD,8则AB的取值范围为( ) A(1AB7 B(2AB14 C(6AB8 D(3AB4( 二、填空题 在四边形ABCD中，已知AB?CD，请补充一个条件 ，使得四边形ABCD是平行四边形( 5.6.若A、B、C是不在同一直线的三点，则以这三点为顶点画平行四边形，可画 个 22227.一个四边形的边长依次为a，b，c
41、，d，且a+b+c+d,2ac+2bd，则这个四边形是 . 8.已知四边形ABCD中，AD?BC，分别添加下列条件，?AB?CD，?AB,DC，?AD,BC，?A,?C，?B,?C，能使四边形ABCD成为平行四边表的条件的序号是 . 三、解答题 9.如图，已知?ABCD中，AC的平行线MN分别交DA，DC的延长线于M，N，交AB，BC于P，Q，求证:QM=NP( ADM PC QBN 10(如图，在?ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于F (1)求证:?ABE?DFE; (2)试连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论( 11.已知平行四边形ABCD中
42、，对角线AC和BD相交于点O，M，N分别是OA，OC的中点，求证:BM=DN ，BM?DN. - 24 - 12.已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,给出下列四个论断 ? OA,OC ? AB,CD ? ?BAD,?DCB ? AD?BC 请你从中选择两个论断作为条件,以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论,完成下列各题: ?构造一个真命题，画图并给出证明; (?构造一个假命题，举反例加以说明. (13.如图，在平形四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的一条线所相等(只须证明一组线
43、段相等即可) (1)连结_ (2)猜想_=_ 14(.如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，AE=CF，AF与BE交于点G，CE与DF交于点H，求证:EF与GH互相平分( - 25 - 15(如图，矩形ABCD中，AB,4cm，BC,8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动( (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇, (2)若点E在线段BC上，且BE,3cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形, NAD MCB 16(在等腰?ABC中，AB,AC，点D是直线BC上一点