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1、第二章 函数第一教时教材：映射目的：要求学生了解映射和一一映射的概念，为今后在此基础上对函数概念的理解打下基础。过程：一、复习：以前遇到过的有关“对应”的例子 1 看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系。2 对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应。3 坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应。4 任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应。A B A BA B A B二、提出课题：一种特殊的对应：映射乘以2 （1） （2） （3） （4）引导观察，分析以上三个实例。注意讲清以下几点：1先讲清对应法则：然后，根据法则，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都
2、有一个（或几个）元素与此相对应。2对应的形式：一对多（如）、多对一（如）、一对一（如、）3映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。4注意映射是有方向性的。5符号：f ： A B 集合A到集合B的映射。6讲解：象与原象定义。再举例：1A=1,2,3,4 B=3,4,5,6,7,8,9 法则：乘2加1 是映射 2A=N+ B=0,1 法则：B中的元素x 除以2得的余数 是映射 3A=Z B=N* 法则：求绝对值 不是映射（A中没有象）4A=0,1,2,4 B=0,1,4,9,64 法则：f ：a b=(a1)2 是映射三、一一映射观察上面的例图（2） 得出两个特点： 1对于集合A
3、中的不同元素，在集合B中有不同的象 （单射） 2集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象 （满射） 即集合B中的每一个元素都有原象。fA B 结论：（见P48） 从而得出一一映射的定义。abcdmnpq 例一：A=a,b,c,d B=m,n,p,q 它是一一映射 例二：P48 例三：看上面的图例（2）、（3）、（4）及例1、2、4 辨析为什么不是一一映射。四、练习 P49五、作业 P4950 习题21 教学与测试 P3334第16课第二教时教材：函数概念及复合函数 目的：要求学生从映射的观点去理解函数的概念，明确决定函数的三个要素。 过程：一、复习：（提问）1什么叫从集合到集合上的映射
4、？2传统（初中）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？二、函数概念：1重复初中时讲的函数（传统）定义：“定义域”“函数值”“值域”的定义。2从映射的观点定义函数（近代定义）： 1函数实际上就是集合A到集合B的一个映射 f：A B 这里 A, B 非空。 2A：定义域，原象的集合 B：值域，象的集合（C）其中C B f：对应法则 xA yB 3函数符号：y=f(x) y 是 x 的函数，简记 f(x)3举例消化、巩固函数概念：见课本 P5152 一次函数，反比例函数，二次函数 注意：1务必注意语言规范 2二次函数的值域应分 a0, a0 讨论4关于函数值 f(a) 例：f(x)=x2+3x+1
5、则 f(2)=22+32+1=11 注意：1在y=f(x)中 f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样。 2f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”。 3f(x)与f(a)是不同的，前者为函数，后者为函数值。三、函数的三要素： 对应法则、定义域、值域 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。例一：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ 1 解：不是同一函数，定义域不同 2。 解：不是同一函数，定义域不同 3。 解：不是同一函数，值域不同 4 解：是同一函数 5 解：不是同一函数，定义域、值域都不同 例二： P55 例三 （略）四、关于复合函数 设 f(x)=2x
6、3 g(x)=x2+2 则称 fg(x)（或gf(x)）为复合函数。 fg(x)=2(x2+2)3=2x2+1 gf(x)=(2x3)2+2=4x212x+11 例三：已知：f(x)=x2x+3 求：f() f(x+1) 解：f()=()2+3 f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3例四：课本P54 例一五、小结：从映射观点出发的函数定义，符号f(x) 函数的三要素，复合函数六、作业：课课练P48-50 课时2 函数（一） 除“定义域”等内容第三教时教材：定义域 目的：要求学生掌握分式函数、根式函数定义域的求法，同时掌握表示法。 过程：一、复习： 1函数的定义（近代定义） 2函
7、数的三要素 今天研究的课题是函数的定义域自变量x取值的集合（或者说：原象的集合A）叫做函数y=f(x)的定义域。二、认定：给定函数时要指明函数的定义域。对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。例一、（P54例二）求下列函数的定义域： 1 2。 解：要使函数有意义，必须： 解：要使函数有意义，必须： 3x+20 即 x 2 即 x 函数的定义域是： 函数的定义域是： 3。解：要使函数有意义，必须： 函数的定义域是： 例二、求下列函数的定义域： 1 2 解：要使函数有意义，必须： 解：要使函数有意义，必须： 即： 函数的定义域为：
8、函数的定义域为： x | x|3 解：要使函数有意义，必须： 函数的定义域为： 4 解：要使函数有意义，必须： 函数的定义域为： 5。 解：要使函数有意义，必须： 即 x 函数的定义域为： 例三、若函数的定义域是一切实数，求实数a 的取值范围。 解：例四、若函数的定义域为1，1，求函数的定义域。解：要使函数有意义，必须：函数的定义域为： 例五、设的定义域是3，求函数的定义域。 解：要使函数有意义，必须： 得： 0 函数的定域义为：三、小结： 求（整式、分式、根式）函数定义域的基本法则。四、 P57 习题2、2 13 （其中1、3题为复习上节内容） 课课练P49-50 有关定义域内容 精编P81
9、 5 P82 15、16、17、18第四教时教材： 函数的表示法，分段函数，区间。目的： 要求学生明确函数的三种表示方法，继而要求学生掌握分段函数的概念和区间的概念。 过程：一、复习：函数的概念提出课题：函数的表示法。常用的函数表示法有三种：解析法、列表法、图象法。二、解析法：定义：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式。它的优点是：关系清楚，容易求函数值、研究性质。例：加速度公式： （如 ） 圆面积公式： 圆柱表面积： 二次函数 （2）又例： 我们可用“零点法”把绝对值符号打开，即： = 这一种函数我们把它称为分段函数。三、列表法： 定义：列出表格来表示两个变量
10、的函数关系。 它的优点是：不必通过计算就能知道函数对应值。 例：初中接触过的平方表，平方根表，立方表，立方根表，三角函数表，汽车、火车站的里程价目表等等。 又如：1984-1994年国民生产总值表。P52四、图象法定义：用函数图象表示两个变量之间的关系。例：平时作的函数图象：二次函数、一次函数、反比例函数图象。又如：气象台温度的自动记录器，记录的温度随时间变化的曲线（略） 人口出生率变化曲线 （见P53）略它的优点是：直观形象地表示出函数变化情况。 注意：函数的图象可以是直线（如：一次函数）、曲线（如：抛物线），也可以是折线及一些孤立的点集（或点）。例四、例五、例六 见P55-56 （略） （
11、注意强调分段函数概念）五、区间 见课本P53-54注意：1）这是（关于区间）的定义 2）今后视题目的要求，可用不等式、区间、集合表示（答案）3）“闭”与“开”在数轴上的表示4）关于“+”“”的概念六、小结：三种表示法及优点 练习：P56 练习七、作业： P57 习题2、2 3，4，5，6 第五教时教材： 函数的解析式；教学与测试第17、18课目的： 要求学生学会利用换元法、定义法、待定系数法等方法求函数解析式。 过程：一、复习：函数的三种常用表示方法。提问：1、已知 则： 2、已知f(x)=x21 g(x)=求fg(x) 解：fg(x)=（）21=x+2二、提出问题：已知复合函数如何求例一、（
12、教学与测试P37 例一）1若,求f(x)。 解法一（换元法）：令t=则x=t21, t1代入原式有 （x1） 解法二（定义法）： 1 f(x)=x21 (x1)2若 求f(x)解： 令 则 (t0) 则 f(x)= (x0且x1)例二、已知f(x)=ax+b,且af(x)+b=ax+8 求f(x)解：（待定系数法） af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b 解之 或 f(x)=3x+2或f(x)=3x4例三、已知f(x)是一次函数, 且ff(x)=4x1, 求f(x)的解析式。 解：（待定系数法）设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x1则 或 或例四、 (x0) 求 解一
13、：令 则 解二：令 则 三、应用题：教学与测试思考题 例五、动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A。设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数。D P CPA P B 解：如图 当P在AB边上运动时, PA=x 当P在BC边上运动时 PA= 当P在CD边上运动时PA=当P在DA边上运动时PA=4x 四、小结：几种常见方法五、作业： 教学与测试 P38 4、5、6、7、8 课课练 P49 3 P50 8 补充： 1设 求fg(x)。 解： 2已知 (x0) 求f(x) 3已知 求f(x) 4精编 P31 6、7、8第六教时 （若时间不够，可将部分内容延至
14、第七教时）教材： 函数图象；教学与测试第19课目的： 要求学生根据函数解析式作出它们的图象，并且能根据图象分析函数的性质；同时了解图象的简单变换（平移变换和对称变换）。 过程：一、复习：函数有哪三种表示方法？ 今天主要研究函数的图象。二、例一、画出下列函数的图象。（教学与测试P39）11。 2。 解： 解： 1注意：由于定义域从而导致 函数图象只是若干个孤立点。 0.5yo x3。 注意：先写成分段函数再作图。 解：定义域为 且x 强调：定义域十分重要。三、例二、根据所给定义域，画出函数的图象。5 1。 2。 3。且xZ 四、关于分段函数的图象y 例三、已知 画出它的图象，并求f(1),f(2
15、)。解：f(1)=3122=1 f(2)=1 五、关于函数图象的变换1平移变换 研究函数y=f(x)与y=f(x+a)+b的图象之间的关系例四、函数2和的图象分别是由函数的图象经过如何变化得到的。解： 1）将的图象沿 x轴向左平移1个单位再沿y轴向下平移2个单位得2的图象；22）将的图象沿x轴向右平移个 单位再沿y轴向上平移1个单位得函数的图象。 小结：1。 将函数y=f(x)的图象向左（或向右）平移|k|个单位（k0向左,k0向上,k0)作出y=f(x)、y=f(x)及y=f(x)的图象。横坐标不变，纵坐标 纵坐标不变，横坐标 横坐标与纵坐标都取取相反数 取相反数 原来相反数图象关于轴对称
16、图象关于轴对称 图象关于原点对称3、翻折变换 由函数y=f(x)的图象作出y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象例六、作出函数y=|x22x1|及y=|x|22|x|1的图象。 解：分析1： 当x22x10时，y=x22x1 当x22x10时，y=(x22x1)2112 步骤：1.作出函数y=x22x1的图象 2将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|x22x1|的图象。 分析2：当x0时 y=x22x1 当x0时 y=x2+2x1 即 y=(x)22(x)1321123 步骤：1）作出y=x22x1的图象； 2）y轴右方部分不变，再将右方部分以y轴为对称轴向
17、左翻折，即得y=|x|22|x|1的图象 。小结： 将y=f(x)的图象，x轴上方部分不变，下方部分以x轴为对称轴向上翻折即得y=|f(x)|的图象；将y=f(x)的图象，y轴右方部分不变，以y轴为对称轴将右方部分向左翻折即得y=f(|x|)的图象。六、作业： 教学与测试 P40 7、8 课课练 P53 3 P54 9 精编 P83 24、25、26 （第26题应作启发： ）第七教时教材： 续函数图象目的： 完成第六教时可能没有完成的教学任务，然后进行综合练习。过程：例一、 O某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程。在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的
18、时间，则下图四个图形中较符合该生走法的是哪一种。 （教学与测试 备用题1） (A) (B) (C) (D) 解： A、C图中t=0时d=0即该生一出家门便进家门（与学校距离为0）应排除，B、D中因该生一开始就跑步与学校距离迅速减小。故应选D。例二、 1设M=x|0x2，N=y|0y2 给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系有几个？(A) (B) (C) (D)解：(A)中定义域为0,1 (C)中值域0,3N (D)中x的值(如x=1)有两个y值与之对应，不是函数 只有(B)正确。例三、 讨论函数的图象与的图象的关系。（精编 P79）解： 可由的图象向左平移两个单位得的图象，再向
19、上平移三个单位得 的图象。例四、 如图为y=f(x)的图象，求作y= f(x)，y=f(x)， y=|f(x)|，y=f(|x|)的图象。O 作业：作出下列函数的图象： 1. 2. 3. 4.第八教时教材：函数的值域 目的：要求学生掌握利用二次函数、观察法、换元法、判别式法求函数的值域。 过程：一、复习函数的近代定义、定义域的概念及其求法。 提出课题：函数的值域二、新授：1直接法（观察法）： 例一、求下列函数的值域：1 2 解：1 即函数的值域是 y| yR且y1 （此法亦称部分分式法） 2 即函数y =的值域是 y| y52二次函数法： 例二、1若为实数，求 y=x2+2x+3的值域 解：由
20、题设 x0 y=x2+2x+3=(x+1)2+2 当 x=0 时 ymin=3 函数无最大值 函数 y=x2+2x+3的值域是 y| y3 2求函数 的值域 解：由 4xx20 得 0x4 在此区间内 (4xx2)max=4 (4xx2)min=0函数的值域是 y| 0y23判别式法（法） 例三、求函数的值域 解一：去分母得 (y1)x2+(y+5)x6y6=0 (*) 当 y1时 xR =(y+5)2+4(y1)6(y+1)0 由此得 (5y+1)20检验 时 （代入(*)求根） 2定义域 x| x2且 x3 再检验 y=1 代入(*)求得 x=2 y1综上所述，函数的值域为 y| y1且
21、y解二：把已知函数化为函数 (x2) 由此可得 y1 x=2时 即 函数的值域为 y| y1且 y4换元法 例四、求函数的值域解：设 则 t0 x=1t2 代入得 y=f (t )=2(1t2)+4t=2t2+4t+2=2(t1)2+4 t0 y4三、小结：1直接法：应注意基本初等函数的值域2二次函数法：应特别当心“定义域”3法：须检验4换元法：注意“新元”的取值范围四、练习与作业： 课课练 P5154中有关值域部分 教学与测试 P4142中有关值域部分第九教时教材：函数的单调性 目的：要求学生掌握函数单调性的定义，并掌握判断一些函数单调性的方法。能利用单调性进一步研究函数。 O过程：一、 y
22、=x2复习函数的图象 作y=x2 y=x3 y=x3y=x3y=x3二、 引导观察：从而得出函数单调性的直观概念。 1、观察讲解时注意：1。“在区间上” 2。“随着x的” “相应的y值”3。“我们说函数在上是增（减）函数” 2、上升到理性，得出定义： （见P58） 注意强调：1。属于定义域I内某个区间上 2。任意两个自变量x1,x2且x1x2时3。都有f(x1)f(x2)4。可用P58的示意图 3、讲解“单调区间”概念。 同时解释一下“严格”单调的意义。三、 例题：例一 图象法 见P59例一 （略） 例二 定义法 见P59例二 （略） 例三 定义法 见P59-60 例三 （略）注意：课本中的两
23、个“想一想” 同时强调观察猜想讨论的方法。例四、讨论函数的单调性。 解：定义域 x|1x1 在1,1上任取x1,x2且x1x2则 则= = 另外，恒有 若1x1x20 则 x1+x20 则 若 x10 则 在1，0上f(x)为增函数，在0，1上为减函数。四、 小结：1.有关单调性的定义； 2.关于单调区间的概念； 3.判断函数单调性的常用方法：定义法图象观察猜想推理论证五、 作业（练习） P60 练习 P64-65 习题2.3 4、5、6 练习中 1 口答 其中1、2、3 口答第十教时教材：函数的奇偶性 目的：要求学生掌握函数奇偶性的定义，并掌握判断函数奇偶性的基本方法。 过程：一、复习函数单
24、调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。二、提出课题：函数的第二个性质奇偶性1依然观察 y=x2与 y=x3 的图象从对称的角度观察结果：y=x2的图象关于轴对称 y=x3的图象关于原点对称3继而，更深入分析这两种对称的特点：当自变量取一对相反数时，y取同一值f(x)=y=x2 f(1)=f(1)=1 即 f(x)=f(x)再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x2的图象上，则该点关于y轴的对称点 (x,y) 也在函数y=x2的图象上当自变量取一对相反数时，y亦取相反数f(x)=y=x3 f(1)=f(1)=1 即 f(x)=f(x)再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x3的图象
25、上，则该点关于原点的对称点 (x,y) 也在函数y=x3的图象上4得出奇（偶）函数的定义（见P61略）注意强调：定义本身蕴涵着：函数的定义域必须是关于原点的对称区间这是奇（偶）函数的必要条件前提定义域内任一个：意味着不存在某个区间上的的奇（偶）函数不研究判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再用定义f(x)=f(x) ( 或f(x)=f(x) )三、例题：例一、（见P6162例四）例二、（见P62例五）此题系函数奇偶性与单调性综合例题，比例典型小结：一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数 例： y=2x （奇函数） y=3x2+1 y=2x4+3x2 （偶函数）y
26、=0 （即奇且偶函数）y=2x+1 （非奇非偶函数）例三、判断下列函数的奇偶性：1 解：定义域：关于原点非对称区间 此函数为非奇非偶函数2 解：定义域：定义域为 x =1 且 f (1) = 0此函数为即奇且偶函数3解：显然定义域关于原点对称 当 x0时, x0 f (x) = x2x = (xx2) 当 x0 f (x) = xx2 = (x2+x) 即：此函数为奇函数四、奇函数图象关于原点对称 偶函数图象关于轴对称 例四、（见P63 例六）略五、小结：1定义 2图象特征 3判定方法六、作业：P63 练习 P65 习题2. 3 7、8、9第十一教时教材：函数的单调性与奇偶性综合练习（教学与测
27、试第21、22课） 目的：通过对例题（习题）的判析，使学生对函数的单调性与奇偶性有更深刻的理解。 过程：一、复习函数单调性与奇偶性的定义、图象的直观形态、单调区间、判定方法等概念。二、处理教学与测试第21、22课例题例一（P43 例一） 注意突出定义域：x1 然后分区间讨论例二（P43 例二） 难点在于：判断 x2 + x1x2 + x2 0 应考虑用配方法 而且：x1, x2中至少有一个不为0, 反之，倘若 x1, x2全为0 x2 + x1x2 + x2 = 0例三（P43 例三） 难点在于：分 a 0, a = 0, a 0 讨论 应突出“二次函数”，再结合图象分析例四（P45 例一）
28、1、2题已讲过；第3题是两个函数之乘积, 尤其后者要利用幂指数概念例五（P45 例二） 此题是常见形式：应注意其中的“转换”关系例六（P45 例三） 此题是单调性与奇偶性综合题，注意思路分析。三、补充：例七、已知函数f (x), g (x)在 R上是增函数，求证：f g (x)在 R上也是增函数。 证：任取 x1, x R 且 x1 x2 g (x) 在R上是增函数 g (x1) g (x2)又f (x) 在R上是增函数 f g (x1) f g (x2)而且 x1 0时，f (x) = x2 2x , 则 x 0 时，f (x) = x2 2x 。 其中正确的序号是： 例十、判断 的奇偶性。
29、 解： 函数的定义域为 R 且 f (x) + f (x)f (x) = f (x) f (x) 为奇函数 注：判断函数奇偶性的又一途径：f (x) + f (x) = 0 为奇函数 f (x) + f (x) = 2 f (x) 为偶函数四、作业：教学与测试 第21、22课中“练习题”第十二教时教材：反函数（1） 目的：要求学生掌握反函数的概念，会求一些简单函数的反函数。 过程：一、复习：映射、一一映射及函数的近代定义。二、反函数的引入及其定义：1 映射的例子：这个映射所决定的函数是： y = 3x 1 这个映射是有方向的：f:：A B ( f：x y = 3x 1)如果把方向“倒过来”呢？
30、（写成） f 1： A B ( f 1：y ) 观察一下函数 y = 3x 1与函数 的联系 我们发现：它们之间自变量与函数对调了；定义域与值域也对调了，后者的解析是前者解析中解出来的（x）。2 得出结论：函数 称作函数 y = 3x 1的反函数。定义：P66 （略）注意：（再反复强调）：用 y表示 x , x = (y)满足函数的（近代）定义自变量与函数对调定义域与值域对调写法：x = f 1(y) 考虑到“用 y表示自变量 x的函数”的习惯，将 x = f 1(y) 写成 y = f 1(x) 如上例 f 1：3几个必须清楚的问题：1 如果 y = f (x) 有反函数 y = f 1(x
31、)，那么 y = f 1(x) 的反函数是 y = f (x)，它们互为反函数。2 并不是所有的函数都有反函数。如 y = x2（可作映射说明）因此，只有决定函数的映射是一一映射，这个函数才有反函数。3 两个函数互为反函数，必须：原函数的定义域是它的反函数的值域 原函数的值域是它的反函数的定义域如：不是函数 y = 2 x ( x Z ) 的反函数。 4 指导阅读课本，包括“举例”“定义”“说明”“表格”以加深印象。三、求反函数：1例题：（见P6667 例一）注意：1 强调：求反函数前先判断一下决定这个函数的映射是否是一一映射。2 求出反函数后习惯上必须将 x、y 对调，写成习惯形式。3 求出
32、反函数后必须写出这个函数的定义域原函数的值域。2小结：求函数反函数的步骤： 1判析 2反解 3互换 4写出定义域3补充例题： 1 求函数 （1 x 0）的反函数。解： 1 x 0 0 x2 1 01 x2 1 0 1 0 y 1由： 解得： ( 1 x 0 ) (1 x 0)的反函数是：( 0 x 1 ) 2 求函数 的反函数。解：当 0 x 1时， 1 x21 0 即 0 y 1 由 y = x21 (0 x 1) 解得 (1 y 0) f 1(x) = (1 x 0)当 1 x 0时， 0 x2 1 即 0 y 1 由 y = x2 (1 x 0) 解得 (0 y 1) f 1(x) =
33、(0 x 1)所求反函数为：四、小结：反函数的定义、求法、注意点。五、作业：课本 P66练习 1 P6669 习题2.4 1、2课课练 P61“例题推荐”1、2 P62 7、8 第十三、十四教时教材：反函数目的：在掌握反函数概念的基础上，初步会求非单调函数在各不同单调区间上的反函数；同时掌握互为反函数图象之间的关系。 处理教学与测试23课 P53 过程：六、 复习：反函数的概念，求一个反函数的步骤。七、 例一 分别求函数在各单调区间上的反函数。小结：一般，非单调函数在其定义域内无反函数，但在其各单调区间上是存在反函数的，关键是求出其单调区间。 例二 求下列函数的反函数： 1 2。小结：的值域就是它的反函数的定义域。因此，往往求函数的值域就是转化成求其反函数的定义域。八、 下面研究互为反函数的函数图象间的关系。例三 P67 略 例四 P67-68 略九、 第十五教时教材： 指数（1）目的：要求学生掌握根式和分数指数幂的概念，进而掌握有理指数幂的概念及运算法则，并能具体应用于计算中。 过程：一、复习初中已学过的整数指数幂的概念。1 概念： n个a 2 运算性质： 3 两点解释： 可看作 = 可看作 = 二、根式：1 定义：若 则x叫做a的n次方根。2 求法：当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数 记作： 例（略） 当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）