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1、从高考命题谈高中数学例题的变题教授教化最新从高考命题谈高中数学例题的变题教学325000 温州市第五十一中学 俞美丹 【摘要】高考试题来源于教材，又高于教材。本文结合高考试题，挖掘教材中的典型例题。通过对典型例题的变题教学，抓住数学本质，提高教学效率，帮助学生脱离题海。 【关键词】高中数学 例题 变题 教学 从每年高考数学试卷中，我们总是找出许多与教材中的例题相似或来源于教材例题的试题，这些试题考查的都是现行教材中最基本、最重要的数学知识和技能，所用方法也往往是普遍性、一般性方法，既体现高考的公平公正，也对中学数学的教学进行有效检验。事实上，对于高中数学而言，教材是学生学习数学的第一手资料，这
2、不仅仅是内容上的统一，而且定义、定理、公式等叙述上的规范，符号上的使用也是统一的。教材既具有完备的知识体系，又具有权威性，是教师进行数学教学的主要依据，也是学生学习数学基础知识的重要依据。教材中的例题更是经过编者反复论证、精心设计的，具有典型的范例作用，蕴含着基本的解题思想和方法，具有很高的教学价值。所以，不管高考命题如何改变，我们都能在高考试题中找到大量的教材原题或由这些原题进行引申、变化而来的试题。因此，我们很有必要对高中数学教材中的例题进行深入研究，做好教材上的典型例题的变题教学，提高教学效率，避免因乱用复习资料而造成无谓的重复劳动。 下面以人教社A版高中数学教材为例，结合高考试题，谈谈
3、高中数学的例题变题教学。例1 (2008年浙江理科卷第14题)如图1，已知球O的面上四点A、D,3B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于_。 CA本题中，四面体的四个面都是直角三角形，这是立体几何中的一个基本图形，我们这里不妨称为“直角四面体”。另外在2008年安徽理科卷第B16题中也出现了这个四面体。 图1 (2008年安徽理科卷第16题)已知A、B、C、D在同一个球面 AD,8P上,ABBCD,平面,若,则两点间的球面距BCCD,AB,6,BC,AC,213,离是 而这个“直角四面体”恰好是长方体的一部分，如果能在教学中引导学生深C刻认识它们之间的相互关
4、系，那么一类问题就很快找到突破口了。如2008年湖AB南理科卷第9题，陕西理科卷第14题。 O“直角四面体”作为典型图形，在教材必修2中我们可以发现原题。例2 (教材必修2第69页)如图2，AB是?O的直径，PA垂直于?O所在的平面，C是图2 A圆周上不同于A，B的任意一点，求证:平面PAC?平面PBC. 例3 (教材必修2第69页的探究)如图3，已知AB?平面BCD，BC?CD,DBC你能发现哪些平面互相垂直，为什么, 再看例4，题中也出现了“直角”四面体. 例4(选修2-1第109页例4)如图4，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PO底面ABCD,PD=0C,点E是PC的中
5、点，作EF?PB,交PB于点F。 图3 (1) 求证:PA?平面EDB; P(2) 求证:PB?平面EFD; F(3) 求二面角C-PB-D的大小。 E“直角”四面体不仅在课本例题中出现，它在课本的习题中也多次出现。所DC以对“直角”四面体的教学可以渗透在整个立体几何的学习过程中。我们可以BA从教材的典型例题出发，对此“直角”四面体的教学作了一些变式及探究。如由以上例3可以设置如下问题: 图4 例5 如图3，已知AB?平面BCD，BC?CD, (1) 有多少对线线垂直, (2) 有多少对线面垂直; (3) 有多少对面面垂直。 通过本例的改编，我们既复习了线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系，又通
6、过引导学生反思此题中的难点，即最不容易看出来的是面ADC?面ABC，促进学生的反思与建构。在例5的基础上，我们还可以再增加一些条件，引导学生进行进一步的思考:A例6 如图5，若B在AC,AD上的射影分别是E,F，连接EF, E F(1)有多少对线线垂直, DB(2)有多少对线面垂直, C(3)有多少对面面垂直, 这里利用了“垂面内垂直交线的垂线垂直另一个平面”这个面面垂直的性质定理，同时截得的小四面体ABEF仍是一个四个面均为直角三角形的四面体。图5 通过对例5的变式，使得题目更加开放。通过对这个开放题的解决，不仅让学生复习了线线垂直、线面垂直、面面垂直等基础知识，而且深深体会了他们之间的密切
7、关系，并且找到了证明这些垂直关系的关键-线面垂直。有了这些垂直关系的基础，相关的一些量的计算也就迎刃而解了。 tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；例7 在四面体ABCD中，AB?平面BCD，BC?CD，若AB=4,BC=3,CD=2.)求异面直线AD与BC所成的角;(1 8.直线与圆的位置关系(2)求二面角B-AD-C的大小。 5、能掌握一些常见的数量关系和应用题的解答方法，逐步提高解答应用题的能力。教师可以引导学生用综合方法、向量方法、坐标方法解决这两个最典型的定量问题。同时，在用向量方法的解题过程中，还得到了该四面体的其他一些等量关系:二、学生基本情况分析：
8、,74.94.15有趣的图形3 P36-41BC,2222 ADABBCCDADBC,，,cos,(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.AD面对新的社会要求，教师与学生应首先走了社会的前边，因此我们应该以新课标要求为指挥棒，采用所有可行的措施，尽量体现以人为本，培养学生创新，开放的思维方式。另一方面注意处理好内容与思想的衔接，内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础，思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合,2222其中，由这一式子，可以引导学生类比平面几何中的勾股定理，ADABBCCD,，那么这个“直角四面体”就可以看成是直角三角形在空间中的拓广。我们还可以进一
9、步引导学生把直角三角形中的性质，类比到“直角”四面体ABCD中来，如“RT?ABC中，斜边AB的中点O为?ABC的外接圆圆心”，可以类比到“直角四面体”ABCD中，AD中点O为四面体ABCD的外接球球心，因为这个“直角四面体”可以看成是长方体的一部分，把其补成完整的长方体后，其八个顶点就在这个外接球上，AD恰为外接球的直径。以上2008年的几个高考题就是利用了这个性质解题。 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45、135、225。通过例7的类比拓广，学生通过从平面图形到空间图形的类比推广，思想上有了一次飞跃。而这样的一个开放探究问题，把一些基本知识和基本技能串联起来，形成学生的双基网络，同时又提高了学生的创新能力。 由上可见，通过对教材例题的适当变题，帮助学生建立扩散思维，有助于学生探究数学中的奥秘，培养学生数学思维的形成，帮助学生脱离题海。 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.【参考文献】 1.教育部.普通高中课程标准试验教科书.人民教育出版社，2007 2.张奠宙.中国数学双基教学M.上海教育出版社，2006 3.彭光焰.课本例题的价值在拓展中提升 J.中学数学教学参考，2007,1-2六、教学措施：2009年5月