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1、八年级上册数学知识点总结八年级上册知识点 三角形知识归纳 与三角形有关的线段 ?边?角:(2) ?三角形(按边)底和腰不相等的三角形等腰三角形等直角三角形?三角形锐角三角形 边三角形按角斜三角形钝角三角形 (3)三角形的主要线段 ?三角形的中线:顶点与对边中点的连线,三中线交点叫重心 ?三角形的角平分线?两边之差小于第三边 (5)三角形的稳定性: 三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小不变了,这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 与三角形有关的角 (1)三角形的 定理:三角形的 推论1:直角三角形的两个锐角互余。 推论2:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
2、内角的和。 推论3:三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 (2)三角形的外角及外角和 ?三角形的外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 1 ?三角形的外角和等于360?。 (3)多边形及多边形的对角线 ?正多边形:各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形( ?凸凹多边形:画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同 一侧，这样的多边形称为凸多边形;，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。 ?多边形的对角线的条数: A.从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形。 B.n 边形共有条对角
3、线。 2 (4)多边形的 ?多边形的知识梳理 一、知识网络 对应角相等性质对应边相等边边边 全等形全等三角形边角边 应用判定角边角 角角边 斜边、直角边 作图角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 (一)、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形; 即能够完全重合的两个图形叫全等形。 2 同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 (1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等; 3、全等三角形的判定方法 (1)三边对应相等的两个三角形全等。 (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 (3)两角
4、和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 (二)灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 (1)已知条件中有两角对应相等，可找: ?夹边相等(ASA)?任一
5、组等角的对边相等(AAS) (2)已知条件中有两边对应相等，可找 ?夹角相等(SAS)?第三组边也相等(SSS) (3)已知条件中有一边一角对应相等，可找 ?任一组角相等(AAS 或 ASA)?夹等角的另一组边相等(SAS) 轴对称知识梳理 一、基本概念 1.轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 2.线段的垂直平分线 3 3.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 3.轴对称变换 4.等腰三角形 有两条边相
6、等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 5.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 二、主要性质 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2.线段垂直平分钱的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3.(1)点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为P(x，-y). (2)点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为P(-x，y). 4.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边
7、对等角”). (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. (3)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴. (4)等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等. (5)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。 (6)等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 5.等边三角形的性质 (1)等边三角形的三个(m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点: ?法则使用的前提条件是:幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式; ?指数是1时
8、，不要误以为没有指数; 4 ?不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加;而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加; ?当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为 (其中m、n、p均为正数); ?公式还可以逆用: (m、n均为正整数) 2(幂的乘方与积的乘方 ?1. 幂的乘方法则: (m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆. ?2. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底， 如将(-a)3化成-a3 ?3(底数有时形式不同，但可以化成相同。 ?4(要注意区别(ab)n与(a+b)n意
9、义是不同的，不要误以为(a+b)n=an+bn(a、b均不为零)。 ?5(积的乘方法则:积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 (n为正整数)。 ?6(幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。 3. 整式的乘法 ?(1). 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点: ?积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆; ?相同字母相乘，运用同底数的乘法法则; ?只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的
10、一个因式; ?单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用; ?单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 ?(2)(单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 单项式与多项式相乘时要注意以下几点: ?单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同; ?运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号; ?在混合运算时，要注意运算顺序。 ?(3)(多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
11、5 多项式与多项式相乘时要注意以下几点: ?多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是:在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积; ?多项式相乘的结果应注意合并同类项; ?对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得 4(平方差公式 ?1(平方差公式:两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 ?其结构特征是: ?公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数; ?公式右边是两项的平方差，即相同项
12、的平方与相反项的平方之差。 5(完全平方公式 ?1( 完全平方公式:两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍， ?口决:首平方，尾平方，2倍乘积在中央; ?2(结构特征: ?公式左边是二项式的完全平方; ?公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。 ?3(在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现 这样的错误。 添括号法则:添正不变号，添负各项变号，去括号法则同样 6. 同底数幂的除法 ,即 (a?0,m、n都 ?1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减是正数,且m>n). ?2. 在应用时需
13、要注意以下几点: ?法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a?0. ?任何不等于0的数的0次幂等于1,即 ,如 ,(-2.50=1),则00无意义. ?任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即 ( a?0,p是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的; 当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如 , ?运算要注意运算顺序. 7(整式的除法 ?1(单项式除法单项式 6 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式; ?2(多
14、项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。 8. 分解因式 ?1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. ?2. 因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系: (1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 分解因式的一般方法: 1. 提公共因式法 ?1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘
15、积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. ?2. 概念(1)平方差公式: (2)完全平方公式: ?3. 易错点点评: 因式分解要分解到底.如 就没有分解到底. ?4. 运用公式法: (1)平方差公式: ?应是二项式或视作二项式的多项式; ?二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方; ?二项是异号. 7 应是三项式 ?其中两项同号,且各为一整式的平方; (2)完全平方公式: ?还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍. 3. 因式分解的思路与解题步骤: (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分组分解法,即通过分组后提取各
16、组公因式或运用公式法来达到分解的目 的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围 (1)理解:把 分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同. (2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数 与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p. ?4. 易错点点评 (1)十字相乘法在对系数分解时易出错; (2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正 确. 第十五章 分式 分式的定
17、义:如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于() acacacadad.分式的通分和约分:关键先是分解因式 分式的运算: 分式乘法法则:分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 8 分式除法法则:分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则: 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 混合运算:运算顺序和以
18、前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即;当n为正整数时，an (正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂(m,n是整数) (1)同底数的幂的乘法:;(2)幂的乘方: (3)积的乘方:;(4)同底数的幂的除法:; 在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有an (6）三角形的内切圆、内心.(5)商的乘方: 最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0。bn();(b?0) 3.确定二次函数的表达式：（待定系数法）7. 分式方程:含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。
19、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母)，把分式方程转化为整式方程。 解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为,，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。解分式方程的步骤 : (1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根( (1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）增根应满足两
20、个条件:一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 5、能掌握一些常见的数量关系和应用题的解答方法，逐步提高解答应用题的能力。分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。 平方关系：商数关系：列方程应用题的步骤是什么, (1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答( 应用题有几种类型;基本公式是什么,基本上有五种: (1)行程问题:基本公式:路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题( (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法( (3)工程问题 基本公式:工作量=工时工效( (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水( v逆水=v静水-v水( 8.解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边）。8.科学记数法:把一个数表示成的形式(其中，n是整数)的记数方法叫做科学记数法( 用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0) 二次方程的两个实数根9 10