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1、一 、三角比1.任意角的相关概念及其度量：（1）角的定义：平面内一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。（2）角的分类：1）正角：平面内一条射线绕其端点从初始位置，按逆时针方向旋转到终止位置所形成的角。2）负角：平面内一条射线绕其端点从初始位置，按顺时针方向旋转到终止位置所形成的角。3）零角：始边没有转动的角。（3）象限角：1）定义：在直角坐标系内，角的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，则终边在第几象限，就叫第几象限角。（也叫这个角属于第几象限）2)集合表示象限角：第一象限角 |k 360 k 360 +90 ， （kZ） ；第二象限角 |k 360 +9
2、0 k 360 +180 ， （kZ） ；第三象限角 |k 360 +180 k 360 +270 ， （ kZ）；第四象限角 |k 360 +270 k 360 +360 ， （kZ） ；3）注意：当终边落在坐标轴上时，角不属于任何象限。（4）终边相同的角的表示方法：|=360k+，kZ 。绝对值 360时，正角除以 360看余数。负角处以 360，看余数。（5）角的度量 : 1)角的度量方法：角度值与弧度制。2）角度制： 1：把圆周平均分为360 份，一份的圆心角即为1。公式:180rnl3602RnS扇3)弧度制：在圆内的弧长等于半径的弧所对的圆心角定义为1 弧度的角。单位： rad(弧
3、度) （可省略）公式：rl4)弧度制与角度制的换算： （360=2rad 180=rad）1 =radrad01745.0180180157 18 rad5)常见的角及其弧度：角度03045607590120135150弧度0 /6 /4 /3 5/12 /2 2/3 3/4 5/6 角度180210225240270300315330360弧度7/6 5/4 4/3 3/2 5/3 7/4 11/6 22.任意角的三角比：（1）任意角的三角比的定义设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y ）则 P与原点的距离02222yxyxr比值ry叫做的正弦记作：rysin（R ）比值
4、rx叫做的余弦记作：rxcos（R ）比值xy叫做的正切记作：xytan (k+/2 ，kZ) 比值yx叫做的余切记作：yxcot (k,k Z) 比值xr叫做的正割记作：xrsec (k+/2 ,k Z) 比值yr叫做的余割记作：yrcsc ( k,k Z) 注：终边在 x 轴上时，余切 余割无意义；终边在 y 轴上时，正切正割无意义。（2）三角比在各象限内的符号规律：一全正 二正弦 三两切 四余弦。(3) 特殊角的三角比030456090120135150180270360弧度0 /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6 3/2 2sin0 1/2 2/2 3/2 1 3/2 2/2
5、 1/2 0 -1 0 cos1 3/2 2/21/2 0 -1/2 -2/2-3/2-1 0 1 tan0 3/3 1 3 不存在- 3 -1 - 3/3 0 不存在0 （ 4）三角函数线：1）定义：角的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线，统称三角函数线。2） 单位圆中的三角函数线：设角 的终边与单位圆交与P点,与过点 A(1,0)的单位圆切线交于T 点(当终边与切线AT 不相交时 ,取终边反向延长线与切线AT 的交点 ),过 P作 PM 垂直 x 轴于 M,则有向线段MP,OM,AT,分别叫做角 的正弦线余弦线 ,正切线 , 如图： 正弦线为MP、余弦线为OM、正切线为AT。3
6、）注：正弦线 ,正切线的正向与y 轴的正向相同,向上为正 ,向下为负 ,余弦线的正向与x 轴的正向相同 ,当角 的终边与 y 轴重合时 ,角 的正切线无意义3.三角恒等式与三角比公式：（1）同角三角比的关系1）倒数关系： tan cot=1 sincsc=1 cos sec =1 2）商数关系： tan=sincoscot=cossin3)平方关系： sin2 +cos2=1 1+tan2=sec2 1+cot2=csc2（2）诱导公式： (奇变偶不变符号看象限 ) 公式一：sin)2sin(kcos)2cos(ktan)2tan(k cot （+2k）=cot公式二：-sinsin(）cos
7、cos(）tantan(） cot（- ）=-cot公式三：-sinsin(）-coscos(）tantan(） cot （+）=cot公式四：sinsin(）-coscos(）tantan(） cot （- ）=-cot公式五：sin( /2- )=cos cos( /2- )=sin tan( /2- )=cot cot(/2- )=tan 公式六：sin( /2+ ）=cos cos( /2+ )=-sin tan( /2+)=-cot cot(/2+ )=-tan （3）两角和与差的正弦公式余弦公式sin( +)=sincos+cossinsin(- )=sincos-cossinco
8、s(+)=coscos-sinsincos(- )=coscos+sinsinry)(x,P（4）辅助角公式：)sin(cossin22babatanba22cos()abt a nab（ab0）（5）倍角公式：cossin22sin2an1an22anttt22sin211cos22cos（6）半角公式：2cos12sin2c o s12c o ssincos1cos1sincos1cos12ant（7）万能置换公式：22 an2an1an2ttt22 an2sin1+ an2tt221a n2c o s1 +an2tt（8）积化和差公式：)sin()sin(21cossin)s i n (
9、)s i n (21s i nc o s)cos()cos(21coscosc o s)c o s (21s i ns i n（9）和差化积公式：2cos2sin2sinsin2s i n2c o s2s i ns i n2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos4.解斜三角形：（1）求三角形面积公式：S=21aah=21sinabC=21sinbcA=21sinacB= 4abcR(R 为三角形外接圆半径)=)()(cpbpapp= rp（)(21cbap，r 为内切圆半径）（2）正弦定理：Aasin=Bbsin=Ccsin= 2R（R为三角形外接圆半径）（3）余弦定理：a
10、2=b2+c2-2bcAcosb2=a2+c2-2acBcosc2=a2+b2-2abCcosbcacbA2cos222基本方法：大角对大角，大边对大边；已知三边，用余弦定理；已知两边一角，用余弦定理；已知一边两角，相当于一边三角，用正弦定理。二、 三角函数1、 （1）正弦 余弦 正切函数的图像与性质名称正弦函数余弦函数正切函数函数式sinyxxRcosyxxRtanyx（2xk）（2）图像的作图方法：1）代数描点法：查表或计算器2）几何作法：把圆等分在x 轴上标点利用正弦线平移连线3）用五点法画正弦，余弦函数及y= sin()Ax的简图。通常取三个平衡点，一个最高点，一个最低点。（3）周期函
11、数： 如果函数 f(x)对于其定义域内的每一个值都有f(x+T)=f(x) 成立，则称T 为 f(x)的一个周期，函数f(x)为周期函数。所有周期中若存在最小正数，则称其为最小正周期。注：对于一个函数，若T 为其周期，则 T 的任意整数倍都是f(x)的周期。（4）函数y=sin()Ax的图象及性质 ： （0,0 A）性质定义域xRxR2xk值域1,11,1R最值x=2k+2时=maxy1x=2k-2时min=-y1x=2k时=maxy1x=2k+时min=-y1无最值正周期最小2T2TT奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性关于原点对称关于 y 轴对称关于原点对称单调性整个定义域上无单调性增区间为2,
12、 222kk减区间为32, 222kk整个定义域上无单调性增区间为2, 2kk减区间为2, 2kkkZ整个定义域上无单调性增区间为,22kkkZ渐近线无无x=k+k2Z（）(无数条)图像A 为振幅，周期为 T=2, 频率为 f=T1, 为初相1）A 决定在 y 轴方向的伸缩，即横坐标不变，纵坐标变，改变值域。A1 时 伸长到原来的 A 倍 0A1 时 缩短到原来的1倍 。01 时，伸长到原来的1倍3）决定 x轴方向上的平移。原则：左加右减。2.反三角函数：名称反正弦函数反余弦函数反正切函数定义y=sinx(,22x)的反函数叫反正弦函数y=cosx(0,x)的反函数叫做反正弦函y=tanx(,
13、22x)的反函数叫反正弦函数函数式xyarcsin1, 1xyarccos1 , 1xarctyanxR性质定义域1 ,11,1R 值域2,2,02,2单调性单增单减单增奇偶性奇函数非奇非偶奇函数周期性均无周期性图像3.最简单的三角方程（1）定义： 含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。（2）三角方程的解集：所有适合三角方程的未知数的值所组成的集合。（3）最简三角方程及其解集方程方程的解集axsin1aX 无解1a|x=2k+k2xZ，1a|x=2kk2xZ，1aZkakxxk,arcsin1|axcos1aX 无解1a|x=2kkxZ，1a|x=(2k+1)kxZ，1a|x=2karcco
14、skxaZ，tan xa|arctan,xxka kZ10.几种常见的简单三角方程（1）可用换元的一元二次方程，如22 sin3 cos0 xx。（2）形如sincosaxbxc的三角方程。（3）函数名称相同，系数相等的三角方程，如sin 2sin 3xx（4）关于sin x、cos x的齐次方程如22sinsincoscos0axbxxcx恒等式arcsin(-x)-arcsinx x-1,1sinarcsinxx x-1,1（）-,22arcsinsinxx x（）arccos()arccos xx-1,1x0,arccosxx x（ cos）1,1cos(arcx)x xcosarctan(-x) -arctanx xRarctan(tanx) x x,22tan(arctanx) xxR