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1、3.宏观经济乘数加速数模型及经济波动周期分析乘数、加速数模型为宏观经济学中的基本模型之一。它是讨论经济系统中的国民收入消费、储蓄等变量之间关系及经济增长规律的模型。社会总产出：所有产品的产值。是否等于GNP?GNP =社会总产出一期间产品的耗费；同时GNPST用于消费和固定资产的投资。-将上述这些宏观经济用以量化，构造出系统模型即为(标题) (1)建立模型设 Y(t)为用t年国民生产总值，C(t)为用t年个人消费总额，G(t)为第t年公共消费(政府支出、政府购买)I(t)为第t年投资总额。Y(t)GNP公共消费G企业与个人消费C(t)公共投资 +企业与个人投资=I(t)则有统计规律：Y(t)
2、=C(t) +I(t) +G(t) *另外，设第t年个人消费总额 C(t)与上一年国民生产总值Y(t 1)有关。今年消费是去年的GNP勺线性函数，设为：C(t) =a+bY(t-1)*其中：a,b为常数，空1，称为边际消费倾向。 (倾向一一系数；边际一一求导)b Y第t年投资总额I(t)与人们消费需求及银行利率等有关。在市场经济下一个国家和地区平衡增长时利率变换不大，所以近似认为投资I(t)主要受消费的增加而增加，关系如下：I(t) =q+k(C(t)- C(t-1)*其中：q,k为常数。K0,表明当消费量增加时将使得投资额也增加。比如，今 年比去年消费提高，这样拉动了投资的增加，我们称 -需
3、求拉动。综上，Y(t) =C(t) +I(t) +G(t)C(t) =a+bY(t-1)(*)I(t) =q+k(C(t)- C(t-1)称为宏观经济乘数加速数模型。这是经济学上的革命， 该模型以经有50年历史，我国现在还在使用。 由凯恩斯提出来的。(2)分析该模型:平衡解。1.当上述变量都为常数时，称为系统的 容易看出，丫与G的关系由方程组确定Y C I G C a bYI q k（C C） q即 Y G aq1 b 1 b表明，当政府购买力为 G时，系统达到平衡后的国民生产总值为Y。如果G增加AG,那一， r Y 1么Y变化，并最终达到 Y+* Y.那么称 Y与AGN比为乘数（放大倍数）。
4、即 G 1 b当b=0.5时，1/（1-0.5）=2,这就意味着购买力增加 1万万万亿元，那么国民生产总值增加2万万万亿元，但如果这样，就会发生通货膨胀。这是因为我们这里说的变量，都是名义值，而不是实际值。这是因为我们模型中没有考虑价格变量。该模型仅考虑宏观经济变量名义值的变化规律。实际的宏观经济调控政策设计中，我们让G适当的上升，使得名义值Y也相应上升，不至于产生通货膨胀。Y的实际值应为物价指数 P乘以Y1,Y1由固定资产K和人工确定（生产函数），即Y=P*Y1经济危机时，煤、面包、衣服、出现了恶性循环。这时，政府要出资投入（发债券等手段），刺激经济发展。这样加速了经济的发展一一加速数。但分
5、析该模型有漏洞，如此不断的刺激，将会导致滞胀：通货膨胀，GNP的快速增长实质上是停滞。一一经济增长理论。我国使用刺激内需如修公路，花钱。该模型灵不灵？取决于外部的参量。b、k(3)分析模型的变化卜面直观了解模型的变化，设(a = 10 q=5 b=0.5 k=2)并且，政府购买力G= 5,系统处于平衡状态I GbYk(C C) q由此得 Y=40, C=30.当政府购买力从5变为10时，变动过程使用方程组,Y(t) C(t) I(t)Y( 1) C( 1)I( 1)C(t) I(t) 10 0.5Y(t 5 2(C(t) 40G(t)1)C(t 1)30其中，t = - 1为平衡状态没有实际时
6、间含义。t = 0时，政府购买为10。依上式，有(t=-1不使用原方程组，是使用平衡方程组Y(0)C(0)I(0)Y( C(I(1)1)1)C(0) I(0) 10 0.5Y( 5 2(C(0) 4030)G(0)1)C(1)Y(0)C(0)I(0)C(0) I (0) 1010 0.5 40 305 2(C(0) 30)存 C(t-1)Y(t)Y(t-1) 0.5Y(t-1) C(t)C(t-1)G(-1)=540305_G(0)=1045_ ._、40203030_G(1)=1052.54522.532.530 _即得：C(0)=30, I(0)=5 Y(0)=30+5+10=45如下表:
7、5+2(叫+10I(t)5105说明：当G由5到10时，立即拉动了国民生产总值，也增加了 5。进一步，再代入上式，当 G=10不再上升时，可得 Y(1)=52.5.这表明,虽然 G不再增加，但国民生产总值升到45后，引起了消费与投资的进一步增加，从而刺激了国民生产总值的进一步增加。这种国民生产总值一轮又一轮的增加称为加速过程。再进一步将Y(1)=52.5代入，我们可以得到Y(2)=58.57, Y(3)=60.625, Y(4)=57.19, Y(5)=50.16,可以看出，Y的发展是波动的，如此波动下去，最后趋于新的平衡状态：Y= 50 (从一个平衡点到另一个平衡点的过程称为过渡过程一一这是
8、一门学科，继控制论之后的一门课，研究的人不多)。那么，波动的周期如何？(4)周期(运动分析)(我们说系统的特征根由系数阵的特征根确定，所以找到特征根即可一一这个结论正确 吗？)将方程改写为：Y(t 1) C(t 1) I (t 1) 10C(t 1) 10 0.5Y(t)I(t 1) 5 2(C(t 1) C(t)Y(0) 45, C(0) 30, I (0) 5 变形为Y(t 1) C(t 1) I(t 1) 10C(t 1)10 0.5Y(t)2C(t 1) I(t 1) 5 2C(t)矩阵方程:10111 Y(t1)1)1)00.5000 Y(t)00 C(t)1021C(t I(t2
9、0I(t)可以整理为Y(t1)1.520Y(t)65C(t1)0.500C(t)20I(t1)120I(t)45简记为：x(t1)Ax(t)uY(t)1.52065其中：x(t)C(t),A0.500 ,u20I(t)12045Z变换：zx(z) zx(0)Ax(z)uz1z整理：x(z)(.-zx(0)(zI2uzz1010其中:Y(z)_ 2 一45z60z一 2 一65z40zz2 1.5z 1245z2 60zz2 1.5z 1(45z2 40z(z2 1.5z 1)( z 1)265z2 40z(z2 1.5z 1)(z 1)20)z(z2 1.5z 1)(z 1)2(45z2 40
10、z 20)zz 0.75 0.6614 jAzz 0.75 0.6614 jBz50zzA,B为待定系数。0.75 0.6614 j且0.75 0.6614jz 0.75 0.6614 jz (0.75 0.6614 j)z (cos(41.41t)j sin(41.41t)z 0.75 0.6614 jZ-1变换：并由欧拉公式:z (0.75 0.6614j)z (cos(41.41t)j sin(41.41t)Y(t) Acos41.41cos(41.41j sin 41.41 tBcos41.41t) sin(41.41 t) 50j sin 41.41t 50A(cos41.41j s
11、in 41.41 )tAtcos41.41t j sin 41.41 t则：T3608.69 年Z 变换:zx(z) zx(0) Ax(z)41.41以上，我们经过一系列复杂的计算讨论了国民生产总值的波动周期。如果我们掌握规律抓住特征，计算结果大为简化。总结：我们这节研究了宏观经济模型讨论了其波动周期。平均每8.69年达到一个平衡。二、运动分析原理(系统的特征分析)我们在前面的问题中已经提过，系统本身固有的特征根对系统起决定作用。如桥由于本身自有一个频率，当外界的输入频率等于自有的频率时，桥就会塌。对于经济系统来讲，如果出现了这样的共振现象，系统就会崩溃，所以我们有必要研究这个问题，寻找特征根
12、的规律和求法。1 .标准系统:x(t 1) Ax(t)即：x(z) -z一A-zx(0)|zi A若系统的特征根如下：zI A z 1 zn 无重根xi(t)?xi(t)其中，中间或许会有(t)o此根只与系统的自身 A有关，所以称为系统特征根。m为z函数的分子的最高次数，n为z函数的分母的最高次数.则m n 且m n时，不会有 (t) , m=n时有。例如，上节的宏观经济乘数加速数模型中，由于只是求周期，不要求具体变化规律，所以我们可以直接采用上述结果。直接找特征根， q=a=G(t)=0时(外部输入量)Y(t) C(t) I(t)C(t) bY(t 1)I(t) k(C(t) C(t 1)Y
13、(t) (1 k)C(t) kC(t 1)C(t) bY(t 1)Y(t) b(1 k)Y(t 1) kC(t 1)矩阵方程:Y(t)C(t)b(1 k) k Y(t 1)b 0 C(t 1)b(1 k) kb 0特征方程：zI当 b=0.5, k=2zI Az2Z1,2A z b(1 b时有b(1 k)z bk0.75 0.6614 jk) k 2zzz2 1.5z 1cos41.41b(1 k)z bk0j sin 41.41C(t) bY(t 1)所以周期为T虫608.69年41.41如没有外界输入，系统将无休止的波动。亦即，对于一个宏观经济系统，如果是用线性方程组来描述，当输入为0时，
14、一定可以写成差分方程组；同时，一定可以表示为标准形式(状态方程) ，则有状态矩阵、特征 方程、特征根。 所有状态变量为特征根的 t次方的线性组合。2.前面我们假设输入为0,如果G不为0出现干扰项，则有:a q ak 1 1a 0 G(t)Y(t) b(1 k) k Y(t 1)C(t) b 0 C(t 1)标准化状态方程：|x(t 1) Ax(t) Bu(t)| A 为状态矩阵问题：x(t)的解与A及u(z)的特征根都有什么关系？首先,常数a的特征根为1。因为h(z) -a二z 1其次,对于u(t)这一个干扰项(输入)可以证明：u(t 1) Hu(t)1G(t)1110 1.1t 那么 10
15、1.1t 110 10 1.1 10 1.1t最后，x(t 1) Ax(t) Bu(t)u(t 1) Hu(t)x(t 1)u(t 1)ABx(t)0Hu(t)即将输入的干扰项转为系统内，变成一个新系统。如果hih2那么 xi (t)112 2 ih12h2统系统内的任一变化规律为：固有根与外部根的叠加。总结：1）线性系统如果可以写成差分方程，则一定可以写成标准方程（状态方程）2 ）有输入，一定有输出3 ）设系统固有根1,2,输入干扰根hi, h2。hl1.2, h21线性系统 输入 11.1, 20.8 输出4) xi(t)11.1t20.8t11.2t21t对其考察变化情况。以上,求出了反
16、映系统特征的规律,虽不是最终解，但可以反映系统的特征，可以讨论系统的其他特性（增长率、周期等），并可以简化计算。三、课后作业1.生态平衡模型自然界万物的运动变化的规律是很复杂的，如我们前面讲到的，兔口、人口模型，可以自然繁殖，在生存环境很好的情况下，就会成灾；但一些动物，如鱼类，人们的捕捞可以使自然繁殖速率下降，而过量的捕捞，则可造成渔业资源的枯竭。只有适当的捕捞才可以达到 渔业资源的生态平衡。而我国近几十年经常会发生对资源的过渡索取，如黄花鱼 。对环境保护也有生态平衡问题。农药施肥、化工厂、汽车尾气、等对环境造成的污染， 必须加以控制以维护环境的平衡。对于生态环境的变化，用数学方程描述十分的复杂。般使非线性差分方程或非线性微卜面举例分方程。但也有一些情况，使用线性差分方程描述其运动规律也有一定的准确性, 说明线性差分方程在研究生态平衡中的应用。如，年轻人吸烟，会有尼古丁的吸入体内，故留在肺、血液中，由医学上的测定，我们 可以知道，尼古丁经由肺、血液时的故留量和排放量的百分比如下：%6010X2(t)Xi(t)img/ 天设：第t天肺中的尼古丁含量为X1（t）,第t天血液中的尼古丁含量为x2（t）,问：在肺和血液中如何分布，达到平衡时肺和血液中尼古丁的含量比为多少？（先看是否可以达到平衡，及比例lim 曳立 ？）tX2（t）（提示：此题建模后通过对特征根讨论来求解分布函数）