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1、初三数学二次函数及二次函数的图象知识精讲 北师大版一. 本周教学内容： 二次函数及二次函数的图象 二. 教学目标： 1. 能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系 2. 会作二次函数的图象，并根据二次函数的图象对二次函数的性质进行分析 三. 重点及难点： 重点：二次函数的图象及性质 难点：根据二次函数的图象对二次函数的性质进行分析 四. 课堂教学： 知识要点 1. 一般地，形如2y,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)的函数叫作x的二次函数。 22. 如图，二次函数y,x的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点。 y
2、10 8 6 4 2 x O 2 4 -4 -2 23. 二次函数y,x的图象是一条抛物线，它的开口向下，且关于y轴对称，对称轴与抛物2线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点，它的图象与y,x的图象关于x轴对称。 24. 二次函数y,ax的图象是一条抛物线，且关于y轴对称，当a0时，它的开口向上，图象有最低点原点；当a0时，它的开口向下，图象有最高点原点。|a|越大，开口越小。 225. 二次函数y,ax，by,ax的图象与二次函数的图象形状相同，开口方向和对称轴也相2同，但顶点坐标不同，y,ax，b的图象的顶点坐标是（0，b）。 2226. 二次函数y,ax,y,a(x,k),y,a(x,
3、k)，h的图象都是抛物线，并且形状相同，只是用心 爱心 专心 119号编辑 1 22y,axy,a(x,k)位置不同，将的图象向右平移k个单位就得到的图象，再向上平移h个单2位就得到y,a(x,k)，h的图象。 27. 二次函数y,a(x,k)，h的图象，当时，开口向上，对称轴是直线，顶点坐x,ka,0标为（k，h）；当a0，b0，c=0 B. a0，b0，c=0 C. a0，b0，c0，b0，c=0 D 例2. 在同一直角坐标系中，直线y=ax+b和抛物线2y,ax，bx，c(c,0)的图象只可能是图中的（ ） C 例3. 在同一直角坐标系中，函数22y,ax，b和y,bx，ax的图象只可能
4、是图中的（ ） D 例4. 抛物线12的顶点在y轴上，则m的值为_。 y,(x,2m，1),3m2用心 爱心 专心 119号编辑 2 1 2例5. 按要求求出下列二次函数的解析式： 12 （1）形状与的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，3）的y,x，23抛物线的解析式； 12 （2）与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式； y,x,257 （3）对称轴是y轴，顶点的纵坐标是，且经过（1，1）点的抛物线的解析式。 ,212 （1） y,x,3312 （2） y,x，25972 （3） ,yx2212 例6. 已知函数 y,x，2x，12（1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值
5、； （2）求抛物线与x轴、y轴的交点； （3）观察图象：x为何值时，y随x的增大而增大； （4）观察图象：当x为何值时，y0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y0 当x,2,2时，y=0 当,2,2,x,2，2时，y0且x?0时，y总取负值 B. 当a0且x0时，y随x的增大而减小 C. 当a0时，函数的图象有最低点，即y有最小值 2D. 当x0时，y,ax的对称轴是y轴 2 3. 直线y,xy,2x,1与抛物线的交点坐标为（ ） 用心 爱心 专心 119号编辑 4 A. （0，0），（1，1） B. （1，1） C. （0，1），（1，0） D. （0，2），（2，0） 2 4. 已知
6、y,x，点都在函数的图象上，则（a,1，y）、（a，y）、（a，1，y）a,1123（ ） A. B. y,y,yy,y,y123132C. D. y,y,yy,y,y3212132 5. 函数y,ax和函数y,ax,a（a,0）在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ） y y y y x x x x O O O O A B C D 二、填空题 12 1. 抛物线的图象开口_，对称轴是_，顶点坐标为y,x,32_，当x=_时，y有最_值为_。 2m，m 2. 当m=_时，抛物线y,(m，1)x，3开口向下，对称轴是_，在对称轴左侧，y随x的增大而_，在对称轴右侧，y随x的增大而_。 22 3.
7、抛物线y,x与y,3x相比，_的开口更小，也就是说明某函数值的增长速度较快一些。 2 4. 若点P（1，a）和Q（1，b）都在抛物线y,x，1上，则线段PQ的长是_。 2 5. 设x、x(x,2x)(x,2x)是关于x的一元二次方程的两个实数根，则x，ax，a,2121221的最大值为_。 三、解答题 1. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件。现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件，如果他每天所赚利润为y元，试求出y与售出价x之间的函数关系式。 2. 已知抛物线2y,ax与直线y,2x，3交于A、B两点，
8、已知A点的横坐标是3，求A、B两点的坐标及抛物线的关系式。 3. 某地解放大桥拱形钢梁呈抛物线状，拱顶A离桥面50m，桥面上拱形钢梁之间距离BC=120m，建立如图所示的直角坐标系。 （1）写出A、B、C三点的坐标； 用心 爱心 专心 119号编辑 5 （2）求该抛物线的解析式。 4. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面1：11000的比例图上，跨度AB=5cm，拱高OC=0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE/AB，如图1所示。在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示。 （1）求出图2上，以这一部分抛物
9、线为图象的函数关系式，并写出函数自变量取值范围。 （2）如果DE与AB的距离OM=0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长。（，计算结果2,1.4精确到1米）。 5. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面AB的宽为20cm，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m。 （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计），货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱
10、最高点O时，禁止车辆通行）。试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由。若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？ 用心 爱心 专心 119号编辑 6 一、 1. B 2. D 3. B 4. C 5. D 二、 1. 向下，y轴，（0，3），0，大，3 2. 2，y轴，增大，减小 2 3. y,3x 4. 2 63 5. ,8三、 （1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一2 1. y,(x,8)100,10(x,10),10x，280x,1600 10、做好培优扶差工作，提高数学及格率，力争使及格率达95%。2 2. A（3
11、，9），B（1，1），y,x 定义：在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即;12 3. （1）A（0，50），B（60，0），C（60，0） （2） y,x，507292 4. 解：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数关系式为，,，yax10(6)直角三角形的外接圆半径5559182因为点A（，0）（或B（，0）在抛物线上，所以，得。因此，,，0a()a,22210125189552所求函数关系式为。 y,x，(,x,)12510225991892 （2）因为点D、E的纵坐标为，所以，得，所以点D的,，x,2x4202012510525559
12、9坐标为（，），点E的坐标为（，），所以 DE,2,(,2),244442020上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。5252，因此，卢浦大桥拱内实际桥长为：（米）。 ,，11000，0.01,2752,385222 5. （1）解：设抛物线的解析式为y,ax，桥拱最高点O到水面CD的距离为h米，则D（5，五、教学目标：h），B（10，h3） 1,25a,ha, 解得 25,100a,h,3,h,1,12 ?抛物线的解析式为 y,x25（3）二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定
13、抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。（2）水位由CD处涨到点O的时间为：（小时），货车按原来的速度行驶的路程1,0.25,41.概念：一般地，若两个变量x，y之间对应关系可以表示成(、b、c是常数,0)的形式，则称y是x的二次函数。自变量x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。为：，?货车按原速行驶不能安全通过此桥，设货车速度提高到x千40，1，40，4,200,280三三角函数的计算米/时，当时x=60，要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时。 4x，40，1,280135.215.27加与减（三）4 P75-80用心 爱心 专心 119号编辑 7