最新初高中数学衔接教材(代数部分)优秀名师资料.doc

《最新初高中数学衔接教材(代数部分)优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新初高中数学衔接教材(代数部分)优秀名师资料.doc（55页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、初高中数学衔接教材(代数部分)700927254.doc 初高中数学衔接教材 2ax,bx，c,0求关于x的不等式的解( 编者的话 现有初高中数学教材存在以下“脱节”: 1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用; 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用; 3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求;高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等; 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧; 5初中教材对

2、二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容;配方、作简图、求值域(取值范围)、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法; 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系(韦达定理)初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节; 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领; 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并

3、无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一; 9、几何中很多概念(如三角形的五心:重心、内心、外心、垂心、旁心)和定理(平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理)初中早就已经删除，大都没有去学习; 10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。 新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。 欢迎

4、广大读者提出宝贵意见，我们将不胜感激 第 1 页 共 36 页 700927254.doc 更新整理鲁老师QQ:670117506 2010.6.24 目录 第一章 数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 1.2 分解因式 第二章 二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系 2.2 二次函数 第 2 页 共 36 页 700927254.doc 22.2.1 二次函数y=ax+bx+c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表达方式 2.2.3 二次函数的应用 2.3 方

5、程与不等式 2.3.1 二元二次方程组的解法 第三章 相似形、三角形、圆 3.1 相似形 3.1.1 平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似三角形形的性质与判定 3.2 三角形 3.2.1 三角形的五心 3.2.2 解三角形:钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用 3.3 圆 3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系:圆幂定理 3.3.2 点的轨迹 3.3.3 四点共圆的性质与判定 3.3.4 直线和圆的方程(选学) 第 3 页 共 36 页 700927254.doc 1.1 数与式的运算 1.,.1(绝对值 绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍

6、是零(即 aa,0, |0,0,aa,aa,0.,绝对值的几何意义:一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离( 两个数的差的绝对值的几何意义:a,b表示在数轴上，数和数之间的距离( baxx,，,13例1 解不等式:,4( 解法一:由，得;由，得; x,1,0x,1x,30x,3,(1)(3)4xx?若，不等式可变为， x,1即,4，解得x,0， ,，24x又x,1， ?x,0; (1)(3)4xx,?若，不等式可变为， 12,x即1,4， ?不存在满足条件的x; (1)(3)4xx,，,?若，不等式可变为， x,3即,4， 解得x,4( 24x,又x?3， ?x,4( 综上所述，原不等

7、式的解为 x,0，或x,4( x,1解法二:如图1(1,1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|,|x,1|;|x,3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|,|x,3|( |x,3| xx,，,13所以，不等式,4的几何意义即为 C A P D B |PA|，|PB|,4( 由|AB|,2，可知 x x 0 1 3 4 点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标|x,1| 为4)的右侧( 图1(1,1 x,0，或x,4( 练 习 1(填空: x,5x,4(1)若，则x=_;若，则x=_. a，b,51,c,2a,1(2)如果，且

8、，则b,_;若，则c,_. 第 4 页 共 36 页 700927254.doc 2(选择题: 下列叙述正确的是 ( ) (A)若，则 (B)若，则 ab,ab,ab,ab,(C)若，则 (D)若，则 ab,ab,ab,ab,3(化简:|x,5|,|2x,13|(x,5)( 1.1.2. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: 22(1)平方差公式 ; ()()ababab，,222(2)完全平方公式 ( ()2abaabb,，我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: 2233(1)立方和公式 ; ()()abaabbab，,，,，2233(2)立方差公式 ; ()()abaabb

9、ab,，,2222(3)三数和平方公式 ; ()2()abcabcabbcac，,，33223(4)两数和立方公式 ; ()33abaababb，,，33223(5)两数差立方公式 ( ()33abaababb,，,对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明( 22例1 计算:( (1)(1)(1)(1)xxxxxx，,，2222，(1)(1)xxx,，,解法一:原式= ，242 = (1)(1)xxx,，6x,1 =( 22解法二:原式= (1)(1)(1)(1)xxxxxx，,，,，33 = (1)(1)xx，,6x,1 =( 222abc，例2 已知，求的值( abc，,4abbc

10、ac，,42222解: ( abcabcabbcac，,，,，,()2()8练 习 1(填空: 111122 (1)( ); abba,，()942322(4m，) (2) ; )164(,，mm2222) (3 ) ( (2)4(abcabc，,，2(选择题: 12(1)若是一个完全平方式，则k等于 ( ) xmxk，21112222m(A) (B) (C) (D) mmm341622abab，,，248(2)不论，b为何实数，的值 ( ) a(A)总是正数 (B)总是负数 (C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数 1.1.3(二次根式 第 5 页 共 36 页 700927254.do

11、c 一般地，形如的代数式叫做二次根式(根号下含有字母、且不能够开得尽方aa(0),22222，等是无理式，而21xx，的式子称为无理式. 例如 32aabb，ab，2222，等是有理式( xxyy，2a1(分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化(为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，3aa36，36,22与，等等( 一般地，与，与，与axby，axby,2332,2332，axxaxb，互为有理化因式( axb,分母有理化的方法是分母和分子都乘以

12、分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通ababab,(0,0)过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式( 22(二次根式的意义 aaa,0,2 aa,aa,0.,例1 将下列式子化为最简二次根式: 624(0)xyx,aba(0),(1); (2); (3)( 12b解: (1); 1223bb,2 (2); abababa,

13、(0)633 (3)( 422(0)xyxyxyx,例2 计算:( 3(33),3解法一: , 3(33),33,3(33),， , (33)(33),，333， , 93,3(31)， , 631， ,( 23解法二: , 3(33),33,第 6 页 共 36 页 700927254.doc 3 , 3(31),1 , 31,31， , (31)(31),，31， ,( 2例3 试比较下列各组数的大小: 2(1)和; (2)和. 1110,226,1211,64，1211(1211)(1211)1,，解: (1)?， 1211,112111211，1110(1110)(1110)1,， ，

14、 1110,111101110，又， 12111110，,，?,( 1110,1211,226(226)(226)2,+ (2)? 226,1226226+又 4,22， ?6，4,6，22， 2 ?,. 226,64，20042005例4 化简:( (32)(32)，,20042005解: (32)(32)，,20042004 , (32)(32)(32)，,2004， ,(32)(32)(32)，, ，2004 , 1(32),( 32,12xx，,2(01)945,例 5 化简:(1); (2)( 2x,，5454 解:(1)原式 22 ,，(5)22522 ,(25),25( ,521

15、12()x,x (2)原式=， xx01,x?， 第 7 页 共 36 页 700927254.doc 1?， ,1xx1 所以，原式,( ,xx3232,，22例 6 已知，求的值 ( 353xxyy,，xy,3232，,3232,，22 解: ?， xy，,，,，,(32)(32)103232，,3232,， xy,13232，,2222 ?( 3533()1131011289xxyyxyxy,，,，,，,练 习 1(填空: 13,(1),_ _; 13，2(5)(3)(3)5,xxxx(2)若，则的取值范围是_ _ _; x(3)_ _; 4246543962150,，,5xxxx，,，

16、,1111x,(4)若，则_ _( ，,2xxxx，,，,11112(选择题: xx等式,成立的条件是 ( ) x,2x,2(A)x,2 (B)x,0 (C)x,2 (D)02,x 22aa,，,11b,3(若，求ab，的值( a，14(比较大小:2,3 5,4(填“,”，或“,”)( 1.1.,(分式 1(分式的意义 AAAB,0形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式(当M?0时，分式具有下列性质: BBB第 8 页 共 36 页 700927254.doc AAM，; ,BBM，AAM,( ,BBM,上述性质被称为分式的基本性质( 2(繁分式 amnp，b像，这样，分子或分母中又含有分

17、式的分式叫做繁分式( 2mcd，np，54xAB，AB,，例1 若，求常数的值( xxxx(2)2，ABAxBxABxAx(2)()254，解: ?，,， xxxxxxxx，2(2)(2)(2)AB，,5, ? ,24,A,AB,2,3 解得 ( 111,例2 (1)试证:(其中n是正整数); nnnn(1)1，111 (2)计算:; ，1223910，1111，, (3)证明:对任意大于1的正整数n， 有( 2334(1)2，nn11(1)1nn，,(1)证明:?， nnnnnn，1(1)(1)111, ?(其中n是正整数)成立( nnnn(1)1，(2)解:由(1)可知 111 ，1223

18、910，11111 ,，,，,(1)()()2239101 ,1109 ,( 10111，(3)证明:? 2334(1)，nn111111 , ()()(),，,，,23341nn，11 ,， ,21n，又n?2，且n是正整数， 第 9 页 共 36 页 700927254.doc 1 ? 一定为正数， n，11111 ?，, ( 22334(1)，nnc22例3 设，且e,1，2c,5ac，2a,0，求e的值( e,a222解:在2c,5ac，2a,0两边同除以a，得 2 2e,5e，2,0， ?(2e,1)(e,2),0， 1 ?e, ,1，舍去;或e,2( 2?e,2( 练 习 1(填空

19、题: 111,对任意的正整数n， (); ,nn(2)，nn，22(选择题: 22xy,x,若，则, ( ) yxy，3546 (A), (B) (C) (D) 455xy,223(正数满足，求的值( xy,xyxy,2xy，11114(计算( ，.12233499100，习题1(1 A 组 1(解不等式: x,13xx，,327(1) ; (2) ; xx,，,116 (3) ( 33xy，,1,(已知，求的值( xyxy，33(填空: 1819(1)(23)(23)，,_; 22(1)(1)2,，,aa(2)若，则的取值范围是_; a第 10 页 共 36 页 700927254.doc

20、11111(3)，,_( 1223344556，B 组 1(填空: 23aab,11(1)，则_ _; ,b,a,22352aabb，,3222xxyy，322,(2)若，则_ _; xxyy，,2022xy，yy11(已知:，求的值( 2xy,23xyxy,，C 组 1(选择题: ,ababba2(1)若，则 ( ) (A) (B) (C) (D) ab,ab,ab,0ba,01a,(2)计算等于 ( ) a(A) (B) (C) (D) ,aa,a,a1122(解方程( 2()3()10xx，,，,2xx11113(计算:( ，132435911，1111，4(试证:对任意的正整数n，有,

21、 ( 4123234(1)(2)，nnn1.2因式分解 因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法( 1(十字相乘法 例1 分解因式: 22 (1)x,3x，2; (2)x，4x,12; 22xyxy,，,1 (3); (4)( xabxyaby,，()2 解:(1)如图1(1,1，将二次项x分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成,12与,2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为,3x，就是x,3x，2中的一次项，所以，有 2x,3x，2,(x,1)(x,2)( 1 x x ,1 1 ,2 ,ay ,1 x 1 x 1 6 ,2

22、,by ,2 图1(1,1 图1(1,3 图1(1,4 图1(1,2 第 11 页 共 36 页 700927254.doc 说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1(1,1中的两个x用1来表示(如图1(1,2所示)( (2)由图1(1,3，得 2x，4x,12,(x,2)(x，6)( (3)由图1(1,4，得 22x ,1 ()()xayxby, , xabxyaby,，()y 1 xyxy,，,1(4),xy，(x,y),1 图1(1,5 ,(x,1) (y+1) (如图1(1,5所示)( 课堂练习 一、填空题: 1、把下列各式分解因式: 2x，5x,6,(1)_。 2x,

23、5x，6,(2)_。 2x，5x，6,3)_。 (2x,5x,6,(4)_。 2(5)_。 x,，a，1x，a,2x,11x，18,(6)_。 26x，7x，2,(7)_。 24m,12m，9,(8)_。 25，7x,6x,(9)_。 22(10)_。 12x，xy,6y,22、 x,4x， ,，x，3x， 23、若则，。 x，ax，b,，x，2x,4a, b, 二、选择题:(每小题四个答案中只有一个是正确的) 2222x，7x，6x，4x，3x，6x，8x，7x，101、在多项式(1)(2)(3)(4) 2x，15x，44 (5)中，有相同因式的是( ) A、只有(1)(2) B、只有(3)

24、(4) C、只有(3)(5) D、(1)和(2);(3)和(4);(3)和(5) 22a，8ab,33b2、分解因式得( ) A、 B、 C、 D、 ，a，11 a,3，a，11b a,3b，a,11b a,3b，a,11b a，3b23、，分解因式得( ) a，b，8a，b,20A、 B、 ，a，b，10 a，b,2，a，b，5 a，b,4C、 D、 ，a，b，2 a，b,10，a，b，4 a，b,52x,3x，a4、若多项式可分解为，则、b的值是( ) ，x,5x,baa,10b,2a,10b,2a,10b,2a,10b,2A、， B、， C、， D、， 25、若其中、为整数，则的值为(

25、) bx，mx,10,，x，a x，bam3,3,9,3,9A、或9 B、 C、 D、或 三、把下列各式分解因式 2322a,5ab，6ab，1、62p,q,11q,2p，3 2、 422b,2b,83、 4、 2y,4y,6第 12 页 共 36 页 700927254.doc 2(提取公因式法 例2 分解因式: 322xxx，933 (1) (2) a，b,5，a5,b2a(b,5)(a,1)解: (1)(= a，b,5，a5,b32322xxx，933(2)= xxx(3)3(3)，(3)(39)xxx，2 =( (3)(3)xx，或 3232333xxx，933, (331)8xxx，

26、(1)8x，(1)2x，22 , (1)2(1)(1)22xxx，,，2 , (3)(3)xx，课堂练习: 一、填空题: 221、多项式中各项的公因式是_。 6xy,2xy，4xyz2、_。 m，x,y，ny,x,x,y,2223、_。 ，mx,y，ny,x,x,y,4、_。 m，x,y,z，ny，z,x,x,y,z,5、_。 ，mx,y,z,x，y，z,x,y,z,26325,13abx,39abx6、分解因式得_。 299，997(计算= 二、判断题:(正确的打上“?”，错误的打上“” ) 221、 ( ) 2ab,4ab,2ab，a,b2、 ( ) ，am，bm，m,ma，b3223、

27、( ) ,3x，6x,15x,3x，x，2x,5nn,1n,14、 ( ) x，x,x，x，13:公式法 224,a，16例3 分解因式: (1) (2)， 3x，2y,x,y4222222,a，16解:(1)= 4,(a),(4，a)(4,a),(4，a)(2，a)(2,a)22(3x，2y，x,y)(3x，2y,x，y),(4x，y)(2x，3y) (2) ，= 3x，2y,x,y课堂练习 222233a,2ab，ba,ba,b一、，的公因式是_。 二、判断题:(正确的打上“?”，错误的打上“” ) 24222,221、 ( ) xx，xx,0.01,0.1,，0.1 ,0.1,9333,

28、第 13 页 共 36 页 700927254.doc 22222、 ( ) ，9a,8b,3a,4b,3a，4b 3a,4b23、 ( ) 25a,16b,，5a，4b 5a,4b22224、 ( ) ,x,y,，x,y,，x，y x,y225、 ( ) ，a,b，c,a，b，c a,b，c五、把下列各式分解 1222、 2、 13，,9m,n，m，nx,32422x,2x，13、 4、 4,，x,4x，24(分组分解法 222例4 (1) (2)( x,xy，3y,3x2456xxyyxy，,，,2222 (2)= 2456xxyyxy，,，,2(4)56xyxyy，,，,2(22)(3)

29、xyxy,，, =( 2(4)(2)(3)xyxyy，,或 2222= 2456xxyyxy，,，,(2)(45)6xxyyxy，,(2)()(45)6xyxyxy,，, = (22)(3)xyxy,，, =( 2222课堂练习:用分组分解法分解多项式(1) x,y，a,b，2ax，2by22a,4ab，4b,6a，12b，9(2) 25(关于x的二次三项式ax+bx+c(a?0)的因式分解( 22若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式axbxca，,0(0)xxaxbxca，,(0)12就可分解为. axxxx()(),12例5 把下列关于x的二次多项式分解因式: 222xx，,21(

30、1); (2)( xxyy，,442xx，,21x,，12x,12解: (1)令=0，则解得， 122，xx，,21 ?= xx,，,(12)(12)，=(12)(12)xx，,，( 第 14 页 共 36 页 700927254.doc 22(2)令=0，则解得， xy,，(222)xy,(222)xxyy，,441122 ?=( 2(12)2(12)xyxy，,，xxyy，,44练 习 1(选择题: 22多项式的一个因式为 ( ) 215xxyy,25xy,xy,3xy，3xy,5(A) (B) (C) (D) 2(分解因式: 233(1)x，6x，8; (2)8a,b; 24(1)(2)

31、xyyyx,，,(3)x,2x,1; (4)( 习题1(2 1(分解因式: 342a，14139xx,， (1) ; (2); 2222bcabacbc，222(3); (4)( 35294xxyyxy，,，,2(在实数范围内因式分解: 22xx,，53(1) ; (2); xx,22322222(3); (4)( 34xxyy，,(2)7(2)12xxxx,，222abcabbcca，,，3(,ABC三边，满足，试判定,ABC的形状( bac224(分解因式:x，x,(a,a)( 1115. (尝试题)已知abc=1，a+b+c=2，a?+b?+c?=，求+的值. ab，c-1bc，a-1c

32、a，b-12.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法， 222x，2x,3,0x，2x，1,0x，2x，3,0如求方程的根(1)(2) (3) 2我们知道，对于一元二次方程ax，bx，c,0(a?0)，用配方法可以将其变形为 2bbac,42()x，, ( ? 224aa2因为a?0，所以，4a,0(于是 2(1)当b,4ac,0时，方程?的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 2,bbac4 x,; ，122a第 15 页 共 36 页 700927254.doc 2(2)当b,4ac,0时，方程?的右端为零，因此，原方程有

33、两个等的实数根 b,; x,x122ab22(3)当b,4ac,0时，方程?的右端是一个负数，而方程?的左边一定大于或等于零，因()x，2a此，原方程没有实数根( 222由此可知，一元二次方程ax，bx，c,0(a?0)的根的情况可以由b,4ac来判定，我们把b,4ac2叫做一元二次方程ax，bx，c,0(a?0)的根的判别式，通常用符号“”来表示( 2综上所述，对于一元二次方程ax，bx，c,0(a?0)，有 (1) 当,0时，方程有两个不相等的实数根 2,bbac4 x,; ，122a(2)当,0时，方程有两个相等的实数根 b x,x,; 122a(3)当,0时，方程没有实数根( 例1 判

34、定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根( 22(1)x,3x，3,0; (2)x,ax,1,0; 22(3) x,ax，(a,1),0; (4)x,2x，a,0( 2解:(1)?,3,413,3,0，?方程没有实数根( 22(2)该方程的根的判别式,a,41(,1),a，4,0，所以方程一定有两个不等的实数根 22aa，4aa,，4x,x,， ( 2122(3)由于该方程的根的判别式为 222,a,41(a,1),a,4a，4,(a,2)， 所以， ?当a,2时，,0，所以方程有两个相等的实数根 x,x,1; 12?当a?2时，,0， 所以方程有两个不

35、相等的实数根 x,1，x,a,1( 12(3)由于该方程的根的判别式为 2,2,41a,4,4a,4(1,a)， 所以 ?当,0，即4(1,a) ,0，即a,1时，方程有两个不相等的实数根 xa,，,11xa,11 ， ; 12?当,0，即a,1时，方程有两个相等的实数根 x,x,1; 12?当,0，即a,1时，方程没有实数根( 说明:在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论(分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题( 2.1.2 根与系数的关系

36、(韦达定理) 2 若一元二次方程ax，bx，c,0(a?0)有两个实数根 第 16 页 共 36 页 700927254.doc 22,，,bbac4,bbac4x,x, ， 122a2a则有 22,，,bbacbbacbb442xx，,，, ; 12222aaaa2222,，,bbacbbacbbacacc44(4)4xx, ( 12222244aaaaa所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: bc2 如果ax，bx，c,0(a?0)的两根分别是x，x，那么x，x,，x?x,(这一关系也被称为,121212aa韦达定理( 2 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x，px，q,0，

37、若x，x是其两根，由韦达定理可知 12x，x,p，x?x,q， 1212即 p,(x，x)，q,x?x， 1212222 所以，方程x，px，q,0可化为 x,(x，x)x，x?x,0，由于x，x是一元二次方程x，px，q,01212122的两根，所以，x，x也是一元二次方程x,(x，x)x，x?x,0(因此有 121212以两个数x，x为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 122x,(x，x)x，x?x,0( 12122560xkx，,例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值( 分析:由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根(但由于我们学习了

38、韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值( 解法一:?2是方程的一个根， 2?52，k2,6,0， ?k,7( 32所以，方程就为5x,7x,6,0，解得x,2，x,( 1253所以，方程的另一个根为,，k的值为,7( 563解法二:设方程的另一个根为x，则 2x,，?x,( 111553k由 (,)，2,，得 k,7( 553所以，方程的另一个根为,，k的值为,7( 522例3 已知关于x的方程x，2(m,2)x，m，4,0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求

39、m的值( 分析: 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值(但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零( 解:设x，x是方程的两根，由韦达定理，得 122 x，x,2(m2)，x?x,m，4( ,121222 ?x，x,x?x,21， 12122 ?(x，x),3 x?x,21， 121222即 ,2(m,2),3(m，4),21， 2化简，得 m,16m,17,0， 解得 m,1，或m,17( 2当m,1时，方程为x，6x，5,0，,0，满足题意; 22当m,17时，方程为x，30x，293,0，,30,

40、41293,0，不合题意，舍去( 第 17 页 共 36 页 700927254.doc 综上，m,17( 说明:(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可( (1)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零(因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根( 例4 已知两个数的和为4，积为,12，求这两个数( 分析:我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数(也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解( 解法一:设这两个数

41、分别是x，y， 则 x，y,4， ? xy,12( ? 由?，得 y,4,x， 代入?，得 12， x(4,x),2即 x,4x,12,0， ?x,2，x,6( 12x,2,x,6,12 ? 或 ,y,2.y,6,2,1,因此，这两个数是,2和6( 解法二:由韦达定理可知，这两个数是方程 2 x,4x,12,0 的两个根( 解这个方程，得 x,2，x,6( 12所以，这两个数是,2和6( 说明:从上面的两种解法我们不难发现，解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷( 2 例5 若x和x分别是一元二次方程2x，5x,3,0的两根( 12(1)求| x,x|的值; 1211，(2)求的值; 22xx1233(3)x，x( 122 解:?x和x分别是一元二次方程2x，5x,3,0的两根， 1253 ?，( xx,xx，,1212225322222 (1)?| x,x|,x+ x,2 xx,(x，x),4 xx, ()4(),，,1212121212222549 ,，6,， 447 ?| x,x|,( 12253252()2()3,，,，2221137xxxxxx，,()2121212224 (2)( ，,2222239xxxxxx,()92121212(),243322 2 (3)x，x,(x，x)( x,