《最新初高中数学衔接预习教材（共15讲）：第15讲函数的单调性与最值优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新初高中数学衔接预习教材（共15讲）：第15讲函数的单调性与最值优秀名师资料.doc（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、初高中数学衔接预习教材（共15讲）：第15讲函数的单调性与最值第15讲 函数的单调性与最值 函数是描述事物运动变化的数学模型，如果了解函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律，因此要研究函数的性质 1)函数的单调性 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: 思考1:随x的增大，y的值有什么变化, 2思考2:观察和的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律, yx,yx,y321321123xO123(1) fxx(),? 从左至右图象上升还是下降? x?在区间 _ 上，随着的增大，的值逐渐_增大_ ( (,),，,fx()2(2) fxx(),x
2、?在区间 _ 上，随着的增大，的值逐渐_减小_ ( (,0),fx()x?在区间 _ 上，随着的增大，的值逐渐_增大_ ( (0,)，,fx()2x如何利用解析式描述“随着随着的增大，相应的fx()的值随着增大”, fxx(),22xx,xx,在区间(0,)，,上，任取两个，得到fxxfxx(),(),，当时，有121211222fxfx()(),(0,)，,，这时我们就说函数在上是增函数( fxx(),121.1 单调递增函数 设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量IIDyfx,()，当时，都有，那么就说在区间上是增函数( Dxx,xx,fxfx()(),fx()12
3、1212图1 单调增函数 图2单调减函数 几点说明: ? 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质; ?必须是对于区间D内的任意两个自变量，当时，都有( xx,xx,fxfx()(),1212121.2单调递减函数 DII设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量yfx,()D，当时，都有，那么就说在区间上是减函数( xx,xx,fxfx()(),fx()121212【例1】 如图6是定义在闭区间-5，5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. yfx,()解:函数在区间是减函数，在区
4、间是增函数( yfx,()5,2,1,3,2,1,3,5,注意:函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题;对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以( 2练习1 画出函数的图象，并指出它的的单调区间( yxx=-+4|3解:图象如下，在区间、是减函数，在区间、是增函数( (,2-?0,22,0-2,)+ 【例2】证明:函数在上是增函数( ,，,fxx()32,，思考:如何证明一个函数是单调递增的呢, 证明:在区间,，,上任取两个值 且， 步骤
5、?:取值 xx,xx,，1212步骤?:作差变形 则fxfxxx()()(32)(32),，,，,3()xx212121？xx,，,，且， xx,？,xx0，122112即 步骤?:判断符号 ？,fxfx()()0fxfx()(),2121,，,所以函数在区间上是增函数. 步骤?:下结论 fxx()32,，D小结:利用定义证明函数在给定的区间上的单调性的一般步骤: fx()?取值: 任取xxD,，且xx,; 1212?作差:fxfx()(),; 12?变形:(因式分解和配方等)乘积或商式; fxfx()(),?定号:(即判断差的正负); 12D?下结论:(即指出函数在给定的区间上的单调性)(
6、fx()kpk,()为正常数【例3】物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积VV减小时，压强p将增大(试用函数的单调性证明之( VVVV,证明:根据单调性的定义，设，是定义域(0，+?)上的任意两个实数，且，1212则 VV,kk21，由且，得，VV,(0,),，,VV,VV,0VV,0pVpVk()(),1212211212VVVV1212k,0又， k于是，即，所以，函数是上的减函数 p,pVpV()()0,pVpV()(),V,，,(0,)1221V也就是说，当体积V减少时，压强p将增大( 2x练习1:利用单调性的定义判断在上的单调性 fx(),(0,1)x,1解:设是区
7、间上的任意两个实数，且，则 xx,xx,(0,1)1212222(1)2(1)2()xxxxxxxx,12122121 fxfx()(),12xxxxxx,11(1)(1)(1)(1)121212由于，得，于是，即01,xxxx,0(1)(1)0xx,fxfx()()0,12211212fxfx()(),122xfx(),所以，函数是区间上的减函数. (0,1)x,11fxx(),，【例4】 设函数，证明:在单调递减;在上单调递增( fx()(0,1)(1,)，,x证明:任取xxxx,(0,1)且, 12122111xx,21 fxfxxxxxxx()()()()()(),，,，,，,，121
8、21212xxxxxx1212121()(1)xxxx,1212 ,()(1)xx12xxxx1212？01,xxxx,0xx,1xx,10，?， 12121212fxfx()()0,fxfx()(),?，即， 12121fxx(),，?函数在(0,1)上是减函数( x1fxx(),，同理可证，在(1,)，,上单调递增( x3练习1:证明在R上的单调递减 fxx()1,，xxxx,R且证明:任取 1212332233， fxfxxxxxxxxxxx()()(,，,11)()(),，121221212211132222因为，所以， xxxxxxx，,，,()0xx,xx,022111222112
9、243所以，即，所以在R上的单调递减( fxfx()()0,fxfx()(),fxx()1,，12122b【例5】若函数在上是减函数，求的取值范围 (,4,fxxbx()2(1)2,，,，2解:是开口向上的抛物线， fxxbx()2(1)2,，,，？,2(1)b由图象可知，在是减函数， (,fx()2,2(1)b？,b3，( ？,(,4(,？,(1)4b232练习1:函数在上是减函数，则_f()(比较大小). fx()(0,)，,faa(1),，413322解:，又 f(x)在上是减函数，？aaa,，,，,1()0(0,)，,24432. ？,，,faaf(1)()42练习2:若函数在上是减函
10、数，则的取值范围是_ m(,4,fxxmx()2,，解:. 8,)，,2练习3:讨论函数在内的单调性. (2,2),f(x)xax,，232解:的对称轴是 xa,f(x)xax,，23a,2当时，在上单调递增; f(x)(2,2),22a当时，在单调递减，在上单调递增; f(x)(2,),a(,2)aa,2当时，在上单调递减. f(x)(2,2),A 组 (0,)，,1(在区间上不是增函数的函数是( ) 222 A(y=2x，1 B(y=3x，1 C(y= D(y=2x，x，1 x22(函数f(x)=4x,mx，5在区间上是增函数，在区间上是减函数，(2,),，,(,2),则f(1)等于( )
11、 A(,7 B(1 C(17 D(25 3(函数f(x)在区间(,2，3)上是增函数，则y=f(x，5)的递增区间是 ( ) A(3，8) B(,7，,2) C(,2，3) D(0，5) 4(若是上增函数，对于任意的()，下列结论不正确的是( ) xxab,xx,fx(),ab1212fxfx()(),12 A( B( ()()()0xxfxfx,01212xx,12xx,21C( D( fafxfxfb()()()(),012fxfx()(),215(函数的递增区间依次是 ( ) f(x),|x|和g(x),x(2,x)A( B( C(,0,(,1(,0,1,，,)0,，,),(,1D 0,
12、，,),1,，,)B 组 21(已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( ) ，,a,4fxxax,，,，212，A(a?3 B(a?,3 C(a?5 D(a?3 2(已知f(x)在区间(,?，?)上是增函数，a、b?R且a，b?0，则下列不等式中正确的是( ) A(f(a)，f(b)?,f(a)，f(b), B(f(a)，f(b)?f(,a)，f(,b) C(f(a)，f(b)?,f(a)，f(b), D(f(a)，f(b)?f(,a)，f(,b) fxfx()(),xx,3(若是R上增函数，且，则的大小关系为_ f(x)1212x4(是定义在( 0，?)上的增函数，且 f(x)ffx
13、fy()()(),y1 (1)求f(1)的值(2)若f(6)= 1，解不等式 f( x，3 ),f() ,2 ( x5(设f(x)是定义在(,2，2)上的减函数，并且f(m,1),f(1,2m),0，求实数m的取值范围( 2.函数的最值 2.1 函数的最大值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数M满足: Ifx()xI,(1)对于任意的，都有;(2)存在，使得. xI,fxM(),fxM(),00那么，我们称M是函数)的最大值(maximum value)( yfx,()2.2函数的最小值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数m满足: Ifx()xI,(1)对于任意的，都有;(2)存在，使
14、得. xI,fxm(),fxm(),00那么，我们称m是函数)的最小值(minimum value)( yfx,()注意: 1、函数最大(小)值首先应该是某一个函数值，即存在，使得; xI,fxM(),00xI,2、函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的的，都有fxM(),()( fxm(),2【例1】 求函数，的值域 x,1,5fxxx()41,，22x,2解:，因为，所以当时，fx()3,;21,5,fxxxx()41(2)3,，,minx,1x,5当或时，fx()1406,，,，所以函数的值域为:( fx()3,6,max2y,【例2】求函数在区间2，6上的最大值和
15、最小值( x,1xx,xx,解:设是区间上的任意两个实数，且，则 2,61212222(1)(1)2()xxxx,2121 fxfx()(),12xxxxxx,11(1)(1)(1)(1)12212126,xxxx,0(1)(1)0xx,fxfx()()0,由于，得，于是，即21121212fxfx()(), 122y,所以，函数是区间2,6上的减函数( x,12因此，函数在区间2,6上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2y,x,1时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4 ( 小结:利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法: (1)利用二次函数的性质(配方法)求
16、函数的最大(小)值 (2)利用图象求函数的最大(小)值 (3)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ; 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 练习1(求函数fx(2x)2,，,x1的最值 x,1解:方法一:当时，; fxx(5),3fxf()(1)2,12,x当时，即; fxx()3,ffxf(2)()(1),1()2,fxx,2当时，( fxxf(2),351所以，无最大值( ff(1x)2,()f
17、x()minx,2方法二:画出的图象，如右图所示，当，有最小值1，无最大fx()fx()fx()值( 1fxx(),练习2(求函数()的最大值和最小值 x,2,4x1fxx(),解:可以证明在上是单调递增函数，所以x,2,4x13fxf()(2)2,; min22115fxf()(4)4,( max442练习3 已知函数，求fx()在区间0,2上的最小值(其中为常数) ( fxx(1xt),tt2x,解:函数的对称轴为( yxtx,12t,0x,0y,1(1) 当对称轴在所给范围左侧(即时:当时，; min2ttt04,t(2) 当对称轴在所给范围之间(即，即时，当，; x,02,y,1min
18、224t,4x,2 (3) 当对称轴在所给范围右侧(即时，当时， yt,32min,1,0t,2t,yt,1,04综上所述:( ,min4,32,4,tt,A 组 21(函数f(x),2x,mx，3，当x?,2，?)时，f(x)为增函数，当x?(,?，,2时，函数f(x)为减函数，则m等于( ) A(,4 B(,8 C(8 D(无法确定 ,2x，6 x?1，22(函数f(x),，则f(x)的最大值、最小值为( ) x，8 x?,1，1,A(10,7 B(10,8 C(8,6 D(以上都不对 xx223(下列四个函数:?y,;?y,x，x;?y,(x，1);?y,，2.其中x,11,x在(,?，
19、0)上为减函数的是( ) A(? B(? C(? D(? 24(若函数f(x),4x,kx,8在5,8上是单调函数，则k的取值范围是_( B 组 21(函数y,x的单调减区间是( ) A(0，?) B(,?，0 C(,?，0) D(,?，?) 2(若函数f(x)定义在,1,3上，且满足f(0)f(1)，则函数f(x)在区间,1,3上的单调性是( A(单调递增 B(单调递减 C(先减后增 D(无法判断 3(已知函数y,f(x)，x?A，若对任意a，b?A，当ab时，都有f(a)f(b)，则方程f(x),0的根( ) A(有且只有一个 B(可能有两个 C(至多有一个 D(有两个以上 4(设函数f(
20、x)在(,?，?)上为减函数，则( ) 222A(f(a),f(2a) B(f(a),f(a) C(f(a，a),f(a) D(f(a，1),f(a) 5(下列四个函数在(,?，0)上为增函数的是( ) 2|x|xx?y,|x|;?y,;?y,;?y,x，. x|x|x|A(? B(? C(? D(? 6(下列说法中正确的有( ) ?若x，x?I，当x,x时，f(x),f(x)，则y,f(x)在I上是增函数;?函数121212112y,x在R上是增函数;?函数y,在定义域上是增函数;?y,的单调递减区xx间是(,?，0)?(0，?)( A(0个 B(1个新 课C(2个 D(3个 b7(若函数y
21、,在(0，?)上是减函数，则b的取值范围是_( x28(若f(x),x，bx，c，且f(1),0，f(3),0 )上是增函数( (1)求b与c的值;(2)试证明函数f(x)在区间(2，?9(已知f(x)是定义在,1,1上的增函数，且f(x,1),f(1,3x)，求x的取值范围( ax，110(设函数y,f(x),在区间(,2，?)上单调递增，求a的取值范围( x，2第15讲 函数的单调性与最值答案 1.函数的单调性 A 组 1-5:CDBC C 1(A 2(B 3( xx,124(解析:?在等式中，则f(1)=0( 令x,y,036?在等式中令x=36，y=6则 f(),f(36),f(6),
22、？f(36),2f(6),2.61故原不等式为:即fx(x，3),f(36)， f(x，3),f(),f(36),x又f(x)在(0，?)上为增函数， x，3,0,1153,3,故不等式等价于: ,0,0,x,.,x2,0,x(x，3),36,5(解析: ?f(x)在(,2，2)上是减函数 ?由f(m,1),f(1,2m),0，得f(m,1),f(1,2m) ,1,m,3,2,m,1,2,121312,2,1,2m,2,即,m,m,? 解得，?m的取值范围是(,) ,222323,m,1,1,2m,2,m,3,3、第五单元“加与减(二)”，第六单元“加与减(三)” 在“加与减”的学习中，结合生
23、活情境，学生将经历从具体情境中抽象出加减法算式的过程，进一步体会加减法的意义;探索并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)和连加、连减、加减混合的计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。2.函数的最值 A组 1(B 2(A 3(A 4(,?，40?64，?) B组 1(A. 2(D. 3(C 4(D 5(C 6(A. 7(,?，0) 8(解:(1)?f(1),0f(3),0 ,1，b，c,0?,解得b,4c,3. 9，3b，c,0,2、第四单元“有趣的图形”。学生将经历从上学期立体图形到现在平
24、面图形的过程，认识长方形，正方形，三角形，圆等平面图形，通过动手做的活动，进一步认识平面图形，七巧板是孩子喜欢的拼图，用它可以拼出很多的图形，让孩子们自己动手拼，积累数学活动经验，发展空间观念能设计有趣的图案。2(2)证明:?f(x),x,4x，3?设xx?(2，?)且x,x 12122222f(x),f(x),(x,4x，3),(x,4x，3),(x,x),4(x,x),(x,x)(x，x12112212121212,4) 3.余弦：?x,x,0x,2x,2?x，x,4,0. 121212?f(x),f(x),0即f(x),f(x)( 12121、第一单元“加与减(一)”。是学习20以内的退
25、位减法，降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。退位减法是一个难点，学生掌握比较慢，但同时也是今后竖式减法的重点所在。所以在介绍的：数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器这些方法中，孩子们喜欢用什么方法不统一要求，自己怎么快怎么算，但是要介绍这些方法。?函数f(x)在区间(2，?)上为增函数( 9(已知f(x)是定义在,1,1上的增函数，且f(x,1),f(1,3x)，求x的取值范围( (一)教学重点0?x?24、初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受数学在日常生活中的作用,感受加减法与日常生活的密切联系,同时获得一些初步的数学活动经验，发展解决问题和运用数学进行思考的能力。,
26、1?x,1?12,0?x?1,1?1,3x?13解:由题意可得即?0?x,. ,2 x,11,1,3x ,x,2平方关系：商数关系：ax，110(设函数y,f(x),在区间(,2，?)上单调递增，求a的取值范围( x，2顶点坐标：（，）解:设任意的xx?(,2，?)且x,x 2121（2）经过三点作圆要分两种情况:，1axax，1，ax，1，x，2，,，ax，1，x，2，121221?f(x),f(x),12x，2x，2，x，2，x，2，1212，x,x，2a,1，12. ，x，2，x，2，122、第三单元“生活中的数”。通过数铅笔等活动，经历从具体情境中抽象出数的模型的过程，会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。?f(x)在(,2，?)上单调递增?f(x),f(x),0. 12，x,x，2a,1，12?,0?x,x,0x，2,0x，2,0 1212，x，2，x，2，121a,1,0?a,. ?22