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1、2005年第7期设计与研究文章编号:1001- 2265 2005 07- 0005- 04含有随机参数的机械多体系统动力学建模与仿真何柏岩1，2 ,朱志辉3,王树新4 ,韩崇昭2(1中国汽车技术研究中心，天津 300162; 2 .西安交通大学 电信学院，西安 710049; 3.河北工业大学 天津 300130; 4.天津大学 机械学院，天津 300072摘要：在工程中，机械多体系 统的参数往往具有 不确定性，如设计公差、制造和装配误 差、磨损等因素导致零件的几 何尺寸 具有随机性；工作温度的影响使得弹性模量、泊松比等参数产生变异。传统的多体系统动力学研究往往忽略了参数的随机 性，因此存在
2、局限性。文章基于Kane方程，采用随机理论处理参数 的不确定性问题，讨论了含随机参数的 多体系统建模问 题;并采用Monte- Carlo方法进行解算，最终得到统计意 义上的结果。对一含随机参数的柔性机械臂进行了仿真计算，验 证了本方法的正确性和有效性。关键词：多体系统；随机参数；Monte- Carlo方法；柔性机械臂中图分类号:TU311.3文献标识码：ADynamic Modeling and Simulation of Mechanical Multibody Systemswith Probabilistic Parameters1 2342HE Ba-yan1,2, ZHU Zh-
3、hui3, WANG Shu-xin4, HAN ChongzhaS(1 . Chi na Automotive Tech nologya nd ResearchCe nter, Tianjin 300162, Chi na ; 2 . Schoolof Electro nic a nd Infomation Engineering, Xi an JiaotongUniversity, Xi an 710049, ChinaAbstract: In engineering uncertaincharacteristicsexist in neary all the mechanicalmult
4、ibody systems The cynamicparametersof me chanical partssuchas dimension Yourg s Modulus, density, Poissohs ratio etc is usually probabilisticdue to designtolerance assembly errors wear and operatingtemperature Previousmodelingmethodsof mechanicaEultibodysystemsusuallyignoredthe probabilisticchar act
5、eristicsof the dynamic parameters So they have somelimitations In this paperprobabilisticparameterareconsideredn modelingand smulating of mechanicalmultibody systemsand they are treatedas probabilisticvariables, probabilistic processand probabilisticfields re spective/. Thus the responsesof the mech
6、anicalsystemare also probabilistic onest Basedon Kane equation and Mont Carlo method computercodecalledXJ- MBS is developedto simulategeneralmechanicalmultibodysystemswith probabilisticparameters The simulation resultsare expressedn statistic. As an illustrative example； a flexible mechanicalarmwith
7、 probabilistic parameters simulated by XJ- MBS andsomeuseful resultswere obtained The accuracyand validity of the theorypresentedin the paper is proved.Key words: multibody system; probabilisticparameter MonteCarlo method flexible mechanicalarm2005年第7期设计与研究0引言多体系统1,2是指多个物体通 过一定的方式相互连接构成 的系统，系统中的物体可以
8、是刚体，也可以是柔体。多体系统动 力学是一般力学学科的一个 重要分 支，是对某类客观事物的高 度抽象和概括。但在传统多体系统动力学研究中，系统的材料特性、动力学参数、载荷、边界条件等都认为是精确确定的或可 以精确测量的，各种动力学方法都是等效的，可以得到一致的唯 一确定解。但是，基于精确确定假设的动力学建模与解算并不 能有效描述实际工程问题，甚至可能导致前后矛盾或有悖于工 程实际的结果，这是因为不确定性因素是客观存在、无法避免 的。因此在多体动力学建模中计及不确定性因素具有重要的实 际意义。从数学角度来分类，机械多体系统中的不确定因素可以分为三种3:随机性，模糊性，未确知性。本文将重点 讨论含
9、随机参数的机械多体系统动力学。1多体系统中的随机参数的分类与数学处理从工程背景来分析，机械多体系统动力学中的随机参数主 要在以下几个方面。(1)载荷的随机性航天器的机械手是典型的多体系统,它的载荷就是末端操作器所抓取的物体。一般来说，物体的几何形状，质量的变化都 将引起机械手载荷的随机性 。车辆的悬 架系统也可以采用多体 理论进行建模,显然,车辆载货量、路面情况必 将造成载荷 的随 机性。(2材料参数的随机性2005年第7期设计与研究2005年第7期设计与研究收稿日期:2005- 05 - 25*基金项目：国家自然科学基金资助项目(059905019作者简介：何柏岩(1973-),男，中国汽车
10、技 术研究中心博士后研究人员工学博士，主要研究方向为机械多体系统动力学与控制等,(E- mail)hebaiyan 163. com。対4-列 14 fhina AcaJc nic Journal KLctronic Pnli 讪吋 I【仙姑 Alli呂1i代 reserved. 丽冲!52005年第7期设计与研究(1)图1含随机参数的多体 系统动力学仿真计 算程序SJMBS流 程图SJ- MBS，程序流程见统动力学计算程序材料参数主要指多体系统中物体的密度、弹性模量、泊松 比、热膨胀系数、抗拉（压）强度、阻尼特性、摩擦系数等。实践表 明，由于制造环境、技术条件、使用情况等因 素使材料参数存在
11、 着随机性。（3几何参数的随机性几何参数主要指物体的 长度、宽度、高度、厚度、半径、横截 面积、惯性矩等等。显然，由于设计的公差、安装和制造中的误 差必然使几何参数呈现随机性 。（4初始条件和边界条件的随机性对于柔性多体系统，初始条件和边界条件往往是假设精确 已知的，但这往往不是真实的情况。在数学上，分别采用随机变量、随机过程和随机场三个概念 来描述多体系统中的随机参数。随机变量与时间、空间无关 适于用随机变量描述的随机参数有：零件的长、宽、高、摩擦系 数、初始位移、速度、加速度等。多体系统中有很多参数是与时 间相关的，如果这些参数也表现出随机性，那么可以采用随机过 程来描述。如:载荷、驱动力
12、、力矩、时变的边界条件等。随机场 用来描述与空间相关的随机 因素，可用随机场描述的随机因素 有:密度、弹性模量、泊松比等。随机过程与随机场涉及到时间 与空间的离散化问题，建模比较复杂，本文主要采用随机变量来 描述多体系统中的不确定参数 。无论采用何种动力学原 理，最终得到的确定性的多体 系统动力学方程为如下形式4 ： （AY + Yq 入=BY= 0式中，A、B分别为广义质 量矩阵与广义力列阵；Y为广义速率 列阵；Y为约束方程列阵，Yq为Y对应的Jacobi矩阵；入为拉氏 乘子列阵。如果矩阵中至少有一个 元素为随机量，那么该矩阵称为随机矩阵。实际上，正是由于随机参数的引入，使得原来确定性的 矩
13、阵元素变为随机的。同时，响应参数也表现岀随机性。所取 的随机参数可以有一个或者多个。如果我们以“”表示随机参 数,那么计及随机性的多体系统动力学方程如式（2）所示。A Y + yJ 入=B（2）Y= 0式中,A、B、Y、y、Yq、入分别为对应原来确定性矩阵的随机矩 阵。式（2）本质上是一个 随机微分-代数方程组。与确定性微 分方程不同的是，随机微分方程可以给出响应的统计意义的解,但必须采用特殊的求解方法。2多体系统动力学随机微分方程的求解Monte- Carlo方法是一种通过 随机变量的数字模拟和统计 分析求解数学、工程技术问题近似解的数值方法5 O当所要求 解的问题是某种事件岀现的 概率，或
14、者是某个随机变量的期望 值时，它们可以通过某种试验”的方法，得到这种时间岀现的频 率,或者这个随机变量的平均值，并把它们作为问题的解。这就是Monte- Carlo方法的基本思想。禾U用该方法求解随机问题可 以归纳为三个步骤随机变量的抽样；样本反应求 解；计算反应量的统计量估计2 .1随机变量的抽样所谓随机变量的抽样就是按照随机变量的已知概率分布进 行随机样本提取；根据问题的复杂程度和试验要求的精度，得到 一系列随机数，而这些随机数满足我们预先假设的概率分布，如正态分布、均匀分布等。各种分布的随机变量的抽样在数学上 有一定的算法，如反变换法、舍取法等。计算机和算法语言的发 展为编程提供了很大的
15、便利，符合一定分布规律的随机数可以直接调用库 函数得到。如在Matlab语言中，命令randR n）就可 以产生n个服从标准正态分布的随机数。值得注意的 是，随机场可以离散化为若干随机变量，所以 Monte- Carlo方法对于随机场的抽样也完全适用；而在利用计算 机仿真时，可以根据程序的 步长调整来实现对随机过程的时间 离散化，从而得到纯粹随 机过程的时间抽样，所以Monte- Carlo 方法也可以处理随机过程。多体系统中的随机量大多情况下不 止一个，更为一般的情况是，多个随机因 素共存，这时每次抽样 可以根据其分布，得到一组随机数。2 .2样本反应求解样本反应求解是 指:对于每个（组）随
16、机样本，按照传统的确 定性柔性多体动力学分析进行数值计算。该步骤从模型到计算 与传统的多体动力学问题完全一样，对于每一组样本可以得到反应量（例如，弹性变形、体的位移、速度、加速度等）的确定值。2.3计算反应量的统计量估计我们得到了反应量的众多 确定性数值，虽然对于每个结果 来说，数值是确 定的，然而，就总 体来说它们却是各自反应量的 一个样本。有了反应量的样本， 完全可以计算岀其数字特征。 一般来说，工程中只需要前二阶 矩信息，即均值和方差。在一些 情况下，还可以利用假设检验理 论，计算反应量的 分布函数等信 息。基于Monte- Carlo方法，在 已有通用多体动力学计算程序 UCIN- d
17、ynocombS 的 基础 上，采用Matlab编程工具开发了 含随机参数的多体系3含随机参数的柔性机械臂动力学仿真杆类柔性多体系统 是工程中应用最广的多体系统，空间柔 性机械臂、柔性连杆机构等均属于该类系统，对该类系统的构件 进行动力学行为的研究具有非常重要的意义7O针对视觉 控制的柔性机械臂，基于Kane- Huston方法建立了计及动力刚 化的柔性臂随机参数 动力学模型11,并在此基础上进行了仿真 计算。2005年第7期设计与研究2005年第7期设计与研究 6 4二列14 Chha Acodeniic Journal Ettedronic Piibljibing llouscii All
18、 rights rejserved,丄nkinet2005年第7期设计与研究2005年第7期设计与研究3 .1系统描述如图2所示的平面柔性机械臂系统,长度 为L,横截面宽度为hi, 厚度为h2 ,横截面积为A = hi h2,密度为p，弯 ”曲刚度为EI。柔性臂一：端固定在交流伺服电机 轴上,另一端自由，电机 的驱动力矩为T,转动 惯量为Jh ,自由端安装质量为mp的CCD摄像头，B为柔性臂大范围运动的角位移;O5Y为惯性坐标系，OXY为固定在柔性臂上的随动坐标 系,设 为R o在随动坐标系中，柔性臂未变形时轴线上任意一 点P( x, 0)在其发生变形后的位置为P *( x * ,y *) ,
19、 U1、U2为变形的投 影。3 .2 柔性机械臂的随机参数 分别选择柔性机械臂的密度、长度、宽度、厚度为随机变量,并假设它们均符合正态分布5,9 o确定性参数与随机参数的数 值见表1与2 o图2柔性机械臂式中，带“”号的参数为随机变量。3 .4仿真计算结果采用SJ- MBS程序进行仿真计算，为了考察单个参数的随 机性对柔性臂动力学性 能的影响，可在计算时仅取该参数为随 机变量而其它参数为 确定性参数。限于篇幅，本文只给岀密度、 长度、宽度、厚度均为随机变量的1000个样本的仿真结果。柔 性机械臂的末端 变形、变形速度、角位移、角速度的均值和 方差 如图3图6所示。2a.随机参数密度(k m3)
20、长度(m)宽度(m厚度(m均值7.8 x 1030. 530.0328 .5 x 10-4方差1001 x 10-61 x 10-81 X10-10表1 随机参数的均值和方差确定性参数电机转动惯量(kg m2)摄像头质量(kg)输入力矩(N - m)弹性模量(N m2)数值1.46 x 10- 201 - t2.1 x 1011表2 确定性参数的数值3 .3 动力学方程众多研究者对 柔性机械 臂的动力学 问题做了大 量研究。因此我们不再讨论柔性臂的确定 性动力学建模问题,而是直接给 出采用几何变形约束法和 Kane方程得到的计及动力刚化的柔性机械臂的确定性动力学方程(3),详见参考文献11 o
21、L pA/xpdx + mpL p( L)2 2 2 2ecp - G -mpp( L) G qp13Jh +pA_ + mpL3L-2A CxHpid x qi - G = 0idx + mpL i( L) qj = tmp P( L) qp +(3)l( p = 1,2,，N)对式(3稍作变换，得到计及随机参数的柔性机械臂的动 力学方程为132Jh + PL + mpL3 n+L”小/x id x+ mp_ i( L)Gi = TLxp dx + mp- p( L)2q + 1 + mp p( L) qp +(4)2 2 2 2邛-G - mp p(L) G qpLpidx qi - GJ
22、)2 = 00. 51 时间 均值L527 6 5 4 3 2?亘舉曙羁峨盪燉報米Q,Lsoldso0. 511. 52时何方差图3柔性臂末端变形的统计量0O. 61K b时间2005年第7期设计与研究K p = 1,2,，N)图4柔性臂末端变形的统计量2005年第7期设计与研究2005年第7期设计与研究uninit2005年第7期设计与研究2005年第7期设计与研究3025霰5I204 迴15 丹 埔10时间(s)图5柔性臂角位移的统计量4结论0. &11. 5吋间牯】 均盛1550. 015Q. 010. 0050.5I1.时间CM (b)方差0. 02图6柔性臂角速度的统计量(1含随机参
23、数的多体系统动力学模型更加充分的描述了客观系统的真实特性，仿真结果是以统计量的形式给岀，一般可以得到其前二阶矩信息；本文编制的SJ- MBS程序具有通用性 适用于含随机参数的一般多体系统动力学仿真计算。 8 2G14 China Academic Journal Electronic puhli(2)响应的方差可用来评判 系统对某种随机参数的敏感程 度。柔性臂对其厚度最为敏感，其次为宽度，最次为密度。所以 可以从柔性臂选用的材料和制造条件等方面对柔性臂进行合理 设计，保证敏感参数的精度，从而使柔性臂的达到规定的动力学 特性要求。参考文献1 Huston R. L . Multibody dyn
24、amics- model and analysismethodsJ . Appl. Meeh. Rev, 1991, 44(3 : 109- 1172 刘又午.多体动力学的休斯顿方法及其发展J .中国机械工程,2000,11 6) : 601- 6073 王光远.论不确定性结构力学的发展力学进展J .力学进展,2002, 32 2) : 205- 211.4 王树新，今天杨发亮.机械多体系统动力学可视化仿真方 法研究J.计算机辅助设计与图形学学报，2002, 14J4):339- 343.5 李杰.随机结构系统分析与建模M.北京：科学出版社,1996.6 金国光.带有大型伸展机构航天 器的柔性
25、多体动力学分析研究D.天津:天津大学,2001.7 NaganathaG. , SoniA.H. NonlinearModelingof Kinematicsand Flexibility Effects in Manipulators J . ASME J. Mechanisms TranmissionsandAutomationin Design, 1988 110 : 243- 254.8 Yigit A., ScottR.A. UlsoyA. G. , FlexuralMotion of a Radically RotatingBeam Attached a Rigid Body J
26、. J. Soundand Vibration, 1988, 121 2 : 201- 210.9 Rao S S. Probabilisticapproachto manipulatorkinematicsand dy- namics J . Reliability Engineerig and SystemSafety, 2001,72 (8) : 47- 51.10 Schneide, D.L. DevelopmenfendTestingof a Reliability Perfor mancelndex for Modular RoboticSystem$ A . ProceeihgsAnnu- al Reliability andMaintainabilitySymposim, 1994, 263- 271.11何柏岩.柔性多体系统的广义确定性动力学模型及其仿真研究D,天津：天津大学,2003(编辑 李秀敏)本刊欢迎在线投稿http : /www .zhjcz .com .cn