《江苏专版2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十六圆锥曲线中的最值范围证明问题201.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏专版2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十六圆锥曲线中的最值范围证明问题201.wps（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、课时达标检测( (四十六）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 一、全员必做题 x2 y2 2 1已知椭圆 E： b21(ab0)的一个焦点为 F2(1,0)，且该椭圆过定点 M( 2). 1， a2 (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)设点 Q(2,0)，过点 F2作直线 l 与椭圆 E 交于 A，B 两点，且 F2A F2B ， 2，1，以 QA，QB 为邻边作平行四边形 QACB，求对角线 QC 长度的最小值 1 1 解：(1)由题易知 c1， 1， a2 2b2 又 a2b2c2， 解得 b21，a22， x2 故椭圆 E 的标准方程为 y21. 2 (2)设直线 l：xky1，由Err
2、or! 得(k22)y22ky10，4k24(k22)8(k21)0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 2k 1 则可得 y1y2 ，y1y2 . k22 k22 QC QA QB (x1x24，y1y2) 4k21 2k ( k22)， ， k22 28 8 | QC |2| QA QB |216 ，由此可知，| QC |2的大小与 k2的 k22 k222 取值有关 y1 1 y2 由 F2A F2B 可得 y1y2， ， (y1y20) y2 y1 1 y1 y2 y1y222y1y2 6k24 从而 ， y2 y1 y1y2 k22 1 5 5 6k24 2 由 2，1得(
3、) ，2，从而 2，解得 0k2 . 2 2 k22 7 1 7 1 7 17 1 令 tk22，则 t ，| |28t228t168 2 ，当 t 时， ， 2 QC (t4 ) 16 2 2 |QC|min2. x2 y2 2已知椭圆 C： 1(ab0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成 a2 b2 正三角形 (1)求椭圆 C 的标准方程； 1 (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于 点 P，Q. 证明：OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) 解：(1)由已知可得Error!解得 a26，b22， x2
4、 y2 所以椭圆 C 的标准方程是 1. 6 2 (2)证明：由(1)可得，F 的坐标是(2,0)， 设 T 点的坐标为(3，m)， m0 则直线 TF 的斜率 kTF m. 32 1 当 m0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ ，直线 PQ 的方程是 xmy2. m 当 m0 时，直线 PQ 的方程是 x2，也符合 xmy2 的形式 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得Error! 消去 x，得(m23)y24my20， 其判别式 16m28(m23)0. 4m 2 所以 y1y2 ，y1y2 ， m23 m23 12 x1x2m(y1y2)4
5、 . m23 6 2m 所以 PQ 的中点 M 的坐标为( ， ， m23) m23 m 所以直线 OM 的斜率 kOM . 3 m 又直线 OT 的斜率 kOT ， 3 所以点 M 在直线 OT 上，因此 OT 平分线段 PQ. 3(2018南通模拟)已知中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆 C，其上一点 P 到两个焦点 3 F1，F2的距离之和为 4，离心率为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 ykx1 与曲线 C 交于 A，B 两点，求OAB 面积的取值范围 y2 x2 解：(1)设椭圆的标准方程为 1(ab0)， a2 b2 由条件知，Error!解得 a2，c 3，b1
6、， y2 故椭圆 C 的方程为 x21. 4 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 2 由Error!得(k24)x22kx30， 2k 3 故 x1x2 ，x1x2 ， k24 k24 设OAB 的面积为 S， 3 1 由 x1x2 0，知 S 1|x1x2| k24 2 1 2 k23 x1x224x1x22 ， k242 1 令 k23t，知 t3，S2 1 . t 2 t 1 1 t21 对函数 yt (t3)，知 y1 0， t t2 t2 1 yt 在 t3， )上单调递增， t 1 10 t ， t 3 1 3 3 0 ，0S . 1 16 2 t 2 t 3 故OAB
7、 面积的取值范围为( . 0， 2 二、重点选做题 2 x2 y2 1(2018丹阳期初)过离心率为 的椭圆 C： 1(ab0)的右焦点 F(1,0)作直 2 a2 b2 线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，设|FA|FB|，T(2,0) (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 12，求ABT 中 AB 边上中线长的取值范围 2 解：(1)e ，c1，a 2，b1， 2 x2 即椭圆 C 的方程为： y21. 2 (2)当直线的斜率为 0 时，显然不成立 设直线 l：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立Error!得(m22)y22my10， 2m 1 则 y1y2 ，y
8、1y2 ， m22 m22 由|FA|FB|，得 y1y2， 1 y1 y2 ， y2 y1 3 1 4m2 y1y22 2 ， y1y2 m22 2 m2 ， 7 1 又AB 边上的中线长为 | TA TB | 2 1 2 x1x242y1y22 4m49m24 m222 2 7 13 2 4 . 16 1， m222 m22 2(2018南京模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 x2 y2 2 C： 1(ab0)的离心率为 ，点(2,1)在椭圆 C 上 a2 b2 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l 与圆 O：x2y22 相切，与椭圆 C 相交于 P，Q 两点.
9、 若直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，求OPQ 的面积； 求证：OPOQ. c 2 4 1 解：(1)由题意，得 ， 1，结合 a2b2c2，解得 a26，b23. a 2 a2 b2 x2 y2 所以椭圆的方程为 1. 6 3 (2)椭圆 C 的右焦点 F( 3，0) 显然切线的斜率存在，设切线方程为 yk(x 3)，即 kxy 3k0， | 3k| 所以 2，解得 k 2， k21 所以切线方程为 y 2(x 3) 由方程组Error! 解得Error!或Error! 4 33 2 66 4 33 2 66 所以点 P，Q 的坐标分别为( 5 )， ， ， ， 5 5 5 6 6 所以|
10、PQ| . 5 1 1 6 6 6 3 因为 O 到直线 PQ 的距离为 d 2，所以OPQ 的面积为 S |PQ|d 2 . 2 2 5 5 6 3 由椭圆的对称性知，当切线方程为 y 2(x 3)时，OPQ 的面积也为 . 5 4 6 3 综上所述，OPQ 的面积为 . 5 证明：()若直线 PQ 的斜率不存在，则直线 PQ 的方程为 x 2或 x 2. 当 x 2时，P( 2， 2)，Q( 2， 2) 因为 OP OQ 0，所以 OPOQ. 当 x 2时，同理可得 OPOQ. ()若直线 PQ 的斜率存在，设直线 PQ 的方程为 ykxm，即 kxym0. |m| 因为直线与圆相切，所
11、以 2，即 m22k22. 1 k2 将直线 PQ 的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24kmx2m260. 4km 2m26 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有 x1x2 ，x1x2 . 12k2 12k2 因为 OP x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2 OQ 2m26 4km (1k2) km 12k 2)m2. 12k2 ( 将 m22k22 代入上式可得 OP OQ 0，所以 OPOQ. 综上所述，OPOQ. 三、冲刺满分题 x2 y2 3 1.已知椭圆 C： 1(0b2)的离心率为 ，与坐标轴不 4 b2 2 垂直且不过原点的直线 l1与椭圆 C 相交于不同的两点 A，B(如图所 示)，过 AB 的中点 M 作垂直于 l1的直线 l2，设 l2与椭圆 C 相交于不同 1 的两点 C，D，且 CN CD . 2 (1)求椭圆 C 的方程； d (2)设原点 O 到直线 l1的距离为 d，求 的最大值 |MN| 解：(1)依题意得，Error!解得 b21， x2 所以椭 圆 C 的方程为 y21. 4 (2)设直线 l1：ykxm(k0，m0)， 由Error!得(14k2)x28kmx4m240， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Error! 4mk m 故 M( ，14k 2). 14k2 5