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1、2014届江苏高三理科数学二轮复习解题技巧提炼专题检测：专题七第1讲第1讲 几何证明选讲 【高考考情解读】 高考中主要考查三角形相似、平行截割定理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力(与圆有关的切线、割线以及三角形的综合问题是高考的热点(高考中主要是应用定理解决有关求角、求线段长、求线段长的比以及证明等类型的题目，题型以解答题形式出现，难度为中档，分值为10分( 1( 相似三角形的判定与性质 (1)判定定理 ?两角对应相等的两个三角形相似; ?三边对应成比例的两个三角形相似; ?两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似( (2)性质定理 ?相似三角形对应边上的高的
2、比、中线的比和对应角平分线的比都等于相似比( ?相似三角形周长的比等于相似比( ?相似三角形面积的比等于相似比的平方( 2( 直角三角形的射影定理及逆定理 (1)射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项( (2)射影定理的逆定理:如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形( 3( 圆周角与圆心角定理 (1)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半( (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数( (3)推论:?同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆
3、周角所对的弧也相等;?半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90?的圆周角所对的弦是直径( 4( 圆内接四边形的性质与判定定理 (1)判定定理:如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆( 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆( (2)性质定理:?圆的内接四边形的对角互补;?圆内接四边形的外角等于它的内角的对角( 5( 圆的切线的判定及性质 (1)圆的切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线( (2)圆的切线的性质定理 ?圆的切线垂直于经过切点的半径( ?经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点( ?经过切点且垂直于切线的直线必
4、经过圆心( (3)弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角( 6( 直线与圆位置关系的“四定理” (1)相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等( (2)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等( (3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项( (4)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 考点一 相似三角形的判定与性质 例1 如右图，梯形ABCD中，AB?CD，且AB,2CD，E、F分别是 AB、BC的中点，EF与BD相交
5、于点M. (1)求证:?EDM?FBM; (2)若DB,9，求BM. (1)证明 ?E是AB的中点?AB,2EB. ?AB,2CD?CD,EB. 又AB?CD?四边形CBED是平行四边形( ?CB?DE ,?DEM,?BFM,? ,?EDM,?FBM,?EDM?FBM. (2)解 ?EDM?FBM DMDE?,. BMBF?F是BC的中点 ?DE,2BF.?DM,2BM 1?BM,DB,3. 3判定三角形相似的常用方法: (1)利用三角形判定定理, (2)利用平行线分线段成比例定理, (3)利用与圆有关的“四定理”( (1)(2013?陕西改编)如图，AB与CD相交于点E， 过E作BC的平行线
6、与AD的延长线相交于点P.已知?A, ?C，PD,2DA,2，求PE的长( 解 ?BC?PE?PED,?C,?A PEPD2?PDE?PEA?,则PE,PA?PD PAPE又?PD,2DA,2?PA,PD，DA,3. ?PE,PA?PD,6. (2)如图，梯形ABCD内接于?O，AD?BC，过点C作?O的切线，交 BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E. 2?求证:AB,DE?BC; ?若BD,9，AB,6，BC,9，求切线PC的长( ?证明 ?AD?BC ?AB,CD?EDC,?BCD. 又PC与?O相切?ECD,?DBC. DCDE?CDE?BCD?,. BCDC2?CD,DE?BC 2
7、即AB,DE?BC. 22AB6?解 由?知DE,4 BC9?AD?BC?PDE?PBC PDDE4?,. PBBC9又?PB,PD,9 3681?PD,PB,. 5523681542?PC,PD?PB,. 255554?PC,. 5考点二 圆的切割线定理的应用 例2 如图所示，已知PA与?O相切，A为切点，PBC为割线， D为?O上一点，AD，BC相交于点E. (1)若AD,AC，求证:AP?CD; (2)若F为CE上一点使得?EDF,?P，已知EF,1，EB,2， PB,4，求PA的长( (1)证明 ?PA是?O的切线AD是弦 ?PAD,?ACD. ?AD,AC ?ADC,?ACD ?PA
8、D,?ADC ?AP?CD. (2)解 ?EDF,?P 又?DEF,?PEA ?DEF?PEA EFED有, EAEP即EF?EP,EA?ED. 而ADBC是?O的相交弦 ?EC?EB,EA?ED 故EC?EB,EF?EP 1，2，4，EF?EP?EC,3. EB22由切割线定理有PA,PB?PC,4(3，2，4),36 ?PA,6. 在与圆有关的问题中或在特殊的几何图形中常利用“四定理”及三角形相似等知识来证明线段相等或线段成比例等问题( 一般地涉及圆内的两条相交弦时首先考虑相交弦定理涉及两条割线时要想到割线定理涉及切线和割线时要注意应用切割线定理要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理
9、中线段之间的关系的区别( (1)(2013?广东改编)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC,CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB,6，ED,2，求BC的长( 解 因为C为BD中点且AC?BC 所以?ABD为等腰三角形( 又?AB,AD,6?AE,4DE,2 AEAC2又,?AC,AE?AD,46,24AC,26. ACAD22在?ABC中BC,AB,AC,36,24,23. (2)如图，?O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM 的延长线交?O于N，过N点的切线交CA的延长线于P. 2?求证:PM,PA?PC; ?若?O的半径为23，OA,3OM，求MN的长(
10、?证明 如图连结ON则ON?PN且?OBN为等腰三角形 则?OBN,?ONB. ?PMN,?OMB,90?,?OBN ?PNM,90?,?ONB ?PMN,?PNM?PM,PN. 2根据切割线定理有PN,PA?PC 2?PM,PA?PC. ?解 ?OA,23OA,3OM?OM,2 22在Rt?BOM中BM,OB，OM,4 延长BO交?O于点D连结DN. 由条件易知?BOM?BND BOBM234于是,即,?BN,6. BNBDBN43?MN,BN,BM,6,4,2. 考点三 圆的有关性质的综合应用 例3 (2013?课标全国?)如图，CD为?ABC外接圆的切线，AB的延长 线交直线CD于点D，
11、E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC?AE ,DC?AF，B、E、F、C四点共圆( (1)证明:CA是?ABC外接圆的直径; (2)若DB,BE,EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与?ABC外接圆面积的比值( (1)证明 因为CD为?ABC外接圆的切线 所以?DCB,?A BCDC由题设知,故?CDB?AEF FAEA所以?DBC,?EFA. 因为BEFC四点共圆 所以?CFE,?DBC故?EFA,?CFE,90?. 所以?CBA,90?因此CA是?ABC外接圆的直径( (2)解 连结CE因为?CBE,90? 所以过BEFC四点的圆的直径为CE 由DB,BE有CE,DC 22又BC,D
12、B?BA,2DB 2222所以CA,4DB，BC,6DB. 22而DC,DB?DA,3DB故过BEFC四点的圆的面积与?ABC外接圆面积的比 1. 值为2高考中对几何证明的命题集中在圆和三角形、四边形相结合的综合性题目上这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决(已知圆的切线时第一要考虑过切点和圆心的连线得直角,第二应考虑弦切角定理,第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理(同时注意四点共圆的判定及性质的应用( (2013?课标全国?)如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，?ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D. (1)证明:DB,DC; (2
13、)设圆的半径为1，BC,3，延长CE交AB于点F，求?BCF外接圆的半径( (1)证明 连结DE 则?DCB,?DEB ?DB?BE ?DBC，?CBE,90?DEB，?EDB,90? ?DBC，?CBE,?DEB，?EDB 又?CBE,?EBF,?EDB ?DBC,?DEB,?DCB ?DB,DC. (2)解 由(1)知:?CBE,?EBF,?BCE ?CE,BE ?BDE,?CDE 3?DE是BC的垂直平分线设交点为H则BH, 2313?OH,1,?DH, 422323?tan?BDE,?BDE,30? 332?FBE,?BDE,30? ?CBF，?BCF,90?BFC,90? ?BC是?
14、BCF的外接圆直径( 3?BCF的外接圆半径为. 21( 几何证明的难度应严格控制在解决同一个问题的过程中相似三角形(或全等三角形)的使用不宜超过两次添置的辅助线不超过三条( 2( 相似三角形是平面几何中极为重要的内容(从概念上看相似是全等的拓展全等只是相似的特殊情形而且研究有关全等的各种问题几乎都可以平行地研究有关各种相似问题( 3( 圆是轴对称图形利用这一点可研究垂径定理和圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理(关系定理使我们在圆心角、弧、弦、弦心距的证明中得以相互转化,垂径定理又可与等腰三角形的性质定理相沟通( 4( 直线和圆的相切的位置关系以及由它引伸出来的一系列知识如切线长定理、弦切角定理
15、和与圆有关的比例线段定理又是本节的重点利用上述定理可以很方便地证明角相等、线段相等以及线段的比例问题( 1( 如图，在?ABC中，D为BC边的中点，E为AD上的一点，延长BE AE1AF交AC于点F.若,，求的值( AD4AC解 如图过点A作AG?BC交BF的延长线于点G. AE1AE1?,?,. AD4ED3?AGE?DBE 又AGAE1?,. BDED3AG1?D为BC中点BC,2BD?,. BC6AFAG1AF1?AGF?CBF?,?,. FCBC6AC72( 如图，AB是?O的直径，C，F为?O上的点，AC是?BAF的平分 线，过点C作CD?AF交AF的延长线于D点，CM?AB，垂足为
16、 点M. (1)求证:DC是?O的切线; (2)求证:AM?MB,DF?DA. 证明 (1)如图连结OC ?OA,OC?OCA,OAC. 又?CA是?BAF的平分线 ?DAC,?OAC. ?DAC,?OCA.?AD?OC. 又CD?AD?OC?CD即DC是?O的切线( (2)?CA是?BAF的平分线?CDA,?CMA,90?AC,AC ?ACD?ACM?CD,CM. 22由(1)知DC,DF?DA又CM,AM?MB ?AM?MB,DF?DA. (推荐时间:60分钟) 1( 如图，?B,?D，AE?BC，?ACD,90?，且AB,6，AC,4，AD,12， 求BE的长( 解 ?AC,4AD,12
17、?ACD,90? 222?CD,AD,AC,128?CD,82. 又?AE?BC?B,?D?ABE?ADC 682ABBEAB?CD?,?BE,42. ADCDAD122( 如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC,4，AD?BC， 垂足为D，BE与AD相交于点F，求AF的长( 解 如图连结CEAOAB.根据AE是半圆周上的两个三等分 点BC为直径可得?CEB,90?CBE,30?AOB,60?故 3?AOB为等边三角形AD,3OD,BD,1?DF, 323?AF,AD,DF,. 33( 如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上 不与A、B重合的另一点，若?ACB,
18、120?，求?APB的大小( 解 如图连结OAOB ?PAO,?PBO,90? ?ACB,120?AOB,120?. 又PAOB四点共圆 故?APB,60?. 4( (2013?广东改编)如图，在矩形ABCD中，AB,3，BC,3，BE?AC，垂足为E，求ED的长( 解 如图作DF?AC于点F 由AB,3BC,3知?BAC,60?. 333从而AE,同理CF,DF, 22233所以EF,AC,AE,CF,23,3. 22921222所以在?DEF中:DE,DF，EF,，3, 4421所以DE,. 25( (2012?江苏)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长
19、至点C，使BD,DC，连结AC，AE，DE. 求证:?E,?C. 证明 如图连结OD因为BD,DCO为AB的中点 所以OD?AC于是?ODB,?C. 因为OB,OD所以?ODB,?B. 于是?B,?C. 因为点AEBD都在圆O上且DE为圆O上位于AB异侧的 两点所以?E和?B为同弧所对的圆周角故?E,?B. 所以?E,?C. 6( 如图，PA切?O于点A，割线PBC经过圆心O，OB,PB,1，OA 绕点O逆时针旋转60?到OD，求PD的长( 解 方法一 连结AB ?PA切?O于点AB为PO的中点 ?AB,OB,OA ?AOB,60?POD,120?. 222在?POD中由余弦定理得PD,PO，
20、DO,2PO?DO?cos?POD 1,4，1,4(,),7. 2?PD,7. 方法二 过D作DE?PC垂足为E 1?POD,120?DOE,60?可得OE, 23DE,在Rt?PED中 225322PD,PE，DE,，,7. 447( 如图，AB，CD是圆O内的两条平行弦，BF?AC，BF交CD于点 E，交圆O于点F，过A点的切线交DC的延长线于点P，若PC, ED,1，PA,2，求AC的长( 解 ?PA是?O的切线 2?由切割线定理得PA,PC?PD. ?PA,2PC,1?PD,4. 又?PC,ED,1 ?CE,2由题意知四边形ABEC为平行四边形 ?AB,CE,2连结BC如图 ?PA是?
21、O的切线 ?PAC,?CBA. ?ABCD是圆的两条平行弦 ?PCA,?CAB PCCA?PAC?CBA?, CAAB2?AC,PC?AB,2?AC,2. 8( 如图，已知?ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，?B,60?， F在AC上，且AE,AF.证明: (1)B、D、H、E四点共圆; (2)CE平分?DEF. 证明 (1)在?ABC中因为?B,60? 所以?BAC，?BCA,120?. 因为AD、CE分别是?BAC、?DCF的平分线 所以?HAC，?HCA,60? 故?AHC,120?. 于是?EHD,?AHC,120?. 所以?EBD，?EHD,180? 所以B、D、H、E四点共圆
22、( (2)连结BH则BH为?ABC的平分线得?HBD,30?. 由(1)知B、D、H、E四点共圆 所以?CED,?HBD,30?. 又?AHE,?EBD,60? 4.二次函数的应用： 几何方面由已知可得EF?AD可得?CEF,30?. 所以CE平分?DEF. 9( (2013?江苏)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆 心O，且BC,2OC.求证:AC,2AD. 点在圆上 d=r;证明 连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点DC （1）理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个
23、两点线段的垂直平分线上.锐角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。所以?ADO,?ACB,90?. 扇形的面积S扇形=LR2又因为?A,?A所以Rt?ADO?Rt?ACB. 145.286.3加与减（三）2 P81-83BCAC所以,. ODAD又BC,2OC,2OD故AC,2AD. 圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。10(2013?辽宁)如图，AB为?O的直径，直线CD与?O相切于E，AD 垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连结AE，BE. 证明: (1)?FEB,?CEB; 一锐角三角函数2(2)E
24、F,AD?BC. 证明 (1)由直线CD与?O相切得?CEB,?EAB. 由AB为?O的直径得AE?EB 从而?EAB，?EBF, 2又EF?AB得?FEB，?EBF, 2从而?FEB,?EAB. 故?FEB,?CEB. (2)由BC?CEEF?AB ?FEB,?CEBBE是公共边 1、第一单元“加与减(一)”。是学习20以内的退位减法，降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。退位减法是一个难点，学生掌握比较慢，但同时也是今后竖式减法的重点所在。所以在介绍的：数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器这些方法中，孩子们喜欢用什么方法不统一要求，自己怎么快怎么算，但是要介绍这些方法。得Rt?BCE?Rt?BFE所以BC,BF. （3）圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.同理可证得AD,AF. 又在Rt?AEB中EF?AB 22故EF,AF?BF所以EF,AD?BC.