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1、2013届高三数学(理)二轮温习 必考题目专项打破17 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围题目资料17 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题1(2011?新课标全国)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|,12，P为C的准线上一点，则?ABP的面积为( )( A(18 B(24 C(36 D(48 2答案: C 不妨设抛物线的标准方程为y,2px(p,0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，p2故直线的方程为,2得,?，即|,2，又|,12，故,6，所以lx.代入ypxypABpABp21抛物线的准线方程为x,3，故S,?6?12,36. ?ABP2
2、22(2011?山东)设M(x，y)为抛物线C:x,8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为00圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y的取值范围是( )(0 A(0,2) B(0,2 C(2，?) D(2，?) 2答案:C ?x,8y，?焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y,2.由抛物线的定义知222|MF|,y，2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x，(y,2),(y，2).00 由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4,y，2，0?y,2. 02x23(2010?福建)若点O和点F(,2,0)分别为双曲线,y,1(a0)的中心和左焦
3、点，点2a?P为双曲线右支上的任意一点，则OP?FP的取值范围为( )( A(3,23，?) B(3，23，?) 77，,，,，?，?C. D. ,44，,，,22答案:B 如图，由c,2得a，1,4，?a,3， 2x2?双曲线方程为y,1. ,3设(，)(?3)， Pxyx?22OP?FP,(x，y)?(x，2，y),x，2x，y 2x422，2，2,1(?3)( ,xx,1,xxx3342令g(x),x，2x,1(x?3)，则g(x)在3，?)上单调递增(g(x),g(3),3，min3?23.?OP?FP的取值范围为3，23，?)( 4(2012?浙江)定义:曲线C上的点到直线l的距离的
4、最小值称为曲线C到直线l的距222离(已知曲线C:y,x，a到直线l:y,x的距离等于曲线C:x，(y，4),2到直线l:y12,x的距离，则实数a,_. |0,22解析 因曲线C:x，(y，4),2到直线l:y,x的距离为, 2,2 2,22222,2，则曲线C与直线l不能相交，即x，a,x，?x，a,x,0. 12设C:y,x，a上一点为(x，y)， 10011,2x,0，a,224,x,y|,x，x，a4a,1|0000则点(x，y)到直线l的距离d,?,2，,002224 29所以a,. 49答案 4本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定点
5、、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大( 复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去(解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法;其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值. 必备知识 有关弦长问题 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不求”;有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运
6、用，以简化运算( 2(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P(x，y)，P(x，y)，则所得弦长|PP|, 1，k111222121|,|或|,1，|,|，其中求|,|与|,|时通常使用韦达定理，即作如xxPPyyxxyy21122121212k下变形: 2|x,x|, x，x,4xx; 2112122|y,y|, y，y,4yy. 211212(2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算( 圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 22xyF、F为椭圆，,1(a,b,0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端1222ab点，O为坐标原点，则有
7、?|OP|?b，a; ?|?PFa,c，a，c; 122?|PF|?|PF|?b，a; 12?.FPFFBF 1212(2)双曲线中的最值 22xyF、F为双曲线,1(a,0，b,0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标1222ab原点，则有 ?|OP|?a; ?|PF|?c,a. 1(3)抛物线中的最值 2点P为抛物线y,2px(p,0)上的任一点，F为焦点，则有 p?|PF|? ;2?A(m，n)为一定点，则|PA|，|PF|有最小值( 必备方法 1(定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、
8、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值(化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量( 2(解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系(建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 圆锥曲线中的定点、定值问题 该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识
9、交汇，形成了过定点、定值等问题的证明(难度较大( 22【例1】? (2012?湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C上的点均在圆C:(x,5)，y,912外，且对C上任意一点M，M到直线x,2的距离等于该点与圆C上点的距离的最小值(12 (1)求曲线C的方程; 1(2)设P(x，y)(y?3)为圆C外一点，过P作圆C的两条切线，分别与曲线C相交于000221点A，B和C，D.证明:当P在直线x,4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值( 审题视点 听课记录 审题视点 (1)直接根据曲线与方程的概念求解，或者转化为根据抛物线的定义求解均可;(2)首先建立圆的两条切线的斜率与点的坐标之间的关系
10、，其次把圆的切线方程与抛物线方程联立消元，根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之积，最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证( 22(1)解 法一 设M的坐标为(x，y)，由已知得|x，2|,x,，y,3.易知圆C上的点位于直线x,2的右侧，于是x，2,0， 222所以,，,，5. xyx2化简得曲线C的方程为y,20x. 1法二 由题设知，曲线C上任意一点M到圆心C(5,0)的距离等于它到直线x,5的距122离(因此，曲线C是以(5,0)为焦点，直线x,5为准线的抛物线(故其方程为y,20x.1 (2)证明 当点P在直线x,4上运动时，P的坐标为(,4，y)，又y?3，则过P且00与
11、圆C相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y,2，4|kyk|50y,k(x，4)，即kx,y，y，4k,0.于是 ,3.002k，122整理得72k，18yk，y,9,0.? 00设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k，k，则k，k是方程?的两个实根，故1212yy1800k，k, ,.?12724,，4,0，kxyyk101,2,得,20，20(，4),0.? 由kyyyk1012 ,20,yx,设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y，y，y，y，则y，y是方程?的两个实根，所以123412y，4k01,.? yy12k1y，4k02同理可得yy,.?
12、 34k2于是由?，?，?三式得 y，4ky，4k0102yyyy, 1234kk122400y，k，ky，16kk012012, kk1222y,y，16kk0012,6 400. kk12所以，当P在直线x,4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400. 解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究(同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值、定点问题的选择题或填空题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等( 2【突破训练1】 设抛物线C:y,4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A，B两点( (1)设的斜率为1，求
13、|的大小; LAB?(2)求证:OA?OB是一个定值( (1)解 ?F(1,0)，?直线L的方程为y,x,1， ,y,x,1，,2,设A(x，y)，B(x，y)，由得x,6x，1,0， 11222 y,4x,?x，x,6，xx,1. 121222?|AB|,x,x，y,y 21212,2?x，x,4xx 1212,2?36,4,8. (2)证明 设直线L的方程为x,ky，1， ,x,ky，1，,2,由得y,4ky,4,0. 2 y,4x,?y，y,4k，yy,4，OA,(x，y)，OB,(x，y)( 12121122?OA?OB,xx，yy 1212,(，1)(，1)， kykyyy12122
14、,，(，)，1， kyykyyyy12121222,4，4，1,4,3. kk?是一个定值( OAOB圆锥曲线中的最值、范围问题 该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围(常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点( 22xy1【例2】? (2012?浙江)如图，椭圆C:，,1(a,b,0)的离心率为，其左焦点到点22ab2P(2,1)的距离为10.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分(1)求椭圆C的方程; (2)求?ABP面积取最大值时直线l的方程( 审题视点 听课记录 1审题视点 (1)利用椭圆的离心率为，其左焦点
15、到点P(2,1)的距离为10求解(2(2)由题意可知直线l的斜率存在，设为y,kx，m，结合椭圆方程，线段AB被直线OP平分可求k值(然后以AB为底，点P到直线AB的距离为高表示出S的表达式，借助导数求?ABP最值( 解 (1)设椭圆左焦点为F(,c,0)，则由题意得 2，c，1,10，,c,1，, 得,c1 a,2., ,，,2,a22xy所以椭圆方程为 ，,1.43(2)设A(x，y)，B(x，y)，线段AB的中点为M. 1122当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x,0，与不过原点的条件不符，舍去(故可设直线AB的方程为y,kx，m(m?0)， ,y,kx，m，,由y，整理得 消去2
16、2 3x，4y,12,222(3，4k)x，8kmx，4m,12,0，(1) 2222则,64km,4(3，4k)(4m,12),0， km8x，x,，122,3，4k,2m,124 ,xx.122,3，4kkmm43,，所以线段AB的中点M. 22,3，4k3，4k,mkm13,2因为M在直线OP:y,x上，所以,. 2223，43，4kk3得m,0(舍去)或k,. 222此时方程(1)为3x,3mx，m,3,0，则 x，x,m，12,22,3(12,),0， m,m,3xx,. 12,3,3922所以|AB|,1，k?|x,x|,?12,m. 126设点P到直线AB距离为d，则 |,4|8
17、,2m2|md,. 223，213设?ABP的面积为S，则 1322,|?,?,. SABdmm26其中m?(,2 3，0)?(0,2 3)( 22令u(m),(12,m)(m,4)，m?,2 3，2 3， 2u(m),4(m,4)(m,2m,6) ,4(m,4)(m,1,7)(m,1，7)( 所以当且仅当m,1,7，u(m)取到最大值( ,1,7，取到最大值( 故当且仅当mS综上，所求直线l方程为3x，2y，2 7,2,0. 求最值或范围常见的解法:(1)几何法(若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决;(2)代数法(若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则
18、可首先建立目标函数，再求最值;(3)求函数最值常用的代数法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等( 2y2【突破训练2】 (2012?陕西五校联考)已知双曲线x,A，右焦点为,1的左顶点为13?F，P为双曲线右支上一点，则PA?PF的最小值为212( )( 81A(,2 B(, C(1 D(0 16?答案: A 由已知得A(,1,0)，F(2,0)(设P(x，y)(x?1)，则PA?PF,(,1,x，121222,y)?(2,x，,y),4xx,5.令f(x),4xx,5，则f(x)在1，?)上单调递增，所以?当?取最小值，最小值为,2.x,1时，函数f(x)取最小
19、值，即PAPF 12圆锥曲线中探索性问题 此类问题命题背景宽，涉及知识点多，综合性强，探究平分面积的线、平分线段的线，或探究等式成立的参数值(常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合，形成知识的交汇( 22a【例3】? (2011?重庆卷改编)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e,，且,22.2c(1)求该椭圆的标准方程; ?(2)设动点P满足:OP,OM，2ON，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为1,.问:是否存在两个定点F，F，使得|PF|，|PF|为定值,若存在，求F，F的坐标;若1212122不存在，说明理由( 审题视点 听课记录 2a2审题视点 (1)利用e,，,22
20、求a，c. 2c?(2)设P(x，y)，M(x，y)，N(x，y)，由OP,OM，2ON可得x,x，2x，y,y，2y，又11221212222222点，2,4上，可得，2,4，2,4，再结合直线M、N在椭圆xyxyxyOM与ON的斜率之积1122122为,.可求得点P满足方程x，2y,20.由椭圆的定义可求解( 22ca2222解 (1)由e,，,22，解得a,2，c,2，b,a,c,2，故椭圆的标准方程2ca22xy为 ，,1.42?(2)设P(x，y)，M(x，y)，N(x，y)，则由OP,OM，2ON，得(x，y),(x，y)，2(x，1122112y),(x，2x，y，2y)， 21
21、21222即x,x，2x，y,y，2y.因为点M、N在椭圆x，2y,4上， 12122222所以x，2y,4，x，2y,4， 1122222222故x，2y,(x，4x，4xx)，2(y，4y，4yy) 121212122222,(x，2y)，4(x，2y)，4(xx，2yy) 11221212,20，4(xx，2yy)( 1212设k，k分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 OMONyy112k?k,，因此xx，2yy,0， 1212OMON2xx1222所以，2,20. xy22xy所以点是椭圆，,1上的点，设该椭圆的左、右焦点为，则由PFF122251022椭圆的定义|，|为定值，又
22、因,5,10,10，因此两焦点的坐标PFPFc12为F(,10，0)，F(10，0)( 12探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则能得出相应结论，如果不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论( 【突破训练3】 (2012?济南模拟)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k2x2的直线l与椭圆y,1有两个不同的交点P和Q. ，2(1)求k的取值范围; ?(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OP，?OQ与AB共线,如果存在，求k的值;如果不存在，请说明理由( 解 (1)由已知，得直线l的方程为y,kx，2
23、， 2x2代入椭圆方程，得，(kx，2),1， 212,2，k整理，得x，22kx，1,0，? ,2,直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 12,22，k,8k,4?,4k,2,0， ,2,22解得k,或k,， 2222,即k的取值范围为. ?,?，,，?,22,(2)设P(x，y)，Q(x，y)， 1122k42由方程?，得x，x,，? 1221，2k又y，y,k(x，x)，22.? 1212?而A(2，0)，B(0,1)，AB,(,2，1)， ?所以OP，OQ与AB共线等价于 x，x,2(y，y)， 12122将?代入上式，解得k,， 222由(1)知k,或k,，故没有符合题意的常数k
24、. 22圆锥曲线“最”有应得 椭圆、双曲线、抛物线的最值问题的解题方法较灵活，学生时常感到无从下手(常遇到面积最大最小问题，距离的最长最短问题，不定量的最大最小问题等等，下面给同学们提供两种解法，只要掌握了它们，就可以“最”有应得( 一、几何法求最值 【示例1】? 抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，,2)作直线?l与抛物线相交于A，B两点，且满足OA，OB,(,4，,12)( (1)求直线l和抛物线的方程; (2)当抛物线上一动点P从点A运动到点B时，求?ABP面积的最大值( 2满分解答 (1)根据题意可设直线l的方程为y,kx,2，抛物线方程为x,2py(p,0)(
25、,y,kx,2，,2,由x，2pkx,4p,0.(2分) 得2 x,2py，,2设点A(x，y)，B(x，y)，则x，x,2pk，y，y,k(x，x),4,2pk,4.1122121212 ,2pk,4，,?,所以OA，OB,(,4，,12)，所以 2 ,2pk,4,12，,p,1，,2,解得的方程为,2,2，抛物线方程为,2.(6分)lyxxy故直线 ,k,2.,(2)设P(x，y)，依题意，知当抛物线过点P的切线与l平行时，?ABP的面积最大(00 1122对,求导，得,，所以,2，即,2，,2，即(,2，yxyxxxyxP000022,2)( 此时点P到直线l的距离 ,2|44 5d,.
26、(9分) 2252，,5,y,2x,2，,2,由x，4x,4,0， 得2 x,2y，,则x，x,4，xx,4， 121222|AB|, 1，k? x，x,4xx 121222, 1，2?, ,4 10. 于是，?ABP面积的最大值为 14 5?4 10?,8 2.(12分) 25老师叮咛:当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值问题时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两条平行线间的距离，就是所求的最值，切点就是曲线上取得最值的点，这种求最值的方法称为切线法( 切线法的基本思想是数形结合，其中求曲线的切线方程需要利用导数知识，判断切线与曲线的最值需要借助几何图形的直观性，通
27、过图形来确定何时取得最大值，何时取得最小值( 二、函数法求最值 22xy【示例2】? (2012?广东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:，,1(a,b,0)22ab2的离心率e, ，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3. 3(1)求椭圆C的方程; 22(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l:mx，ny,1与圆O:x，y,1相交于不同的两点A、B，且?OAB的面积最大,若存在，求出点M的坐标及对应的?OAB的面积;若不存在，请说明理由( 22ca,b2满分解答 (1)由e, , ，得a,3b， 2a3a22xy222椭圆C:，,1，即x，3y,3b， 223bb设
28、P(x，y)为C上任意一点， 2222则|PQ|, x，y, ,y，3b，6， ,b?y?b. 22若b,1，则,b,1，当y,b时，|PQ|, ,b，3b，6,3，又b,0，max得,1(舍去)， b22若?1，则,?,1，当,1时，|, ,1，3，6,3，得,1.bbyPQbbmax 2x2?椭圆C的方程为y,1.(6分) ，322mm22(2)法一 假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有n,1，即n,1,m?3.，,3?33111由题意可得S,|OA|?|OB|sin?AOB,sin?AOB?， ?AOB222当?AOB,90?时取等号，这时?AOB为等腰直角三角形， 2此时圆心(0
29、,0)到直线mx，ny,1的距离为， 2212m3122222则,，得m，n,2，又n,1，解得m,，n,，即存点M的坐标为，222322m，n162626262,，AOB的最大面积为.(12，满足题意，且?，,，,，,222222222,分) 22mm22法二 假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有n,1，即n,1,m?3，,3?33,mx，ny,1,2222,又设A(x，y)、B(x，y)，由y得(m，n)x,2mx，1,n,0，?，消去112222 x，y,1,2m2222把n,1,m)x,6mx，m,0， 代入?整理得(3，2322则,8m(3,m)?0， m6x，x,，122,3
30、，2m? ?,2m ,xx，122,3，2m11而S,|OA|?|OB|sin?AOB,sin?AOB， ?AOB221当?AOB,90?，S取得最大值， ?AOB21.概念：一般地，若两个变量x，y之间对应关系可以表示成(、b、c是常数,0)的形式，则称y是x的二次函数。自变量x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。104.305.6加与减（二）2 P57-602mxmxmx，x，3mxx1,1,3,3121212?此时OA?OB,xx，yy,0，又yy,?,，1212122nn3,m2mx，x，3mxx
31、3,31212?xx，,0， 1223,m115.75.13加与减（二）2 P61-63 数学好玩2 P64-67第二章 二次函数2即3,3m(x，x)，(3，2m)?xx,0， 1212互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A)42把?代入上式整理得2m,9m，9,0， 322解得,或,3(舍去)， mm223.53.11加与减（一）4 P4-122m62?m,?，n,? 1, ,?，23262626262,?M点的坐标为，S取得，使得，,，,，,?,AOB22222222,等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。1最大值.(12分) 2老师叮咛:当所求的最值可以
32、表示成某个变量的函数关系式时，我们常常先建立对应的函数关系式，然后利用函数方法求出对应的最值，称这种方法为函数法，这是解析几何问题中求最值的常用方法(函数法是研究数学问题的一种最重要的方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关注( 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:2【试一试】 抛物线y,x上的点到直线4x，3y,8,0的距离的最小值是( )( 478A. B. C. D(3 355二次方程的两个实数根答案: A 可知过抛物线点的切线与直线4x，3y,8,0平行时，所求的距离最小，y4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即2424244,，,x,2x.令,2x,，解得x,，从而切点坐标为，切线方程为y，,，,3933393,4,8,3,4即4x，3y,0，由两平行线间距离公式，得点到直线的距离的最小值为d,2234，34.故选A. 3