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1、2011届高考数学解题思想方法-函数与方程的思想方法三、函数与方程的思想方法 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是:实际问题?数学问题?代数问题?方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程;哪里有公式，哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的等等;不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多
2、元方程没有什么本质的区别，如函数y,f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x),y,0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函,1数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是:f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐
3、含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量，构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系;实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关
4、系式，应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 ?、再现性题组: 1.方程lgx，x,3的解所在的区间为_。 A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+?) 22.如果函数f(x),x，bx，c对于任意实数t，都有f(2，t),f(2,t)，那么_。 A. f(2)f(1)f(4) B. f(1)f(2)f(4) C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)0)，则，,，解出x,2，再用万能公式，选A; 22251，x1，xSSmmpq，n5小题:利用是关于n的一次函数，设
5、S,S,m，,x，则(,p)、(,q)、pqnpq，pq(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x,0，则答案:0; 5526小题:设cosx,t，t?-1,1，则a,t,t,1?,1，所以答案:,1; 447小题:设高h，由体积解出h,2，答案:24; 364168小题:设长x，则宽，造价y,4120，4x80，80?1760，答案:1760。 xx?、示范性题组: 22例1. 设a0，a?1，试求方程log(x,ak),log(x,a)有实数解的k的范围。(892aa年全国高考) 【分析】由换底公式进行换底后出现同底，再进行等价转化为方程组，分离参数后分析式子特点，从而选用三角换元法
6、，用三角函数的值域求解。 xak,0,22【解】 将原方程化为:log(x,ak),log， 等价于 xa,aa22,xakxa,(a0,a?1) xxx2(),1? k, ( |1 ), aaax设,csc， ?(,0)?(0, )，则 k,f(),csc,|ctg| a22当?(,0)时，f(),csc，ctg,ctg,1，故k,1; 22当?(0, )时，f(),csc,ctg,tg?(0,1)，故0k1; 22综上所述，k的取值范围是:k,1或0k0)，设曲线C:y,x,ak，曲线C:y, (y0)，xa,xa,12如图所示。 由图可知，当,aka或,a,ak0时曲线C与C有交点，即方
7、程有实解。所以k的取值12范围是:k,1或0kak，即,k0，,1()ka，222k2k,xakxa,x,2k,2k,1通分得0，解得k,1或0k1。所以k的取值范围是:k,1或0km(x,1)对满足|m|?2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。 【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换2一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x,1)m,(2x,1)0在-2,2上恒成立的问题。2对此的研究，设f(m),(x,1)m,(2x,1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)f()20,的值在-2,2内恒为负值时参数x应该满足的条件。 ,f(),2
8、0,2【解】问题可变成关于m的一次不等式:(x,1)m,(2x,1)m(x,1)的解集是-2,2时求2m的值、关于x的不等式2x,1m(x,1)在-2,2上恒成立时求m的范围。 一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。 例3. 设等差数列a的前n项的和为S，已知a,12，S0，S0， S121S,13a，78d,13(12,2d)，78d,156，52d0。 13124 解得:,d,3。 711? S,na，n(n1,1)d,n(12,2d)
9、，n(n,1)d n122d124d12422,n,(5,),(5,) 22d22d124241242因为d0，故n,(5,)最小时，S最大。由,d,3得6(5,)0、a0 ，即:由daa，由S,13a0nn，11213137得a0得a0。所以，在S、S、S中，S的值最大。 71267612126例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设?BAC,，PA,AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。 【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。 【解】 在PB上任取一点M，作MD?AC
10、于D，MH?AB于H， P 设MH,x，则MH?平面ABC，AC?HD 。 M 222222?MD,x，(2r,x)sin,(sin，1)x,4rsinxA H B D C 22，4rsin 2222rsin4rsin22,(sin，1)x,， 221，sin1，sin22rsin2rsin即当x,时，MD取最小值为两异面直线的距离。 221，sin1，sin【注】 本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后
11、利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典型的例子。 例5. 已知?ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgA?tgC,2，又知顶点C3,求?ABC的三边a、b、c及三内角。 的对边c上的高等于43【分析】已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。 【解】 由A、B、C成等差数列，可得B,60?; 由?ABC中tgA，tgB，tgC,tgA?tgB?tgC，得 33tgA，tgC,tgB(tgA?tgC,1), (1，) 2333设tgA、tgC是方程x,(，3)x，2，,0的两根，解得x,1，x,2， 1253设A0在x?(-?,1上
12、恒成立的不等式问题。 xx【解】 由题设可知，不等式1，2，4a0在x?(-?,1上恒成立， 112xx即:()，()，a0在x?(-?,1上恒成立。 22111x2设t,(), 则t?， 又设g(t),t，t，a，其对称轴为t, 2221111322? t，t，a,0在,+?)上无实根， 即 g(),()，a0，得a, 222243所以a的取值范围是a,。 4【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问
13、题进行相互转化。 112xx在解决不等式()，()，a0在x?(-?,1上恒成立的问题时，也可使用“分离参22113x2数法”: 设t,(), t?，则有a,t,t?(,?,，所以a的取值范围是a2243,。其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函4数思想”。 ?、巩固性题组: 1. 方程sin2x,sinx在区间(0,2)内解的个数是_。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 x2. 已知函数f(x),|2,1|，abf(c)f(b)，则_。 ,acacA. a0,b0 B. a0,c0 C. 22 D. 2，20，则当x=时，；若a0，Sr 直线L和O相
14、离.2aab10.已知lg,4?lg?lg,0，求证:b是a、c的等比中项。 cbc22211.设、均为锐角，且cos，cos，cos，2cos?cos?cos,1，求证:，, 。 2221p12.当p为何值时，曲线y,2px (p0)与椭圆(x2)，y,1有四个交点。(8842176.186.24期末总复习年全国高考) 135.215.27加与减（三）4 P75-80213.已知关于x的实系数二次方程x，ax，b,0有两个实数根、。证明: ?. 如果|2，|2，那么2|a|4，b且|b|4; ?. 如果2|a|4，b且|b|4，那么|2，|2 。 (93年全国理) 14.设f(x)是定义在区间(-?,+?)上以2为周期的函数，对k?Z，用I表示区间k5.二次函数与一元二次方程2(2k-1,2k+1，已知当x?I时，f(x),x。 ?.求f(x)在I上的解析表达式; ?.0k对自然数k，求集合M,a|使方程f(x),ax在I上有两个不相等的实根。 (89年全kk国理)