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1、第十章 波动和声 习题10.2.1 频率在20至20000Hz的弹性波能使人耳产生听到声音的感觉.0时，空气中的声速为331.5m/s，求这两种频率声波的波长.解 答10.2.2 一平面简谐声波的振幅为0.001m，频率为1483Hz，在20的水中传播，写出其波方程.解 答已知表P309知波速1483m/s。设O-x轴沿波传播方向，x表示质元平衡位置坐标，y表示质心相对平衡位置的位移，选坐标原点处位相为零的时刻为计时起点。即原点处初相为零。则位于处的体元相位落后。即：10.2.3 已知平面简谐波的振幅，波长1m，周期为，写出波方程（最简形式）.又距波源9m和10m两波面上的相位差是多少？解 答
2、选坐标原点处位相为零刻为计时起点。O-x轴沿波传播方向，则可得波的最简形式：代入已知数据得设波源处为，则因此位相差是：10.2.4 写出振幅为A，波速为，沿Ox轴正方向传播的平面简谐波方程.波源在原点O，且当t=0时，波源的振动状态被称为零，速度沿Ox轴正方向.解 答波源振动方程：因此波源振动方程为： 任一处的位相比波源的相位落后，得波方程为 将已知量代入得：10.2.5 已知波源在原点（）的平面简谐波方程为 ，A,b,c均为常量。试求：（1）振幅，频率，波速和波长；（2）写出在传播方向上距波源处一点的振动方程式，此质点振动的初位相如何？解 答与平面简谐波方程的标准形式比较可得：（1） 振幅为
3、A，频率：；波速，波长（2）时，该点的振动方程式为：此质点振动的初位相为 。10.2.6 一平面简谐波逆轴传播，波方程为，试利用改变计时起点的方法将波方程化成最简形式。解 答 ，最简形式应为如改变计时起点后的新计时系统以应满足，因此即将计时起点提前3秒，就可将波方程化成最简形式10.2.7 平面简谐波方程，试用两种方法画出时的波形图。（SI）解 答的波形图。方法一：有方程求得。找出对应于方程的各（x,y）点,例如：通过各点描绘出所求波形图（右图）。方法二：由方程求得，先画出的图形，在将纵坐标轴向右移动：即向右移动，就可以得到所求的波形图。10.2.8 对于平面简谐波画出处体元的位移-时间曲线。
4、画出时的波形图。解 答（1）可求得T=12s,t=0时；（2）t=3s、6s时波形图其相位与t=3s时相差，所以将t=3s的波形图向右移，即得t=6s时的波形图。10.2.9 二图分别表示向右和向左传的两列平面简谐波在某瞬时的波形图，说明此时以及各质元的位移和速度为正还是为负？它们的相位如何？（对于和只要求说明其相位在第几象限）解 答若波用余弦函数表示,则所求结果如下表.横坐标位移速度相位正最大0负负象限0负最大正最大0负正象限0正最大10.2.10 图（a）、（b）分别表示和时的某一平面简谐波的波形图。试写出此平面简谐波波方程。(a)(b)解 答由图知由图(a)知,原点处质元t=0时,位移最
5、大,速度为零,因此原点处质元初相.比较t=0和t=2s的(a)(b)图知,因此取,将之值代入波方程的一般表示式就可以得到所求波方程的一个表达式:10.3.1 有一圆形横截面的铜丝，手张力1.0N，横截面积为1.0.求其中传播横波和纵波时的波速各多少？铜的密度为，铜的杨氏模量为.解 答可把很细的铜丝看作柔软的弦线(设弦线的密度为),计算在其中传播的横波的波速.10.3.2 已知某种温度下水中声速为，求水的体变模量.解 答已知10.4.1 在直径为14cm管中传播的平面简谐声波.平均能流密度，.（1）求最大能量密度和平均能量密度，（2）求相邻同相位波面间的总能量.解 答(1) 能量密度 最大能量密
6、度 能流密度 已知 平均能流密度 (2) 由于相邻同位相波面间的距离为.一周期内单位体积媒质具有的平均能量为,因此相邻同位相波面间的总能量为10.4.3 面向街道的窗口面积约，街道上的噪声在窗口的声强级为60dB，问有多少声功率传入室内（即单位时间内进入多少声能）？解 答声功率10.4.4 距一点声源10m的地方，声音的声强级为20dB.求（1）距声源5m处的声强级；（2）距声源多远，就听不到1000Hz的声音了？解 答(1) (2) 设距声源时,刚好听不到声音10.5.1 声音干涉仪用于显示声波的干涉,见图.薄膜S在电磁铁的作用下振动.D为声音检测器,SBD长度可变,SAD长度固定.声音干涉
7、仪内充满空气.当B处于某一位置时,在D处听到强度为100单位的最小声音,将B移动则声音加大,当B移动1.65时听到强度为900单位的最强音.(1)求声波的频率,(2)求到达D处二声波振幅之比.已知声速为342.4.解 答(1)由最小声音到相邻的最强音,经SAD,SBD管内穿到D处的二相干波,传播距离差应改变,此改变量是由B管的移动引起的,因此(2)10.5.2 两个声源发出横波,振动方向与纸面垂直,二波源具有相同的位相,波长.(1)至少求出三个数值使得在P点合振动最强,(2) 求出三个数值使得在P点合振动最弱.解 答此二横波振动方向相同,波长相同,在同一种媒质中传播,波速相同,因此其周期相同,
8、圆频率也相同,传到P点的此二横波的方程可写成:(1)在P点合振动最强时,二横波在该点引起的多振动位相相同,即由此得, . 已知 取 时得10.5.3 试证明两列频率相同,振动方向相同,传播方向相反而振幅大小不同的平面简谐波相叠加可形成一驻波与一行波的叠加.解 答设满足题目要求的二平面简谐波为:则:此结果的前一项表示一行波,后一项表示一驻波,可见满足题目要求的二平面简谐波叠加后形成了一驻波与一行波的叠加.10.5.4 入射波在固定端反射,坐标原点与固定端相距,写出反射波方程.无振幅损失.(SI)解 答反射波的振幅,频率,波速均与入射波相同,传播方向与入射波传播方向相反,初位相也不同,因入射波在坐
9、标原点的初位相为零.故反射波在原点的初位相为:其中为落后位相,为半波损失.入射波可见 由以上各条件可写出所求反射波在原点的振动方程:反射波的振动方程为:10.5.5 入射波方程为,在X=0处的自由端反射,求反射波的波方程.无振幅损失.解 答由入射波方程 知反射波振幅为A,周期为T,波长为,传播方向沿坐标轴O-X正方向.因在X=0处自由端反射,故反射波与入射波在原点处位相相同.因此反射波方程为:10.5.6 图示某一瞬时入射波的波形图, 在固定端反射.试画出此瞬时反射波的波形图.无振幅损失.解 答因为反射波与入射波传播方向相反,在固定端反射时,二者位相差为,所以可以按以下方法作出反射波波形图:以
10、界面处质元平衡位置为原点如图建立坐标系.设入射波波方程为先作出入射波波形图,以轴为对称轴的对称波形图,并画出该波形图在固定端左侧的部分.设此波是逆X轴正方向传播的,则其方程可写为因为固定端反射波在界面处有半波损失,所以反射波方程应为:其波形应比前述的入射波对称波形图向右移动半个波长.可见这两个波形图是以X轴为对称轴的对称图形.因此,再作出以X轴为对称轴的前述波形图的对称图形.即得所求反射波的波形图.10.5.7 若10.5.6题图中为自由端反射,画出反射波波形图.解 答因为入射波在自由端反射时,没有半波损失,即反射波和入射波在界面处位相相同,而传播方向相反,所以反射波波形图是入射波波形图以界面
11、为对称的对称图形,其图形如图所示10.5.8 一平面简谐波自左向右传播,在波射线上某质元A的振动曲线如图示.后来此波在前进方向上遇仪障碍物而反射,并与该入射平面简谐波叠加形成驻波,相邻波节波腹距离为,以质元A的平衡位置为轴原点,写出该入射波波方程.解 答振动的一般方程可写为 由题意知因此,质元A的振动方程为: 这就是所求波方程中原点处质心的振动方程.已知相邻波节,波腹间距离为由以上诸条件可写出以质元A的平衡位置为OY轴原点的入射波方程为:10.5.9 同一媒质中有两个平面简谐波波源作同频率,同方向,同振幅的振动.二波相对传播,波长.波射线上A,B两点相距.一波在A处为波峰时,另一波在B处位相为
12、.求AB连线上因干涉而静止的各点的位置.解 答由已知条件可知,此二平面简谐波为相干波,在二波源间的连线上形成驻波.以A为原点建立OX坐标轴,以甲波在点位相为零时刻为计时起点.在A,B间,甲波方程为:乙波方程为: 由题知,甲波在A处质点位移为正最大时,在处的B点位相为,因此当时,在处当AB间的点因干涉而静止时,甲乙二波在该点的位相差应满足:当 时,这就是AB间静止各点的位置坐标.10.5.10 一提琴弦长50,两端固定.不用手指按时,发出的声音是A调:440.若欲发出C调:528,手指应按在何处?解 答音调决定了基频,弦的基频为一定, 已知 因此 10.5.11 张紧的提琴弦能发出某一种音调,若
13、欲使它发生的频率比原来提高一倍,问弦内张力应增加多少倍?解 答因此,弦内张力应增加3倍.10.7.1 火车以速率驶过一个在车站上的观察者,火车发出的汽笛声频率为.求观察者听到的声音的变化.设声速是解 答近似认为静止的观察者和火车轨道在同一直线上,则当火车驶向观察者时,观察者听到的声音的频率为当火车驶离观察者时,观察者听到的声音的频率为:因此,火车驶过观察者时, 观察者听到的声音频率的变化为:10.7.2 两个观察者A和B携带频率均为1000的声源.如果A静止,而B以的速度向A运动,那么A和B听到的拍是多少?设声速是340.解 答对A来说,系观察者静止,声源运动,因此A听到的频率为:A听到的拍频为 对B来说,系观察者运动,声源静止,因此B听到的频率为:B听到的拍频为 10.7.3 一音叉以速率接近墙壁,观察者在音叉后面听到拍音频率,求音叉振动频率. 设声速是340.解 答若音叉后的观察者直接听到音叉的频率为,听到经玻璃反射的频率为,因波源(音叉)在运动,所以:拍频 因此 10.7.4在医学诊断上用多普勒效应测内脏器壁或血球的运动速度.设将频率为的超声脉冲垂直射向蠕动的胆囊壁,得到回声频率,求胆囊壁的运动速率.设胆内声速为.解 答设胆囊内声速为,胆运动速度为404