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1、第 1 页共 19 页 海淀区高三年级第二学期期中练习 数学(理)2015.4 一、选择题 (1) 设集合 A =x R |x 1，B=x R |x24，则 AU B 二() (A A) 一2, ( B B) (1, ：) (C C) (1,2 ( D D)(-心：) 【难度】1 1 【考点】集合的运算 【答案】A A 【解析】 2 B=x R |x 4=x R | -2 x1 / 输出 i / 结束 【难度】2 2 【考点】算法与程序框图 【答案】4 4 【解析】 程序执行过程如下： 开始，i =1，S = 0，不满足条件S 1，进入循环； i = 2，0 lg2 dg10 =1，不满足条件
2、S 1，进入循环； i =3, S =lg2 lg3 -lg6 lg10 =1，不满足条件 S 1，进入循环； i =4，S=lg6 lg4=lg24 lg10 =1，满足条件 S 1，跳出循环； 输出，i = 4，结束。 故答案为 4 4 （1111）已知m,4, n是等差数列，那么（J2）m （J2）n= = _ ； mn的最大值为 【难度】2 2 【考点】等差数列 【答案】1616，1616 【解析】 由题意得：m n =8， （72）m（）n=（适丁=（逅卜 24 =16 若要m n取得最大值，不妨设 m 0，n 0， 第 10 页共 19 页 m n 2 m n ( ) =16，当且
3、仅当m=n=4时，等号成立 故答案为 1616, 1616 (12) 在-ABC 中，若 a = 2, c = . 3,A ，则B 的大小为 _ . . 4 【难度】2 2 【考点】正弦定理 【答案】芒或 2 2 12 12 【解析】 由正弦定理得： C ，即一2 sin A sin C 兀 sin C sin 4 解得：sin C 3，因为a ： c，所以A C , 2 所以，C 或，所以， B二二-(A+C二一或 3 3 12 12 故答案为亠或5n 12 12 (13) 社区主任要为小红等 4 4 名志愿者和他们帮助的 2 2 位老人拍照，要求排成一排，小红必须与 2 2 位老人 都相邻
4、，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是 _ . .(用数字作答) 【难度】2 2 【考点】排列与排列的运用 【答案】2424 【解析】 先把两位老人和小红看成一个整体，与其他 4 4 名志愿者全排列，有 A2 A44种结果； 再去掉两位老人在两端的情况，有 2A； A种结果： 所以，总的结果数为：A A4 -2Af A?=24 故答案为 2424 3 x x a (14) 设f(x) 2 若存在实数 b，使得函数 g(x)二f(x)- b有两个零点，贝y a的取值范围 lx ,x Aa. 是 _ . . 第 11 页共 19 页 【难度】3 3第 12 页共 19 页 【考点】零点与方程
5、【答案】(皿,o)u(i,址) 【解析】 函数y = x2和y = X3的图像如图: 故答案为(- ,o)U(i,址) 三、解答题 2 n (1515)已知函数 f (x) =sin (x ). . 4函数g(x)=f(x)-b有两个零点，即方程 f(x)-b = 0有两个不等实根, 即方程f(x) =b有两个不等实根，即 y1 = f (x)与y2 =b有两交点。 当a 0或a 1时，符合题意，如图所示： 第 13 页共 19 页 (I)求f (x)的最小正周期及其图象的对称轴方程; n (n)求f( x)的单调递减区间 【难度】3 3 【考点】三角函数综合 【答案】见解析 【解析】 cos
6、2(x+ ) n 解: (I)因为 f (x) 4 1 2x . . 2 2 2 n 所以T n n. . 2 入 n k n n 令 2x = kn (k Z)，得：x (k Z). . 2 2 4 所以f (x)的最小正周期为 n,对称轴的方程为乂 =匕+卫你 Z). . 2 4 吧-x)+1 2 n_1 = - 3 si n(2 x ) 2 2 3 2 人 n 2 n n 令 2kn 2x 2kn (k Z), 2 3 2 n 7 n 得：kn x 乞kn (k Z). 12 12 n n 7 n 所以f( x)的单调递减区间为k n , kn (k Z). . 3 12 12 (16(
7、16)某超市从 20142014 年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取 1010, (1010, 2020, (20 20 , 3030, (3030, 4040, ( 4040, 5050分组，得到频率分布直方图如下: 兀 f(3_x) 100100 个，并按0 0, 第 14 页共 19 页 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立. (I)写出频率分布直方图(甲)中的 a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位：箱)的方差分别 2 2 2 2 为Si , s，试比较S与s的大小；(只需写出结论) (n)估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 2
8、020 箱且另一个不高于 2020 箱的概 率； (川)设X表示在未来 3 3 天内甲种酸奶的日销售量不高于 2020 箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为 概率，求X的数学期望. 【难度】3 3 【考点】概率综合 【答案】见解析 【解析】 解：(i) a =0.015 ； s2 s2. . (n)设事件 A :在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于 2020 箱； 事件B :在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于 2020 箱； 事件C :在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于 2020 箱且另一个不高于 2020 箱. . 则 P(A) =0.20 0.10=0.3,
9、P(B) -0.10 0.20=0.3. . 所以 P(C) =P(A)P(B) P(A)P(B) =0.42 . . (川)由题意可知， X的可能取值为 0 0, 1 1, 2 2, 3.3. 0.02 U O1I) ) 025 乙 第 15 页共 19 页 P(X =0) 0.30 0.73 =0.343, P(X =1) 0.31 0.72 =0.441 , P(X =2) 0.32 0.7 = 0.189, P(X=3)=C； 0.33 0.7 =0.027. . 所以X的分布列为 X 0 0 1 1 2 2 3 3 P 0.3430.343 0.4410.441 0.1890.189
10、 0.0270.027 所以 X 的数学期望 EX =0 0.343 1 0.441 2 0.189 3 0.027 =0.9. . 另解：由题意可知 X B(3,0.3). . 所以X的数学期望EX =3 0.3 =0.9 . . (17(17)如图 1 1,在直角梯形 ABCD 中，AD 二 BC , AD _ DC , BC =2AD =2DC，四边形 ABEF 是 正方形. .将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1 -平面ABCD , M为AF1 的中点，如图 2.2.第 16 页共 19 页 (I)求证：BE _ DC ； (n)求BM与平面CE1M
11、所成角的正弦值； (川)判断直线 DM与CE1的位置关系，并说明理由. 【考点】立体几何综合 【答案】见解析 【解析】 证明：(I)证明：因为 四边形ABER为正方形, 所以 BEj _ AB . . 因为平面ABCD _平面ABE1F1 , 平面 ABCD 平面 ABE1F = AB , BE平面 ABE1F), 所以BE,平面ABCD . . 因为DC二平面ABCD , 所以 BE“ DC . . (n)解：如图，以点 B为坐标原点，分别以 BC,BE,所在的直线为x,z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 B - xyz. .第 17 页共 19 页 Fl 设 AD =1，则 B(0, 0
12、,0), C(2, 0,0), E1 (0, 0, BM=(I,IC22), CE1 =(_2,O,、2), EM 设平面CEiM的一个法向量为n =（x, y, z）. 令 x -1，得 z =讦2, y =0，所以 n = （1,0,、迈）. 设BM与平面CE1M所成角为二, （川）解：直线 DM与直线CE1平行.理由如下: E1 由题意得, D(2,1,0), DM 珂一1,0,子）, =(-2,0 八 2) 所以 CE1 =2DM . 所以CE/DM 所以 由 n CE=0,得 jn E1M =0, 则 sin 8 = cos v BM , n 2j0 15 所以BM与平面CE1M所成
13、角的正弦值为 2.30 15 -2x + 72z = 0, 10 1 第 18 页共 19 页 因为DM , CEi不重合， 所以 DM /CE,. . 另解：直线DM与直线CE1平行. .理由如下: 取BC的中点P , CE1的中点Q，连接AP , PQ , QM 1 所以 PQ/BE1 且 PQ BE,. . 因为 M为AF1的中点，四边形 ABE1F1是正方形, 1 所以 AM/BE1 且 AM BE1. . 2 所以 PQ/AM 且 PQ =AM . . 所以APQM为平行四边形. . 所以 MQ /AP 且 MQ 二 AP . . 因为 四边形ABCD为梯形，BC =2AD， 所以
14、AD / /PC 且 AD 二 PC . . 所以四边形APCD为平行四边形. . 所以 CD /AP 且CD = AP . . 所以 CD /MQ 且 CD =MQ . . 所以CDMQ是平行四边形. . 所以 DM /CQ，即 DM /CE1. . 1 （1818）已知函数 f（x）=al nx -（a=0）. . x第 19 页共 19 页 (I)求函数f (x)的单调区间; (n)若x f (x)兰0=b,c(其中b cc),求a的取值范围，并说明 【难度】4 4 【考点】导数的综合运用 【答案】见解析 【解析】 a 1 ax 1 解：(I) f(x) 2 2 (x 0). . x x
15、 x (i) 当a 0时，f(x) ：0，则函数f (x)的单调递减区间是(0, v) 1 (ii) 当 a 0 时，令 f (x) =0，得 x . . a 当x变化时，f (X), , f(x)的变化情况如下表 x 1 (0,) a 1 a 1 (_,邑) a f(x) 0 + f(x) 极小值 / 1 1 所以f (x)的单调递减区间是(0,丄)，单调递增区间是(丄 a a (n)由(I)知： 当a 0时，函数f (x)在区间(0, ：)内是减函数， 所以，函数f (x)至多存在一个零点，不符合题意 1 1 当a 0时，因为 f (x)在(0,)内是减函数，在(一，：)内是增函数, a
16、a 1 1 所以 要使x f(x)乞0二b,c,必须 f (丄)：0，即 a In a ： 0 . . a a 所以a e. . 1 1 2 2 当 a e 时，f( 2)=al n() a - -2a l na a =a(a2l n a). . a a 2 x 2 令 g(x) =x -2ln x(x e)，则 g(x) =1 (x _ e). . x x 当x e时，g(x) 0，所以，g(x)在e,二)上是增函数. . 所以 当 a e 时，g(a)二a-2l na g(e)=e-2 0 . .b,c (0,1). . 第 20 页共 19 页 1 所以 f(-2) 0. . a 1 1
17、 1 因为 1 , f(厂：0, f (1)=1 0, a a a 1 1 所以f (x)在(一, 一)内存在一个零点， a a 1 不妨记为b，在(一,1)内存在一个零点，不妨记为 c. . a 1 1 因为f (x)在(0,)内是减函数，在(一，：)内是增函数, a a 所以x f (x) 0 , (20(20)有限数列 代：ai,a2,a,n 一3)同时满足下列两个条件: 对于任意的i,j ( 1兰icj兰n)，aaj ； 对于任意的i, j,k( 1兰i c j ck兰n)，aa，ajak，a,ak三个数中至少有一个数是数列 (i)若 n=4 ,且 q=1, a2=2 , a3=a ,
18、 a4=6，求 a 的值; (n)证明：2,3,5不可能是数列 A中的项; (川)求n的最大值. 【难度】5 【考点】数列综合应用 【答案】见解析 【解析】 解得-2 . m ： 2 . . 因为 所以 因为 . m 2 、，+y2 m y0 2 4 四边形ABCD为菱形, 所以 Q是AC的中点. . 所以 C点的纵坐标yC =2y0 -2 A， 因为 点C在椭圆M上, 所以 yC ；： ： -1. .这与 yC |ai|, |冏 |, 故aiai, aka均不是数列An中的项，即aak是数列 A中的项. . 同理：ajak也是数列A中的项. . 但魚 1 6 丨，|a)ak | |ak |. . 所以 qak =a)ak =q . . 第 23 页共 19 页 所以a = a，这与矛盾. . (ii) A中至多有三项，其绝对值大于 0 0 且小于 1.1.假设An中至少有四项，其绝对值大于 0 0 且小于 1 1,类似(i)得出矛盾 (iii) A中至多有两项绝对值等于 1.1. (iv) A中至多有一项等于 0.0. 综合(i), (ii), (i) , (V)可知 A中至多有 9 9 项. . 由(1 1), (2 2)可得，n的最大值为 9.9.