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1、A &智版张h!：分析习迟! ?$案完版笫一章1. 1 求证：巔x(f* 淤)=(磨_-(/_ IP并问：ux(vxw)与(uxv)xwli否相等？ II、V、W 为欠W: 证明：冈为 11=(，,，/:); V=(Ur，K); W=(W；,M/r,n：)； 左边=ATX (rx 解) = (，/r) x| (v,，u) X (wM9 wv W0 _ / J /= (WUX v:M; = (、，,，:)x (v H： - M；K),(wtv. - Vaw；),( VtWt - W.v,) =【，:(V, W:%V,)，/,(M；K -V,)-Z/r(V- WrV J= (4 W.i + . M
2、 +ZZrM0F (4 H + J WJ + /W)* (UxV)xWi ll tu抓上题结果验筇公式：g, = gji由 I.题结果：纛，*(-，+/+ it). r2 =y(/-/+*). ,=!(/+7-Jt) 2 当 r=ss=V 当，*Iig1 + 玄 1.他们满足坐标转变关系，宄将#用/龙衣示，我们吋以得到T讲=P-P-PA77 = p;p/pr（/，y，. = i，2,3）:都为零.等式左边在新坐标系下的张摄分撥都为岑 即rTyj.r全为岑n阶张量同理可证.当一张S在一个坐标系中所冇分世都为；时， 则他们在任何坐标系中亦必为零1.31己知：h为一矢S的协变分。(根裾P31贞所讲的
3、张量的对称与反对称知iR來证明这个题目。重点 5綱 =)求证：反对称二阶张最的协殳分量。ar d.r证明：d.xm又有kdr州综上可知:宗-尝*-反_二阶賴_变分最由 丁 ： :T = ! Vw w 所以L广工-纥(与-与 ( dxnar ar ar- avM即7;. .、= mh-L) = m 匕 p”、d，a!” m ” ww) 所以的iih为二阶张W的协变分w。、dr* dxm当m = ”时恒有= 0QVm dVn1.41质童为m、绕定点O以角速度m转动的质点(见阁)，其动贵矩矢敢 的定义其中，/力定点O至疝点的欠抒，p力质点的线迚度。 求证：/=/,式屮/为惯性妬张W:，Z=/(r*7
4、-/FLE明：Z = /zfx V=z/4Tx= 4oXr*r)-/tr*1.51己知向馱珥与二阶反对称张(rtfl.,矢璜叫与二阶反对称张吊02分別互为 反偶。反偶？1 求证：to2 = -d)2 =(e: Qj) (e Q?)2 _=ggJgk : Q广妖)(# grgsg,: Q2 v.i)=| W - 5；)Q/Q2j/ = 士 (Q-吻冰) 知h为反对称张W，故A 冰一一A第二章2.2己知：二阶张尕厂与TTh：h转;？ 求证：r与a具有相同的主不变景。证明：对丁 r:J； = T:人乃二叭T.T):T.TG= d二T.T.TG:r；T；tT 对TS：得证。is 已知：任二阶张.AtB
5、,iV T= 4B，S二 B、4 求证:t与s具有相同的主不变置，证明：J,* =汐=BA.B-.G=TjgS.77Z :汐gagb =乙广 =吵二 tr、B B. A-. G: m Tjg :，gagb = T， .汚棋有相同的主不变量。2.4 求证：(1) T n v w+ a v T w+ a v T w= 式左边= h8i v. wbgj+r/ g. Ty% wdga|+pg. v g, TjgJ=| /人 x+S 尸/ = i(2a；w v w】+25; v w+25；i v w)o=775； v w=7； v w=rl v w，命题m证。(2)式左边= ha/& bbg. cl+k
6、g,T:Cbg,+|7g，bj T；cbgJT T a J b b ce iae_-,T；+ VWs a 沪蜘 +=|T：X-5/3/)a b c】+(5X-5欠I，b c8-8 b c)_!(W5:-，】T lube山命题得证。2.5 N9a=iVa2 = j-a2a2 N(!、=巧 A .巧a 9*2 =1 e A .a2L式左端相等，ax =a2 N ax故Jt心端也相等，= 0注怠到人一人*0 啊=0所以巧，而,a3互相iE交11唯2.6(1)(2)(V) =AA =-200-20-又= _(A + 2)(Z-l)(A-4)(2)jV= 4 巧巧+ -2r33= O;(iV -=0;(
7、/ + 2 a)巧=0 2 2 112 2.212 =鵪+ ( + 嶋，我=农 + 嶋，嶋=衊+ /、+ 3 3333*33332.7己知:V= 10 + 4（今6 + 6今）+52今一2（今今+ ） + 3（今今+峽）一今今 104-2】=453-23-1求：（1）主分量（从人到小排列）（2）主方向对应的正交标准化基名（右于系）。10 又 45-又 3=03-1-又令4鵬:2-8求证对于任意二阶张量7有A(A) = det|A0,7.7-0 解：设1T为任一非；矢W，它与二阶张WT的点积T=v 也是一矢S(T r ) = T-r，所以T f为对称-：阶张(/r-r|.M= (*rT r-U=
8、(r(r-=卜f 之 o故由定义户7o。冋押I证prTo。竹尸为可逆二阶张hi:，f 为对称二阶张h!:。只打为岑W:的时(r*|=o由定义-iV-M=jV：mmo, rr.ro。同理可证r-rT o。2 17已知：正交张0。求证：6 = 亦为正交张证明：. 交张ft，则满足(fWYOa则=亦为正交张吊2 18己知:对f任意矢量u,v,均成立(Q-u) (Q-v) =uv求证：交张证明：:QruHs-QnyJU，-QOD-Q-crf = avJg, 叹，-Z)= Q戶卯，=卯 :uu/vw所以：QI 即Q为正交矩阵2-19证叫：(r)x(.w) = (.r)(w)：e=妒=故胃” e例=蜘，2
9、.20 已知：v,正刻的求ff: (汐 v)Xp*w) =(det,)(-1 )r.( vX w)证明:所it命题等价F(v)x(A 叫=(det 汐)()( v x w)得:、紳(崎疔声戸咏 = det(rx 罗/，) 即命题成，X.得证，其他类推221求证X=T，与Z=77 rZMK为lE交相似张鐄。 即存在正交张量Q.使X=Q Y证明：Q Y Q1 QTtTQTtQTt QTtQTt（QTt=77z注：正交张燉存在如下性质：1?1 = 故命题得证2 24已知：二阶张Rr=. L.今巧+巧巧求（1）进W加法分解 2）进行籴法分解0 N = 0300（2）乘法分解-1I2V3O-1 也T =
10、 QWH002&正张坩Y为0 10，Jt屮所设Y满足正张嫩所求Q张！满足=QT正交张W0032.25对r以K三种应力状态的应力张量S，将其分解为球形张量 和偏斜张量S。求 K与Jf,以及偏斜张M4TJ V角。(1) 单向拉伸:s=s209 s2=s3=0(2) 单向压缩;s=s2=O, s3=-so09s2=09s3 = -t解：s000山题总佾应力张.s=000000所以 += 5。J =detr = 0 又冈为N=P+D3 0 当 z1 j所以偏斜张D=0-000 -r所以 yfCOS3v/27Jfw(2) fh题总得hV力张W5000003 0s= 000，球形张01r0000听以1 I
11、 30，偏斜张於=001一 S 30002-s3去（厂=0Jl = det 7 = 0（3）由题意得应力张S:s= 0 0 0，球形张Mo0 ，偏斜_）所以/=7；+乃+右=0Z=|（7；-）=f=detZ=O2 26lgj证明:.由已知条件0为一正交张量得: f = Qr又:亍：qtqt得， f 二 Q * T *两边乘以f得，TQQT.oQ即 TQQT.又已知Z的特征值为又，7的特征值为A,2.27 MaJ = AarM -= M/M:J5/ = A5/A5Z=又因为A2 = N，所以有MV = N;N=所以,St和M2 =N有相M的特征向墩，所以，其主方向相同。228己知：阶张W:.泛为
12、仃:盘正交张ft.对卜切泛.均 求证：W为球肜张iS证叫：二阶张在 刈正交*小准的并欠展汗式为+? + X3r,/, + 為戶我 + 為2久(+ 由J泛为任意正交张量，収正交张+H1(-4， (f = A叫=4:l“J埋，収lE交张+e2ST证:夾=4故：A= An + e:e2 +气气)足球形张ff:.Tr (T)=rj jTr (T2)=rSrJ!Tr(，3)二 rSrrSWt不变眾与半标的变换无关，闶此4以将上试与炻阡屮的乂秦分别对l、V Tr (J)-N1 + N2 + N3Tr (T)=/Vt2 + N: + N32 - 2珥2 - 2ca2 - 2吟2 Tr (T)=P83 页2.
13、 23偏斜张/）与它对应的对称二阶张S.v具有相同的主方向& 且其主分量满足1今y M 2, 3）第三章3.1己知：v为矢S。求：/=/足否为*的各叫冋性函数，井说 明理由。答：是的。3.2已知:T为二阶张量。求:下列函数是否为T的各向同性标量 函数，并说明理由。（1）在兄一特定的笛卡尔坐标系中（2） /=Tr:T?r： （l）是。/=r：TT的小变瓜。（2）是。人；X;3.4己知：二阶张fiT。求：下列张量函数是否为T的各向同性标量 函数，并说明理由。（1）H = T（2）H = T.A.T答：（1）是。|f f = （Q.T.Qf = Q*r.Q = |T j（2）不是。T-A-T = Q
14、.T-（Q.AQ）-T-Q,般 Q.A*Q*A3. 4己知：二阶张量To求：下列张量函数足否为r的各向同性函数，丼说明理由。解：（1）是。（T、r = （Q.T Qr、r = Q TT QT = /、 （2）不足。T AT = QT（Qt A Q） T Qr, 般，Qr A Q A3. 5己知:二阶张量r的张量函数B“.T （X为二阶常张量）。 求:X满足什么条件时，H是T的各向同性函数。解:当A是球形张量时，H = ATT的各向同性函数。H = AT SiT的各向同性函数即“A.T =（Q.A.Qt、.T，所以Q AQT =A 设二阶张在在一组正交标准化基e.，么，c3中的并矢展开式为4 =
15、+ 20|02 +313 + AC2ei +-422e2e2 + 32C3C2 + 333C3先证乂足对称张S。若収iH交张+ w + w（为关于人？ 平面的镜面反射,则Q QT = 4ieiCl - 12eie2-43e!C3-2!C2Cl +2 + 為声 A _ 屿1C3C1 +2 + 馮#3久 由于Q A QT =A故 口了证得，2 = 0，-13 = -13 = 0，j421 = -A21 = 0，j31 = 0M现?i: ii.Q = ej -e,e2 +e3e3J证得-3 = 32 = 0故+z22C2e2 + 3333 足对称张I。再证X是球形张贵。即证4!=3若取9 = e:e
16、! -ep3 +。3 (即绕x5转动90)Q Qr =no1el+nC1e1+JJoJeI由于Q.A QW故可证得，4 = 4Id理，若设0 = e.e, + e3e2 - e2e3，吋证得4: =故4 =+ e?e2 +e3e3) = auG 足球形张m。3. 15 设T=7；g =rggFT的|交相似张!Rt=戸t息K 中 a=Q.ft = Q-由于/(T)足冷向同性标量函数，/(T)= /(T| 故 /(T)=-ii? = -i o-g )1 o-g)=一Q.R g,*Q* = Q-H-Q* = H bTu因此，H =，(T)是各向同性张量函数。3.16 设 V = m1 = vli：其
17、中 r, = q-r，r=Q-rw为是的冷向M性矢量函数，故: ，(i=(，()没 H = X = R du,学 g=Q.s dv2dvt=Q*!g;Q* = QHQ* = H3.18求dd|广)的导数(T为二阶张显)。 wr(厂1r3.19求 (，为二阶张量1的转咒张3)。drgjgJ gs3.20求 (尸为-阶张H T的转贤张足r 人mg,+)M：3.21求det(AC7-7)对；I及对r的一 阶、二阶导数(T为二阶张量)。det(又 7- 7) = 32-22+rdet(A7- 7) = 6A-18det(At7- r) =(-A2+ A5,r- )为尺:1十场函数求证：V(/|=(p(
18、Vi)+(V(p|证明：V(/W)= giy(= )+(V(p)Varax ax4.6己知：均为欠W场函数。求证：()!+(蓍ta证明：(* 胃)=匕去|V*W)= giW + gi = (Vl)W + gi*V=(VvW+(gW)eV 4.7 Ll知：为欠W:场函数.a为任怠适破。求iiH: (cv/)xa=卜-证明：()-a(iV)= tVa-Vta= V- Vtea4.8己知：u,i为矢W:场函数。-RuE： Viavl = ix(Vx d)+vx(Vxu )+u (Vv)+v(Vu J证明： X (V X v) + D X (V X u)+ u |Vv|+助)49己知：u、汐足矢吊场函
19、数。 求证：7x（/xz= vu）+-z?）- uVv）证明H叫去（叫=gX芸芸：=v Vv- v*V “、+ “. V v-u Vv） 得证4A1 己知:某矢S场函数/，curia =O，divX/=O 求证:a是调和函数*即7 V/ = 0 .（捉水：r先证 Vx（7x/）=7（r-/）-v.（ri）本题屮+对馆标Z求和vx（vxu）-v（v -r.（7）w为关r指杯/，w为利称，关r指h:八w为反对称.故则 7x（7xm） = 7（V- Ar）-7-（7jrlItt据此式，当7xa=0,7xf0,时,则V Vu） = O分为调和函数4.12己知：标W场函数冷.矢W场闲数FFk戶不求和）求
20、：正交曲线少紅戏屮 grand0. div/1, curlF& V20 = V-V0 = divgrand （ 求技 联开的表达式）。解：r;= 一产，r = -zsiir0,r=r =-,r= -sincos，curt/*-U2：33)了戶去戶) +(负必|)丁各(7)- r(77Z31)+(編初阪叫-去(w)4.13 e知：叫柱屮私屮欠K场函数/M衣达为，（.蟑.（是方 问的单位欠5:h h:W:场函数砍。求：Christoffel 符 ；与广对平杯的导&;grand0. divf curlF及 V。v=X+L+edr_ r dr 厂 d0 dr4.14（2知：Witt平屮矢吊场函数（ .
21、r；=r = -.r；=r = ctg. u余为零4.15己知:二维空问中(n.s飾系如图4 19其屮s是沿某-物体衣而的曲线边界弧长(选 择物体表曲确定点为起始点).n为沿物体表Iftl外法线的长度(从物体衣曲起W),则物体 外部域内每-点的屮知均ufMJn. s描述(n0)o物体衣Ifli点处的曲丰半抒及从刈s的 阶猙数均为己知.求：用R (s)及数.坐标im表示卜列各烦(xl=z/,rJ = x)：(1) Lame 衫数 A, B.(2) 用(n,s)坐标中位切向矢置衣示基矢量么，(3) 用欠砍的物押鼠分K/ = /衣示W张分/，/若f为标黾场.为矢吊场，求V/；V /z,Vx/z,V2
22、/的表达式. (V-/=V V/).解(1) A = l, B = l + I+ n（灸为471 J-flftl的伞位欠R）4.16己知：y为n用俎杯.为抛物柱坐标.他们之醐足关系.r1 = af.i2 - jt）杜屮a=常数0求：对于/坐标系（只研究上半平面）（1）求堪矢.度黾张。（2）用矢量的物理分置来表示矢置的张量分里*（3）求 Chi-istoffel ）。（4）f为标R场，=/名为欠S场，求VAV /,VxzAV2/的农达式 r-2TO）2X2 （x1+j2）rL=W7PjJt氽力；r, = WTTjv/= a（A）lv2+ 7Z?（+）7l+|；?420 求证（力完幣系的必盟荼件（
23、对r单11通域也足允分条件）j P；t=PZif: （1）必也竹:：即la知发 力完粮系，求证/3=0u离，。兄心衫换又系（足W完整系屮从xw:）: （=p丁纛、,5r,zl（2）允分性：W已知t=L,求证存在曲线平标系?n,&ed.J在单连通域，a为仝微分.换肖之，使av1故：ru1=p；,)=yy从而421 IX利川完桡系与lh完锒系的转换关系山完樓系屮任意iK交曲线坐标的f衡力峙出M柱肀标系(/;r)屮用物理分鼠衣示的T衡方程(W力的物理分鼠记为凡，p的，m：叫拄坐你系p，夕，4屮以物现分的r衡/W:争+fe+il p- )+p/、=。drd: r么+务= 0dr r&9 d= r 么杰
24、杰+pZ = 0 dr rd6 d: r422冋上题，试异出球平W系(r,(p)屮用物理分的甲衡an (Ijj的物理分IS 记为Ar, 解：球坐标系屮以物埋分的f衡方私+7+7+7坟乂cot=0+PZr = 0必昏士脊+士 W啊=423试导出任意正交曲线世标系中用物理分品衣的f衡方稅。没4 = 4n 為=4i2= 73?任怠正交曲线坐标系屮以物理分hi:衣示的f衡力裎：+ _ = 0(為/11)+ -(3y/12)+ -(42/(13)+jrX31)+ 為 r21)- Az i-A22)_ 為-|rX33)+ p/2= 0+ p/3)= 0各(為/22)+ -(.42/23)+ 咤奈冲2)+
25、A S32- Az 备711rGMsX31)* T-2-(3-4iZ7(32)+為X33)+dvataiA2i)+A2 祭X13-本) A 鉄戶424试4出小位移怡况卜圆性坐W系屮用物理分51农示的极变勹位移的儿何关系。（以 H，“，:憾位移的物押分吊，e，.，.a以雙的物现分W。解：dr口，sdr)425是峙出小位移情况卜球坐标屮用物理分鼠表#的应变与位移的儿何又系，（以心為川零农水位移的物理分！i!:， .,.长梢.变的物理分W:）。小位移怡况卜求糾小系屮用物柙分W衣示的儿河尺系: du=- dr1 dum ii/a+WtgQ/ sin 0 d(prr1 du91(1 dnr + dri9
26、/2 / sin 0 d(p dr第五*S.1取岡忭而上的Gauss平标为（6（P）.见fflsis求：a岫，b砘、主曲. T R1 R2均曲牟，Gauss曲率 W 由M得 p = /+ Asin （p + cos（pi = (1A0)- P2IO,Acos(p，Asin(p乂讽为 aafpaP0 所以IP1XP2=(O,siii p.cos/)lbaAPa4| = 0，2=么=0，么2=-2所以忑=時)t立(1) (2) AW1 1 1 17=TT = 05 J Cftl：旋转曲血I:的Gauss * W为(0, -) , W.IM5.19,曲iftl上点的矢柃 p = /(r)cos8,
27、+ /X-)sin 0/+求：a岫，b鸪、主曲牟-，丄，甲均曲率，Gauss曲R1 R2 率.解：a = /l-)F= ai =。，汶22 = t=-南，“2=0=Zi =- _-.- = 0,/f =- b- 04A=) A|/u)|53i 14題屮的斜呦锥ifii上.己求得（0,二）华标系屮RCz ,siu 0 H-02 + 及2 + 612 + lCcosO)求：a站、Lu.姗女六.7-均曲宰-.曲半.aH=P P =R17 W/ A = -sin0a22 = p2 p2 = -*r(/ n+ (P)xp2)(-b0) =r!a. (a x p2. /?)+ r?ft-(pl xp2/z
28、)= (-xP=) +(xPi) +(P：xPi)=(r1a+ri)(pIxp2z?)= r所以得证5.6求证:奶位矢購的求蛐公式5.2 15a,b)式，并进步求证正交系中的弟位矢量求导公 式(5217)式。证：进-少求证lE交系屮的单位欠求V公A =Rde、=令0sin f2 + ?cos42Ho-=A=o與1时2UQ UQ0=牙孑1JSO3UISUIS- 7C J SOOUIS - =-撕 sen +/(h ms gms + xhsod ms = z/o V V .J T=w=zvn0 vns( uis?/+y)?/ = lc(b-=(bQuis+y0 = cc T(0ins?/+y I-
29、卯 0 ois?/+y 0 = =CI00&iik& +y) 一 (q uis?/ +yp uis ?/ +y0=-u 0 = JM. = hj。=芸与VQ t*rP Tr rP I0 ms9/+y = |cd| =穴 J=p 卜 p。心作)香省= zrd = 扣小涂叫*(必 0 门 肺HI似IWHISW芥 8.S 5.9 X4 r岡环曲验证Codazzi方稈与Gauss方柷。解Codazzi 方H r么=V/j 么(a. p，y =1J)对fM环曲面任一点的矢抒为p = (j + /J sin )cos(J 2z + ( + /q sin )sin / + /q cos1? P! = n-=
30、 cos1 cos2/4- * cos1 sinsin f /P2 = -2 = _U + 4 sin f )sin 5 + (+-6 sin )cos j n- sin cos2z + siii sin J2y+ cosJ*所以Qh Qh0-r; = -r-r;(a,p,z = u)成立Qauss方程RX氏- Vi ( P, 7, A=u)对于阏环曲而所以成立5.10 已知：转张iAc=caBpap 求：Va，Vc 解=l+r7+ra5因为 Qr *戶=r+ri+r=-rtai,-rWia所以 Vi fl = v4 =0:七ic-plpap、npfi Ap1 pan= A%J/pa”-)第A*6.9求Almansi应变张量e对时间t的率证明:的因为e=Z；变形后（A/时刻）的逆变埔，是随时间/变化所以e=S = A(Wl=,+g（1）乂冇f = _容代入式得