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1、弟三吹 Aft法解线忭方W组第三章直接法解线性方程组3-11. 写出列主元消去算法。For k =1 to n-1 dol)消元:脈K(2)判别：卜*I100171081010901001-13. 用全主元髙斯一约当消去法求下列矩阵的逆矩阵弟三次 Aft法解浅忭方W组010001010-89S79194. 请用列全主元高斯一约当消去法求下列矩阵的逆矩阵第三什 Aft法解线忭方W组113731307301300-11307317013170004I3013100112T0t3700一 31731230001331 17r123000_1-1830_ 13010 13-1.830 1301I0_4
2、717027L7010一 4716702717170V01127170173001127170371251000 00253_74019105-2 71一7170100 0013 78197250152701100里6T_A25253-25001013一 T1225_19251254250001857 _ 25 _A25里500001751511001654252300001000101358 511225_ 7 -253 _ 8515 1 51 1792512548500第三作 垚技法解浅件方W组80856585408525185 -illSSHg50185308525185585o o19
3、1853185 -1 O O OIB6.如果在解方程组过程中，希铝顺便求出系数矩阵A的行列式偵det(A),用什么方法比较方便？黹注意一些 什么问题？如果用髙斯一约当列主元消去法，如何求出det(A)?dct( A) = fl4V卨斯消元法解方程时;主元素高斯消元法解方程时，注意换行列会改变行列式的符号；用高斯一约当列主元消去法解方程时 把列主元记录下来，把换行的次数m记录下来，det(/l) = (-1)- n 心) fc-17.设Ax=b是线性方程组Xj - x2 + 2x3 = -21) 用列元高斯约当消去法，求解此方程组。2) 求系数矩阵的行列式。3) 求系数矩阵的逆矩阵。弟三吹垚技法
4、解线性方W组5 | 31 I 31 o2I21-31-35-31601013100220012 313531353132-4-1001*1315I i1-35-21-327一 6 5 I 2 11) X= -1-22) det(A) = |A| = (-l)(-3)(-l)()(-l) = 195-23) A-1 =53-12 -1 18.设么为指标;的初等下三角阵Lfc =求证:句L:抝当/k时，Lk = IijLkllj也是一个抬标为啲初等下三角阵，其中IU 为排列阵： 弟三作 点技法解浅忭方W组证明：设q =(0,此1，0，”0严 mk = (0”，0焉似，讲“2”.為，k、T L k
5、= I +有(1)勺=0(/*/)(2) fnj = 0(iJ)a) (I + nw【)(I-mW =I + mke - mkel + mkemhe = I (注:彳 =0)D)LfLy =(I4- mxf )(1 + mjj ) =I+ mjej + ,niei mjej=I + Me +(注：Wj = 0)mi2Jmn弟三坎法解线忭方W组,1.1mkl9k A重_攀0.1TiJ =_春10mn,k鬱 .1证一: *=11 =Homk+，kmlMmi,k1只Smuk-mj?k挽了个位证二：L = I歹L Kly=(工 -+ 勺彳)(1 + )d -+=-W +彳)(1-W-*， +e-e +
6、 efi + mkel)=I - e(e-勺+ mkek 一 +- eij - eief mkek ejej +J - eji ejejmkek + eiej - eiei + eiej mkel + efi + mke=1 + mA + (- ,fc + (mi，k - mJ，k Xy=I + 9iihenk =mk + (mjtk 一+ -wtyjcX/(注:其中 mk = k ,k)弟三作点技法解浅忭方界组证三：设ctr = (0 .0，1,0.0，1，00)= (I + ap7 )(1 +mAf)(I + apr) =(I + ap7 mke【)(1 + aff)=(I + 做/【+
7、ctf + ap7 mke + mk (e a)pr) + apr + aff/Mfc(a)pr (.，fa=0)=1 + mke + 2ap + a(pa)p + mke (prct=-2= I + affmk4=1 +9.试证明单位下三角阵的逆矩阵仍然是一个单位下三角阵。 证：策三作 A技法解浅忭方W组用归纳法证明1) /= 1,7 = 1 /=2J=1 / = 1J=2 /=2J=2f+i当7/+1q+! j = Tjaibkj =a/+ij+i+i,/ = 0 bMj = 0*-l证捋下三角阵的逆阵仍是下三角阵。当A为单位下三角阵时,，B也是单位下三角阵。弟三吹Aft法解浅It方W组习
8、题3-21.试推导矩阵A的crout解的计算公式即A = LU，其中L为下三角阵U为单位上三角阵。vZl4.l = af4=今,1VA-,lWl,2 = ai,2 - A-,2 = ,4 -2(/ = 1,2,，n)(7 = 2,，n)，/2,lMlJ + /2,2l#2J=fl2J若L的前r-l?lJU的前r-啲行已求得 由 心,l“l，r + hU2jr + + A-lwr-l + 心,，=ai r1=-z心八，(/w)*-12.用改进平方根法介方程组121 2|2“2 1+21211 + 0, jTAr = (A_lx)TA(A_lx) = xt(A_i)TAA_ix = xt(A-i)
9、tx=xtA-ix0由A-1正定，A1可进行cholesky分解，存在唯一其有正对角元的下三角阵L，使A1 =LLTA = (A_,厂1 = (LLT)_, = (LT )_1 L_l = (IT1 )TL_1 L 1也是具有正对角元的下三角阵，记 L-*=Ut，A=(DW=UUt，U为具有正对角元的上三角阵，此分解也唯一。弟三吹垚技法解浅忭方W组7. 设A对称正定又设经过离斯消去法十A约化为1)人2是对称正定矩阵；2）（/ = 2,3，,作）;3)A的绝对值最大元素必在对角线上4忠W ；5) 从(1)，(2)，(4)推出如果则|0 A 正定，Vx*G,xrAr 0现取V= J1 其中弟三次
10、Aft法解线忭方W组7 3;1=xx (ax j Xj +xr) + x1Jir x+ xrAjX01,1 1 + xT rx )= -xrrx + xrr = 0 .xrAx = x1r x +证二：YA对称正定A的顺序主子式全大于0 设A#A的/阶顺序主子式62A2的顺序主子式.l ai2 aU 0 咱 = al,lSi-l 0I o/. 6,-1 0 (/=2n)于是42的顺序主子式也全大于0, A2正定第三作法解浅件方权组3）反证:若A的绝对值黾大元素不在对角线上hoJlniax* （yo*b）不妨alW, 0 （小于0也可类似证明）o/由A 正定，取v = 0”“，0,1，0,”0，- l，0”.”0r 关 00010x Ax = 0，”0,1，0，0，一 L0，.，0】A h蠹參0=aH /由对称性/.2%，/。0（由反证法假设）弟三作 点技法解浅忭方W组4）证:由A正定，均为正数（/ = 2 a0）（/=2n）S3)2ij上式司推广为 max aj.2?| max 同5)若aJ 1 (i，J = 1,2,.,/t)max由 4）二崎|1，但若不选主元对称正定的很大.