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1、人教版九年级上册,垂 直 于 弦 的 直 径 2,1.垂径定理的内容是什么?画出适合题意的图形,用符号语言表示出来.,垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.,符号语言,图形语言,温故而知新,CD是直径，AB是弦，CDAB,直径过圆心垂直于弦,平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧,垂径定理,将题设与结论调换过来，还成立吗？,这五条进行排列组合，会出现多少个命题？, 直径过圆心 平分弦, 垂直于弦 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理的推论1,（1）如何证明？,探究：,已知：如图，CD是O的直径，AB为弦，且CD平分AB.,证
2、明：连接OA，OB，则OA=OB, AE=BE, CDAB,一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立,O,A,B,M,N,C,D,注意,为什么强调这里的弦不是直径？,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。,课堂讨论,根据已知条件进行推导：过圆心垂直于弦 平分弦 平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。,（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。,（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。,只要具备上述五个条件中任两个,就可以
3、推出其余三个.,(4)若 ，CD是直径,则 、 、 .,(1)若CDAB, CD是直径, 则 、 、 .,(2)若AM=MB, CD是直径, 则 、 、 .,(3)若CDAB, AM=MB, 则 、 、 .,1.如图所示:,练习,AM=BM,CDAB,CD是直径,CDAB,AM=BM,2.判断：,( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧.,( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧.,( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.,( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行.,( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.,已知A、B、
4、C是O上三点，且AB=AC，圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘米，求AB长。,D,D,已知O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。,E,E,D,D,练习,4、如图，点A、B是O上两点，AB=8,点P是O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OEAP于E,OFBP于F,EF= 。,4,船能过拱桥吗?,例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,船能过拱桥吗,解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径
5、为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.由题设得,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R3.9（m）.,在RtONH中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥.,1.已知P为O内一点，且OP2cm，如果O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于.,2.过O内一点M的最长弦长为4厘米，最短弦长为2厘米，则OM的长是多少？,O,M,A,某圆直径是10,内有两条平行弦,长度分别为6和8求这两条平行弦间的距离.,这节课你有什么收获？,还有哪些疑问？,1.过o内一点M的最长的弦长为10,最短弦长为8,那么o的半径是,2.已知o的弦AB=6,直径CD=10,且ABCD,那么C到AB的距离等于,3.已知O的弦AB=4,圆心O到AB的中点C的距离为1,那么O的半径为,4.如图,在O中弦ABAC,OMAB,ONAC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB= ,AC= ,OA=,B,A,M,C,O,N,5,1或9,6,4,Cm,5、如图，O中CD是弦，AB是直径，AECD于E，BFCD于F，求证：CEDF。,