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1、数学同步练习题考试题试卷教案八年级数学轴对称性质的应用1中考网 (1)加深学生对轴对称性质的理解，使他们学会利用这些性质去解决有关问题 (2)通过对范例的分析、讲解，培养和训练学生解决问题的正确思想方法，达到启迪智慧，提高能力的目的 难点是实际问题的应用，关键是理解实际问题应用的理论依据，建立相应的数学模型 轴对称图形的概念的内容是什么？ ：把一个图形沿着一某一条直线折过来，如果它能够与另一个图形重合，我们就着说这两个图形是轴对称。 轴对称图形具有什么性质？ 轴对称图形具有两条性质： (1)图形上对应点的连线被轴垂直平分； (2)在轴对称下，对应线段或对应直线若相交，其交点必在对称轴上 上节
2、课，我们作一个图形的轴对称图形，正是依据了这一逆定理 今天，我们要应用上述性质来解决一个实际问题 如图1，在铁路a的同侧有两个工厂A、B，要在路边建一个货场C，使A、B两厂到货场C的距离的和最小问点C的位置如何选择？ 同学们若仔细考虑一下，不难发现，例1实质上是一个求最短路线的实际问题，如果用数学语言叙述就是：已知直线a的同侧有A、B两点，现欲在a上作出一点C，使ACCB为最小 （请知道的同学举手，统计人数，以后分析一步都要求举次手，以便做比较） (让学生准备白纸一张，在教师的启发下作出点C) 对同学们来说，这是一个陌生的问题，可能会感到无从下手现在，我们不妨这样来思考： (教师取出在透明纸上
3、事先画好的图2放在幻灯机上) 若A、B是直线a两侧的已知点，现要在a上作出一点C，使ACCB为最小，怎么办呢？请同学们在白纸上作出点C 中考网 中考网 这个问题容易解决，连结AB，设其交直线a于点C，则点C即为所求 对，很好。若将纸片的下半部分沿直线a向上旋转一个角度，此时A、B两点不在同一个平面上了，如图3所示试在直线a上求一点C，使ACCB为最小譬如大家可设想有一小虫，在纸面上要从A点爬到B点，问它沿怎样路线爬才最近？ 将纸片的下半面绕直线a旋转回图2的情况(即将原纸片展平)，在展平后的纸面上连结AB，设其交a于点C，则点C即为所求 将特殊情况推广到一般情况，也是数学中常用的思考问题的
4、方法，让学生从初中起就受到这一训练，对提高他们的能力是大有好处的 若将图3中直线a下方的半个纸面继续沿直线a旋转，直至与上半面叠合(教师边讲边演示)，这时A、B即处于直线a的同侧了(图4) 大家很容易看出图4实际上是图3的另一种特殊情况显然，其解可用一般方法来求得即：将含有点A的半个面，沿直线a旋转，使其变为图2的情形，再求解用数学语言可描述如下：作点A关于直线a的对称点A，连结AB，设其交直线a于点C，则C点即为所求的点 请同学们作出点C并具体地写出作法 (学生作图略) 由轴对称的性质1可以知道，对称轴是对应点连线的垂直平分线，即相互对称的点到轴上任一点的距离相等因而，当考虑某一点和轴上的点
5、之间的距离时，这个点可以用它的对称点来“代换”如本例，当用点A来考虑问题感到困难时，便可用点A的轴对称点A来“代换”由于“代换”后，点A和点A到轴上任一点的距离都相等，故AC=AC，因而原问题中对ACCB最小的要求，可变换成对ACCB最小的要求由于A和B此时已处于a的两侧，因而变换后的新问题成了一个显而易见的问题，这就最终达到了我们解决原问题的目的 下面，大家利用轴对称的这条性质来证明我们作出的点C确是符合要求的 (学生证明略)如图2是三个正方形拼成的一个矩形 求证：?1?2?390? 中考网 中考网 显然只需证?1?245?，如何将?1与?2放在一起是本题的关键，我们以AF为对称轴，作三
6、个正方形的对称图形ABCDEF，如图2，连结AD、DE，易见?2?EED因此只需证?DEA45?，事实上，由Rt?ABD?Rt?DEE可知 ADDE，且?ADB?EDE90?，从而有?ADE90?，即?ADE是等腰直角三角形，因此?DEA45?成立 在证明几何题目中，常常选择某直线为对称轴，把不是轴对称的图形，通过对称变换补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过对称变换反射到另一侧，以实现条件相对集中，用这种思想能添出许多条有用的辅助线来，从而将不易入手的问题变得易于解决 这节课，我们重点讲解了轴对称性质的应用轴对称的两条性质是利用轴对称解决问题的基础，应深刻理解和掌握将一个图形变为它的对称图形
7、，我们称为“对称变换”，利用这种“变换”，我们常常可以将原问题变得更加简单和直4、在教师的具体指导和组织下，能够实事求事地批评自己、评价他人。观关于这方面的知识，我们在今后的学习中还会碰到 12.与圆有关的辅助线讨论题：如图，若在本节所讲的例1中，将作法改为： (3) 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)(1)作点B关于直线a的对称点B； (2)连结AB交a于点D (3)若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.（切点圆心要相连）试问这样作出的点D和原作法中的点C是否重合？为什么？ (这道题是为了让学生学习如何应用轴对称的性质2去解决有关
8、的几何问题，以免学生忽视对性质2的应用) 两条公路交叉成角(90?)，在两条道路中间的P点有一个油库，如果要在两条公路上各设置一个加油站，设置在何处，可使运油车从油库出发，经（2）圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短 3.余弦：中考网 中考网 0 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；把这一个实际问题转化为数学问题即为： cos已知：?ABC和角内一点P，?ABC，90? (二)教学难点求作：点Q，R分别在射线BA，BC上，并且PQQRRP最小 A 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”P B C 中考网