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1、数学建模试题卷及答案2011-2012第一学期 数学建模选修课试题卷 班级:软件1003班 姓名: 学号: 成绩: 一、解释下列词语并举例说明(每小题满分5分共15分) 1(模型 答:模型:所研究的系统、过程、事物或概念的一种表达形式也可指根据实验、图样放大或缩小而制作的样品一般用于展览或实验或铸造机器零件等用的模子。例如飞机模型用压制或浇灌方法使材料成为一定形状的工具。通称“模型”。 2(数学模型 答:数学模型:用数学语言描述的一类模型。数学模型可以是一个或一组代数方程、微分方程、差分方程、积分方程或统计学方程也可以是它们的某种适当的组合通过这些方程定量地或定性地描述系统各变量之间的相互关系
2、或因果关系。除了用方程描述的数学模型外还有用其他数学工具如代数、几何、拓扑、数理逻辑等描述的模型。需要指出的是数学模型描述的是系统的行为和特征而不是系统的实际结构。 3(抽象模型 答:抽象模型:是三维建模里这么称呼的 就跟抽象雕塑的一样的。实际不存在理论上却存在并用思维对事物进行客观认识的理论或者框架。对获得的感性材料和感性经验运用理性思维进行一番老粗取梢、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造制作工夫去掉事物非本质的、表面的、偶然的东西抽取出事物本质的、内在的、必然的东西揭示客观对象的本质和规律而建立的模型。 二、简答题,每小题满分8分共24分, 1(模型的分类 答:按照模型替代原型的方式模型可
3、以简单分为形象模型和抽象模型两类 形象模型:直观模型、物理模型、分子结构模型等, 抽象模型:思维模型、符号模型数学模型等。 2(数学建模的基本步骤 答:,1,建模准备:数学建模是一项创新活动它所面临的课题是人们在生产和科研中为了使认识和实践进一步发展必须解决的问题。建模准备就是要了解问题的实际背景明确建模的目的掌握对象的各种信息弄清实际对象的特征情况明才能方法对, ,2,建模假设:根据实际对象的的特征和建模的目的在掌握必要资料的基础上对原型进行抽象、简化把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来简化掉那些非本质的因素使之摆脱原型的具体复杂形态形成对建模有用的信息资源和前提条件并且用精确的
4、语言作出假设是建模过程关键的一步。有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则, ,3,建模建立:在建模假设的基础上进一步分析建模假设的各条款选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征构造出根据已知条件和数据分析模型的特征和模型的结构特点设计或选择求解模型的数学刻画实际问题的数学模型, ,4,模型求解:构造数学模型之后再根据已知条件和数据分析模型的特征第 2 页 共 6 页 和结构特点设计或选择求解模型的数学方法和算法这其中包括解方程、画图形、证明定理、逻辑运算以及稳定性讨论特别是编写计算机程序或运用预算法相适应的软件包并借助计算机完成对模型的求解, ,5,模型分析:根据建模的目的要求
5、对模型求解的数字结果或进行变量之间的依赖关系分析或进行稳定性分析或进行系统参数的灵敏度分析或进行误差分析等。通过分析如果不符合要求就修改或增减建模假设条件重新建模直到符合要求,通过分析如果符合要求还可以对模型进行评价、预测、优化等, ,6,模型检验:模型分析符合要求之后还必须回到客观实际中对模型进行检验用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性看它是否符合客观实际若不符合就修改或增减假设条件重新建模循环往复不断完善直到获得满意结果。目前计算机技术已为我们进行模型分析、模型检验提供了先进的手段充分利用这一手段可以节约大量的时间、人力和物力, ,7,模型应用:模型应用是数学建模的宗旨也是对模型的最
6、客观、最公正的检验。因此一个成功的数学模型必须根据建模的目的将其用于分析、研究和解决实际问题充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用。 3(数学模型的作用 答:数学建模的教学及竞赛是实施素质教育的有效途径它既增强了学生的数学应用意识又提高了大学生运用数学知识和计算机技术分析和解决实际问题的能力。开展数学建模教学与竞赛对大学生能力的培养是全面的。这表现在创新精神和创新能力的培养查阅文献资料、分析综合、抽象概括能力的培养应用能力的培养运用数学工具和计算机以及实践能力的培养等方面。 数学建模有利于培养学生创新精神和创造能力。数学建模的问题具有一定的开放性没有一定的规矩可循没有事先设定的标准答案或答案
7、不是唯一的具有较大的灵活性。因此需要突破传统的思维模式面对复杂问题发挥学生的创新精神和创造力、想象力、洞察力以及解决问题的逻辑推理和量化分析能力善于从实际问题提供的原形中抓住其数学本质建立新颖的数学模型。 数学建模有利于培养学生双向翻译能力。它要求学生运用学过的数学知识把实际问题翻译成数学模型又将数学模型的结果用浅显易懂的语言翻译出来。 数学建模有利于培养学生获取文献资料信息的能力。在信息社会中信息和知识以前所未有的速度传播和扩散这就要求学生具有良好的获取文献资料信息的能力以便适应现代社会技术创新和知识更新的需要。数学建模问题有强烈实际背景涉及到不同的学科领域问题错综复杂。这就促使学生围绕实际
8、问题广泛查阅资料获取自己有用的材料这大大锻炼和提高了学生自觉使用资料的能力。 数学建模有利于培养学生利用计算机及相应软件的能力。数学建模需要对复杂的实际问题和繁琐的数据进行处理。目前计算机和相应的各种软件包不仅能够节省时间得到直观形象的结果有利于深入讨论而且能够促使学生养成自觉应用最新科技成果的良好习惯。许多很好的计算软件为求解模型或仿真模型提供了便利的平台。数学建模对提高学生使用计算机的能力是极其重要的。 数学建模有利于锻炼学生的毅力、意志。它能增强学生克服困难的信心、第 3 页 共 6 页 决心和勇气同时培养学生团结合作精神和交流、表达的能力提高组织协调能力培养其人文素质丰富学生的知识结构
9、。 三、解答题,满分20分, G 题 (7n+6, 7n) 公司A、B、C是某地区三家主要灭虫机厂商. 根据以往资料得知公司A、B、C产品的市场占有率分别为50%、30%、20%. 由于C公司实行了改善销售与服务方针的经营管理策略使其产品销售额逐期稳定上升而A公司却下降. 通过市场调查发现三公司间的顾客流动情况如下表所示.三公司间的顾客流动情况 周期1的供应公司 公司 周期0的顾客数 A B C A 5000 3500 500 1000 B 3000 300 2400 300 C 2000 100 100 1800 周期2的顾客数 10000 3900 3000 3100 其中产品销售周期是季
10、度现在的问题是按目前的趋势发展下去A公司的产品销售各或客户转移的影响严重到什么程度,更全面的三公司的产品市场占有率将如何变化? 解:设A、B、C在第k个周期拥有的顾客数分别为abc于是 kkkaa0.70.10.2,k,1k, bb,0.10.80.1,kk,1,0.050.050.9cckk,1,令 =, ,=(a b c)=(a b c)于是 ,kkkk,1k,1k,1312,0.7，0.1，0.05,1231,0.1，0.8，0.05,1232 ,0.2，0.1，0.9,1233,，,1123,解之得 ,0.1765,0.2353,0.5882.123故A,B公司市场占有率逐期下降C公司
11、市场占有率逐期上升。A,B,C公司市场占有率最终分别达到17.65%、25.53%、58.52%. 四、综合题,41分, L 除雪机模型(6n+5, 6n+2, 6n+1) 有条10km长的公路由一台除雪机负责除雪。每当路面的平均厚度达到0.5m第 4 页 共 6 页 时除雪机开始工作. 但是雪仍在下着路面雪的厚度在不断的增加除雪机的前进速度会不断降低其速度随雪的厚度呈现性变化在无雪的路面上除雪机的行驶速度为13m/s,。当雪的厚度达到1.5m时除雪机将无法工作。雪下了1h,雪最大时路面积雪厚度以0.1cm/s速度增加前0.5h雪越下越大后0.5h越下越少。问除雪机能否将整条路面的积雪清除,
12、1. 论文题目:除雪机模型 2. 论文摘要:路上积满了雪就会影响交通需要用除雪机来清扫。对该问题的分析有首先考虑下雪的速度下雪的快慢影响着雪的厚度当雪达到一定的厚度时除雪机将无法正常工作雪的厚度也影响除雪的进度。除雪的进度和雪的厚度是变量通过找出除雪进度和雪积累厚度的一些关系进行更进一步的分析。考虑下雪的速度是否可变如果是可变的进行合理的假设因为有10Km我们也可以考虑地域行的影响。 3. 关键词:下雪的速度除雪机的速度雪的厚度。 4. 论文正文: 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在090间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度
13、的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。问题提出:有条10km长的公路由一台除雪机负责除雪。每当路面的平均厚度达到0.5m时除雪机开始工作. 但是雪仍在下着路面雪的厚度在不断的增加除雪机的前进速度会不断降低其速度随雪的厚度呈现性变化在无雪的路面上除雪机的行驶速度为13m/s,。当雪的厚度达到1.5m时除雪机将无法工作。雪下了1h,雪最大时路面积雪厚度以0.1cm/s速度增加前0.5h雪越下越大后0.5h越下越少。问除雪机能否将整条路面的积雪清除, 问题分析:对该问题的分析有首先是考虑下雪的速度下雪的快慢影响着雪的厚度。不管怎样除雪机的功率是有限的当雪达到一定的厚度时除雪
14、机将无法正常的工作雪的厚度也影响着除雪的进度。由此可知除雪的进度是受多方面因素的影响的除雪的进度和雪的厚度时变量。通过找出除雪进度和雪积累厚度的一些关系进行更进一步的分析。考虑下雪的速度是否可变如果是可变的进行合理的假设。在分析问题时我们可以将其理想化通过建立的模型和理想化的模型进行比较在除雪时不考虑雪的融化不考虑其他车辆对除雪进度的影响。对该题进行多方面的建立模型对其结果进行比较得出比较合理的结论。 模型假设: 1. 在除雪机开始扫雪时雪的厚度刚好达到0.5米厚, 186.257.1期末总复习及考试第 5 页 共 6 页 2. 下雪的速度是可变的但下雪下的最大时地面上雪的厚度增加量为每秒0.
15、1厘米 3. 当雪的厚度达到1.5米时除雪机将无法工作 在没有雪的路面上除雪机的行驶速度为每秒13米。 1、熟练计算20以内的退位减法。模型设计:下雪速度不是常量它在前30分钟稳步增加到最大值0.1厘米/秒145.286.3加与减（三）2 P81-83然后在后30分钟逐渐减少到0 模型解法和结果: 由已知条件雪的厚度的变化率为 经过同一直线上的三点不能作圆.-3,10t ,0,1800,t,1800,t3,10(2,),1800,t,3600.,1800,h(t)= 23.53.11加与减（一）4 P4-12,72,2.77778，10t,0,t,1800,7,2.77778，10(t,614
16、1.58)(t,1054.42),1800,t,3600.,h(t)= 于是除雪机能够清理路面的长度 6、增加动手操作的机会，使学生获得正确的图形表象，正确计算一些几何形体的周长、面积和体积。2556.07722556.077131,h(t)dt,5017.93(米)，vdt,1341.64,31341.64S= 所以除雪机不能将整个路面积雪清除。 优缺点: 假设是给解题带来了一些绝对化的因素使结论与现实中存在着一定的差距。在建立模型时可以考虑一些对结论影响较大的因素。模型的建立最好是在经过大量的实验基础上但是一般不太现实。通过模型可以大体上计算出来扫雪机是否能清扫完路面上的雪大致上可以解决问题。 参考文献: 数学建模及典型案例分析 李志林 化学工业出版社 推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。数学建模案例分析 白其峥 海洋出版社 2、100以内的进位加法和退位减法。数学建模习题解答 沈继红 哈尔滨工程大学出版社 设O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；dr 直线L和O相交.第 6 页 共 6 页