1、数学基础知识数学基础知识理论力学之理论力学之理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 2许杰理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 3微积分微积分矢量矢量正交曲线坐标系正交曲线坐标系线性代数线性代数理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 4微微 积积 分分理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 5基本初等函数求导基本初等函数求导函数的基础求导方法函数的基础求导方法函数的最值函数的最值曲率与曲率半径曲率与曲率半径级数级数微分微分常系数微分方程常系数微分方程积分积分微微 积积 分分理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰
2、6基本初等函数求导基本初等函数求导函数函数说明：说明：极限的定义极限的定义的极限的极限（i），但不等于，但不等于越来越靠近越来越靠近（ii）的极限存在的极限存在极限唯一极限唯一左极限右极限左极限右极限反之成立反之成立 左、右极限存在且相等左、右极限存在且相等极限唯一极限唯一（iii）不一定等于不一定等于连续（无断点）时，连续（无断点）时，理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 7函数函数的极限的极限Given any，there exist()Such thatwhenever理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 8连续函数连续函数函数函数在在连续连续在在没有
3、断点没有断点Given any，there exist()Such thatwhenever断点断点JumpInfiniteremovable理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 9，则导数定义为：，则导数定义为：注注:若若的导数符号记为：的导数符号记为：导数信息完整，但不够简洁导数信息完整，但不够简洁导数的定义导数的定义简洁但求导信息不完整，复合函数求导易错简洁但求导信息不完整，复合函数求导易错理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 10若若f(x)在在 a,b 连续，在连续，在(a,b)可导，则称可导，则称f(x)在在 a,b 曲线曲线平滑平滑函数函数在在
4、可导：可导：（i）（ii）（iii）在在无间断点无间断点在在无转角无转角在在无急转弯无急转弯（iv）在在无剧烈振荡无剧烈振荡不存在不存在函数可导函数可导当当时，必须有时，必须有所以有：所以有：理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 11导数导数导数的几何意义导数的几何意义描述函数变化快慢描述函数变化快慢在几何上表示：在几何上表示：N点无限靠近点无限靠近M点时，割线变切线点时，割线变切线横轴到切线的到角的正切（斜率）横轴到切线的到角的正切（斜率）理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 12有限次四则运算的求导法则有限次四则运算的求导法则:(C为常数为常数 )理论力
5、学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 13常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数:理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 14函数的基础求导方法函数的基础求导方法函数的基础求导方法：函数的基础求导方法：需牢记和深刻理解基本初等函数的求导公式需牢记和深刻理解基本初等函数的求导公式链式法则链式法则替代法替代法盒子法盒子法理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 15盒子法（盒子法（）所谓所谓“盒子盒子”，就是指，就是指“表达式表达式”的的“封装封装”，具有，具有“整体性整体性”盒子相同盒子相同（替代法替代法）：）：表达式一样表达式一样由基本初等函
6、数构成由基本初等函数构成由基本初等函数构成由基本初等函数构成盒子盒子函数函数如：如：理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 16基本初等函数的求导公式用盒子法记忆基本初等函数的求导公式用盒子法记忆例如例如记成记成再如再如记成记成其它如法炮制其它如法炮制理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 17盒子不同盒子不同（链式法则链式法则）：）：表达式不一样表达式不一样链式链式链式链式链式法则实质是乘以链式法则实质是乘以“1”复合函数求导复合函数求导 理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 18在求导计算中在求导计算中“1”具有十分重要的地位具有十分重要的
7、地位导出链式法则导出链式法则理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 19例如对例如对x求导：求导：(替代替代)例如对例如对x求导：求导：(链式链式)(替代替代)(链式链式)理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 20微分微分dy的几何意义的几何意义:切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量微分和导数的运算基本相同微分和导数的运算基本相同微分定义：微分定义：若若(A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数),则则微微 分分差量差量y的几何意义的几何意义:割线纵坐标的增量割线纵坐标的增量differentialsInitial errorExact errorApproxim
8、ate error时，时，理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 21线性逼近式线性逼近式例：例：求求令令，则，则，因因取取，所以所以同理求同理求时，时，令令时，时，令令用用的值替代的值替代的值的值要求要求理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 22微元微元非均匀非均匀均匀均匀的实质：的实质：例如：例如：非均匀电磁场时，取微元化成均匀场非均匀电磁场时，取微元化成均匀场受力曲线运动做功，取微元，化受力曲线运动做功，取微元，化“曲曲”为为“直直”运动学的角度看，就是运动学的角度看，就是“挪挪”了一个位置了一个位置理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰
9、 23曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率弧线段弧线段曲线上曲线上P点的点的曲率曲率的的平均曲率平均曲率曲率与曲率半径曲率与曲率半径若若，则，则曲率半径曲率半径曲率半径的几何意义：曲率半径的几何意义：化化“曲曲”为为“圆圆”理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 24曲率曲率的向量定义法：的向量定义法：若曲线若曲线，位矢，位矢曲率可写为：曲率可写为：弧线切向量弧线切向量理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 25证：证：理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 26Frenet-ser
10、ret公式公式满足一阶微分方程满足一阶微分方程是弧长是弧长是曲率是曲率(curvature)是扭率是扭率(torsion)是弧的切向是弧的切向是弧的主法向是弧的主法向是弧的副法向是弧的副法向理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 27利用利用Frenet-serret公式，公式，曲率和扭率曲率和扭率(弧长为参数弧长为参数)：曲线曲线C：曲率曲率扭率扭率理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 28级级 数数一元泰勒一元泰勒(Taylor)级数：级数：若若在在存在幂级数，存在幂级数，且且，当当时，一元泰勒级数称为时，一元泰勒级数称为Maclaurin级数级数，且，且
11、则则理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 29不是一定等于泰勒展开式不是一定等于泰勒展开式例例因因同理同理的泰勒展开式为的泰勒展开式为0于是于是所以所以理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 30函数展开时，常常借用几个中学学过的精确展开式函数展开时，常常借用几个中学学过的精确展开式理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 31应用举例应用举例直接型：直接型：间接型间接型微分（可多次）微分（可多次）积分（可多次）积分（可多次）时时又又理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 32级数间增长的快慢程度：级数间增长的快慢程度：Sterl
12、ing 公式公式理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 33二元泰勒二元泰勒(Taylor)级数：级数：若若在点在点的某一邻域内连续且有直到的某一邻域内连续且有直到阶的连续偏导数阶的连续偏导数,为此邻域内任一点为此邻域内任一点,则有则有理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 34Laulrent 级数：级数：若复数若复数是函数是函数的的孤立奇点孤立奇点，以，以为圆心，为圆心，在，在闭合曲线闭合曲线，那么，那么间的区域是解析的，满足：间的区域是解析的，满足：距离距离R为半径作圆为半径作圆且且任意小半径作圆任意小半径作圆，以，以跟最近的奇点跟最近的奇点之间的之间的和
13、和之间任作一之间任作一理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 35周期为周期为 2 2 的三角函数形式的三角函数形式傅里叶级数傅里叶级数(fourier)：式中式中周期延拓（周期延拓（-，）傅里叶展开傅里叶展开f(x)是周期为是周期为 2 2 的周期函数的周期函数理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 36式中式中周期为周期为 2 2l 的三角函数形式的三角函数形式傅里叶级数傅里叶级数(fourier)：f(x)是周期为是周期为 2 2l 的周期函数的周期函数周期延拓（周期延拓（-l，l）傅里叶展开傅里叶展开理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰
14、 37式中式中周期为周期为 2 2l 的复数形式的复数形式傅里叶级数傅里叶级数(fourier)：f(x)是周期为是周期为 2 2l 的周期函数的周期函数周期延拓（周期延拓（-l，l）傅里叶展开傅里叶展开理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 38函数的最值函数的最值(Absolut extreme)函数的单调性函数的单调性若在区间若在区间，恒有，恒有，则则单调递增单调递增若在区间若在区间，恒有，恒有，则则单调递减单调递减，则则单调递增，单调递增，则则单调递减，单调递减，凹向上凹向上凸向上凸向上f(x)弧线在切线上方弧线在切线上方f(x)弧线在切线下方弧线在切线下方理论力学理论
15、力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 39若恒有若恒有则则呈凹形呈凹形OROR若恒有若恒有则则呈凸形呈凸形OROR若二阶导数为若二阶导数为 0,0,两侧二阶导数不变号，凹凸性不两侧二阶导数不变号，凹凸性不变变 若某点二阶导数为若某点二阶导数为 0 0或不存在或不存在 ,两侧二阶导数异号，此点为拐点两侧二阶导数异号，此点为拐点理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 40函数的极值函数的极值(local extremum)为函数为函数f(x)的的关键点关键点(critical point)若若或或不存在，不存在，函数函数f(x)的极值点一定是的极值点一定是关键点关键点但函数但
16、函数f(x)的的关键点关键点却不一定是极值点却不一定是极值点如：如：但但非极值非极值不存在，不存在，非极值非极值则称则称理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 41多元函数的条件极值（多元函数的条件极值（Lagrange Multipliers）无条件极值只有函数本身定义域限制无条件极值只有函数本身定义域限制有条件极值函数本身定义域限制有条件极值函数本身定义域限制+条件限制条件限制若函数若函数的限制条件为：的限制条件为：想法：想法：把函数把函数看成变化的等高曲线簇看成变化的等高曲线簇而限制条件而限制条件则为固定的等高曲线则为固定的等高曲线极值必定取在两曲线相切的地方极值必定取在
17、两曲线相切的地方函数垂直于其等高曲线的梯度函数垂直于其等高曲线的梯度理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 42同样想法可得函数同样想法可得函数在限制条件在限制条件的极值的极值几何上就是几何上就是位于位于所在的平面所在的平面也可利用线性空间基底线性无关的概念：也可利用线性空间基底线性无关的概念：函数函数有两个限制条件有两个限制条件函数取极值时函数取极值时从而有：从而有：这实际上也给出了有条件极值可化为无条件极值求解这实际上也给出了有条件极值可化为无条件极值求解此方法称为此方法称为Lagrange Multipliers可推广：可推广：在限制条件在限制条件理论力学理论力学 数学基
18、础知识数学基础知识 许许 杰杰 43函数的最值函数的最值一维函数一维函数函数在闭区间连续，函数才有最值函数在闭区间连续，函数才有最值无最大值无最大值无最小值无最小值最值求法：最值求法：（i）（ii）找出关键点找出关键点比较函数在关键点和闭区间端点的函数值比较函数在关键点和闭区间端点的函数值的最值的最值或或不存在不存在查看关键点的二阶导数查看关键点的二阶导数极小值极小值极大值极大值（iii）理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 44若若，且，且方向导数方向导数理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 45设设则则又又所以所以于是于是理论力学理论力学 数学基础知识数
19、学基础知识 许许 杰杰 46二元函数的最值二元函数的最值(i)找出关键点找出关键点或或不存在不存在(ii)查看关键点的二阶导数查看关键点的二阶导数若若函数在闭合定义域连续，二元函数才有最值函数在闭合定义域连续，二元函数才有最值理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 47若若，另觅方法判断，另觅方法判断若若，则有：，则有：(1)(2)正定（正定（），），(3)为鞍点为鞍点为极小值为极小值，为极大值为极大值，X轴方向上凹向上轴方向上凹向上所有方向上凹向上所有方向上凹向上比较函数在关键点和定义域的边界点的函数值比较函数在关键点和定义域的边界点的函数值（iii）理论力学理论力学 数学基
20、础知识数学基础知识 许许 杰杰 48所以所以时，时，理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 49积积 分分n等分，等分，Riemannn sum若若表示小长方形的表示小长方形的面积面积和和，则，则对于连续函数对于连续函数理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 50对于连续函数对于连续函数如果如果，那么，那么全微分的应用全微分的应用理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 51积分中值定理积分中值定理离散型求和离散型求和连续型求和连续型求和定积分：定积分：定积分代数意义：定积分代数意义：求和求和与与平均平均定积分几何意义：定积分几何意义：曲线与积分区
21、间变量轴所围成的曲线与积分区间变量轴所围成的面积面积(有正负有正负)右手螺旋右手螺旋理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 52定积分的性质：定积分的性质：若在若在，有，有，则，则，则，则，则，则若若若若，则为偶函数，且，则为偶函数，且，则为奇函数，且，则为奇函数，且线性算符线性算符理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 53计算计算n维物体的维物体的“体积体积”2Dn维物体的体积维物体的体积n-1维截面的体积维截面的体积剩下的剩下的1维方向维方向n-1维维1维维例：右图的面积为：例：右图的面积为：理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 543D
22、例：求球的体积例：求球的体积常取常取为：为：旋转体旋转体水平截环状水平截环状竖直截柱状竖直截柱状理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 55积分是导数的逆运算，盒子法很方便积分是导数的逆运算，盒子法很方便（C为任意常数）为任意常数）不定积分不定积分曲线簇不定积分的性质：不定积分的性质：且有且有理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 56常数和初等函数的不定积分常数和初等函数的不定积分:(k 为常数为常数)理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 57续续理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 58续续理论力学理论力学 数学基础知识数
23、学基础知识 许许 杰杰 59第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法盒子法盒子法分部积分法：分部积分法：OROR理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 60第一类换元法第一类换元法(所谓的所谓的配元法配元法或或凑微分法凑微分法）若有若有初等函数积分：初等函数积分：求求则则，自然会想到，自然会想到，自然会想到，自然会想到理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 61常用配元形式常用配元形式:理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 62第二类换元法第二类换元法(所谓的所谓的参数法参数法)若有若有初等函数积分：初等函数积分：若若难求，而化成另一种
24、形式难求，而化成另一种形式时，易求时，易求求求则则，自然会想到，自然会想到，自然会想到，自然会想到理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 63常系数微分方程常系数微分方程解的图象解的图象:微分方程的积分曲微分方程的积分曲线线.通解的图象通解的图象:积分曲线积分曲线族族.初始条件初始条件:用来确定任意常数的条用来确定任意常数的条件件.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.一阶微分方程一阶微分方程 确定任意常数的条件：已知一点确定任意常数的条件：已知一点二阶微分方程二阶微分方程 确定任意常数的条件：确定任意常数的条件：解微分方程解微分方
25、程实质实质是是降阶降阶理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 64分类分类3:3:线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程.分类分类4:4:单个微分方程与微分方程单个微分方程与微分方程组组.分类分类1:1:常微分方程常微分方程,偏常微分方偏常微分方程程.分类分类2:2:一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n n)微分方程微分方程理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 65一阶微分方程有时也写成如下对称形式一阶微分方程有时也写成如下对称形式（x与与y对称）对称）可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程能化为能化为积分后得积分后得求显式解只需解方程求显式解只需解方程或
26、或称为隐式称为隐式(通通)解解表示成表示成理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 66若若，则称这方程为，则称这方程为齐次方程齐次方程分离变量分离变量 两端积分两端积分 还原变量还原变量 令令，即，即，则，则求出积分后，求出积分后，代替代替u齐次方程齐次方程再用再用理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 67标准形式标准形式:，上方程称为，上方程称为齐次的齐次的，上方程称为，上方程称为非齐次的非齐次的一阶线性微分方程一阶线性微分方程当当当当1.1.线性齐次方程线性齐次方程分离变量法分离变量法齐次方程的通解为齐次方程的通解为理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知
27、识 许许 杰杰 682.2.线性非齐次方程线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比设设为为，则，则即即理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 69常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换作变换作变换用新未知函数用新未知函数可推出原未知函数可推出原未知函数理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 70积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次
28、方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解将将y和和y代入原方程得代入原方程得即即 非齐通解非齐通解 =齐通解齐通解 +非非齐特解齐特解理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 71伯努利方程伯努利方程伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形方程的标准形式式解法解法:需经过变量代换化为线性微分方需经过变量代换化为线性微分方程程当当n0n0，1 1 时，方程为非线性微分方程时，方程为非线性微分方程当当n=0=0，1 1 时，方程为线性微分方程时，方程为线性微分方程理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 72代入上式可得代入上式可得求出通解后，将求出通解后，将
29、令令，则，则两端除以两端除以，得，得代入可得代入可得理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 73 利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法常用的思想方法如如 齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程 、Bernoulli Bernoulli 方程等都是通过变量代换来求解方方程等都是通过变量代换来求解方程的程的将将变换为变换为 也常可以考虑的也常可以考虑的齐次方程齐次方程线性非齐次方程线性非齐
30、次方程伯努利方程伯努利方程可令可令可令可令可令可令理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 74步骤步骤:从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程解此高阶微分方程解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知函数求出满足该方程的未知函数.把已求得的函数带入原方程组把已求得的函数带入原方程组,一般说来，不必经一般说来，不必经过积分就可求出其余的未知函数过积分就可求出其余的未知函数常系数线性微分方程组的解法常系数线性微分方程组的解法理论力学理论力学 数学基础知识
31、数学基础知识 许许 杰杰 751 1、积分积分n次次 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程，2 2、特点：特点：右端不含右端不含 仅是仅是 x 的函数的函数 特点：特点：型的微分方程型的微分方程不显含未知函数不显含未知函数y及及令令则则那么原微分方程化为关于那么原微分方程化为关于p的的n-k阶方程阶方程于是可解得于是可解得p，将将连续积分连续积分k次可得通解。次可得通解。型的微分方程型的微分方程理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 76特点：特点：3 3、型的微分方程型的微分方程右端不显含自变量右端不显含自变量x及及设设则则代入原方程得到新函数代入原方程得到新函数的的n-
32、1-1阶微分方程阶微分方程可求其解为可求其解为分离变量便可求出其通解分离变量便可求出其通解理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 77若一方程既属于不含若一方程既属于不含 x 型又属于不含型又属于不含 y 型型一般而言若两边可消去一般而言若两边可消去 p作为不含作为不含 x 型（类型型（类型3 3）解较简）解较简单单若两边不可消去若两边不可消去p 作为不含作为不含 y 型（类型型（类型2 2）解较简单）解较简单4 4、型的微分方程型的微分方程特点：特点：方程一端恰好可化为某一函数方程一端恰好可化为某一函数降阶求解降阶求解把方程一端化为某一函数时，具有很强的技巧，需积累把方程一端
33、化为某一函数时，具有很强的技巧，需积累理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 785 5、型的微分方程型的微分方程特点：特点：k阶齐次函数阶齐次函数令令则则，代入原方程并消去代入原方程并消去可得到关于可得到关于的的n-1阶方程阶方程于是化为类型于是化为类型2理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 79例：例：解：解：，代入原方程，代入原方程,得得原方程通解为原方程通解为求方程求方程 的通解的通解求得通解为求得通解为例：例：求方程求方程 的通解的通解解：解：设设，代入原方程，得，代入原方程，得求得通解为求得通解为原方程通解为原方程通解为设设理论力学理论力学 数学基
34、础知识数学基础知识 许许 杰杰 80高阶线性微分方程高阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式为二阶线性微分方程的一般形式为若方程右端若方程右端 f(x)0时时 方程称为齐次方程称为齐次 否则称为非齐次否则称为非齐次线性微分方程的解的结构线性微分方程的解的结构高阶线性微分方程高阶线性微分方程定理定理1(1(齐次方程的解的叠加原理齐次方程的解的叠加原理)如果函数如果函数y1(x)与与y2(x)是方程是方程y P(x)y Q(x)y 0的两个解的两个解 那那么么y C1y1(x)C2y2(x)也也是是方方程程的的解解 其其中中C1、C2是是任任意意常数常数 理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知
35、识 许许 杰杰 81对对于于两两个个函函数数 如如果果它它们们的的比比恒恒为为常常数数 那那么么它它们们就就线线性性相相关关 否则就线性无关否则就线性无关 判别两个函数线性相关性的方法判别两个函数线性相关性的方法 函数的线性相关与线性无关函数的线性相关与线性无关 设设y1(x)y2(x)yn(x)为为定定义义在在区区间间I上上的的n个个函函数数 如如果存果存在在n个不全为零的常数个不全为零的常数k1 k2 kn 使得当使得当x I 时有恒等式时有恒等式 k1 y1(x)k2 y2(x)kn yn(x)0 那么称这那么称这n个函数在区间个函数在区间I上线性相关上线性相关 否则称为线性无关否则称为
36、线性无关 理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 82如果如果y1(x)y2(x)yn(x)是方程是方程y(n)a1(x)y(n 1)an 1(x)y an(x)y 0 的的n个个线线性性无无关关的解的解 那么那么 此方程的通解为此方程的通解为 y C1y1(x)C2y2(x)Cnyn(x)其中其中C1 C2 Cn为任意常数为任意常数 推论推论如如果果函函数数y1(x)与与y2(x)是是方方程程y+P(x)y+Q(x)y=0的的两两个个线线性性无无关关的的解解 那那么么y=C1y1(x)+C2y2(x)是是方方程程的的通通解解 其其中中C1、C2是是任任意常数意常数 定理定理2
37、 2(齐次方程的通解的结构齐次方程的通解的结构)理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 83定理定理3 3(非齐次方程的通解的结构非齐次方程的通解的结构)设设y*(x)是方程是方程y P(x)y Q(x)y f(x)的一个特解的一个特解 Y(x)是是方方程程y P(x)y Q(x)y 0的的通通解解 那那么么y Y(x)y*(x)是是方方程程yP(x)y Q(x)y f(x)的通解的通解 定理定理4(非齐次方程的解的叠加原理非齐次方程的解的叠加原理)设设y1*(x)与与y2*(x)分分别别是是方方程程y P(x)y Q(x)y f1(x)与与 y P(x)y Q(x)y f2(
38、x)的特解的特解 那么那么y1*(x)y2*(x)是方程是方程 y P(x)y Q(x)y f1(x)f2(x)的特解的特解 理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 84二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程方程方程y py qy 0称为二阶常系数齐次线性微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中其中p、q均为常数均为常数 把此特解代入二阶常系数微分方程把此特解代入二阶常系数微分方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根特点特点:未知函数与其各阶导数的线性组合等于未知函数与其各阶导数的线性组合等于0 0即函数和其各阶导数只相差常数因子即函数和其各阶导数只相差
39、常数因子猜想猜想有特解有特解因因理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 85有两个不相等的实根有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根有一对共轭复根 r1,2 i 方程方程y y pypy qyqy 0 0的通解的通解方程方程r2 pr q 0的根的情况的根的情况有两个相等的实根有两个相等的实根 r1 r2 特征方程的根与通解的关系特征方程的根与通解的关系理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 86n阶常系数齐次线性微分方程阶常系数齐次线性微分方程 方程方程 y(n)p1y(n 1)p2 y(n 2)pn 1y pny 0称为称为n 阶阶常常系数齐次线性微
40、分方程系数齐次线性微分方程 其中其中 p1 p2 pn 1 pn都是常数都是常数 引入微分算子引入微分算子D及微分算子的及微分算子的n次多项式次多项式 L(D)Dn p1Dn 1 p2 Dn 2 pn 1D pn则则n阶常系数齐次线性微分方程可记作阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dn p1Dn 1 p2 Dn 2 pn 1D pn)y 0 或或 L(D)y 0注注 D0y y，Dy y ，D2y y ，D3y y ，Dny y(n)理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 87同样令同样令y erx 则则 L(D)y L(D)e rx (rn p1rn 1 p2 rn 2 pn
41、1r pn)erx L(r)erx 故有故有特征方程特征方程因因L(r)=(rn p1rn 1 p2 rn 2 pn 1r pn)erx=0单实根单实根rn n阶微分方程的通解阶微分方程的通解方程方程L(r)0的根的情况的根的情况一对单复根一对单复根r1 2 i n n阶微分方程特征方程的根与通解的关系阶微分方程特征方程的根与通解的关系e x(C1cos x C2sin x)k重实根重实根r erx(C1 C2x Ckxk 1)一一对对k重复根重复根r1 2 i e x(C1 C2x Ck xk 1)cos x (D1 D2x Dkxk 1)sin x理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识
42、 许许 杰杰 88n次代数方程有次代数方程有n个根个根,而特征方程的每一个根都对而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项应着通解中的一项,且每一项各含一个任意常数且每一项各含一个任意常数.实重根实重根复单根复单根复重根复重根实单根实单根几种情况几种情况每个根对应通解中的一项每个根对应通解中的一项其写法与二阶方程的情形完全类似其写法与二阶方程的情形完全类似具体分为具体分为小结小结:常系数齐次微分方程求通解的一般步骤常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1 1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程（2 2）求出特征根）求出特征根（3 3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通得
43、到相应的通解解 理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 89二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程常见类型常见类型难点：难点：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系数法待定系数法.自由项自由项f(x)为如下四种形式为如下四种形式:二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程,通解为：通解为：齐次方程的通解齐次方程的通解 +非齐次方程的特解非齐次方程的特解(同幂系数比较法同幂系数比较法)欧拉公式：欧拉公式：理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 90自由项自由项f(x)的四种形式可归结为一种形式的四种形式可归结为一
44、种形式当当=0=0，=0=0时，时，当当 =0=0时，时，当当=0=0时，时，取虚部为取虚部为取实部为取实部为所以所以f(x)的四种形式归结为求的四种形式归结为求理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 91设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程可得：代入原方程可得：型型(1)(1)若若r r不是特征方程的根不是特征方程的根可设可设，考察考察其中其中，系数可通过系数可通过*式比较同幂系数相等而全部获得式比较同幂系数相等而全部获得*式左端最高次幂由式左端最高次幂由决定，与决定，与最高次幂相同最高次幂相同理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 92(2)(2)若若
45、r r是特征方程的单根是特征方程的单根可设可设,，系数可通过系数可通过*式比较同幂系数相等而全部获得式比较同幂系数相等而全部获得*式左端最高次幂由式左端最高次幂由决定，要保持与决定，要保持与最高次幂相同，就必须设最高次幂相同，就必须设的的可设可设，(3)(3)若若是特征方程的重根是特征方程的重根可推广到可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数是重根次数)可设可设，理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 93由非齐次方程的解的叠加原理可知，对于二阶常微分方程由非齐次方程的解的叠加原理可知，对于二阶常微分方程 设设y1*(x)与与y2*(x)分分
46、别别是是方方程程y P(x)y Q(x)y f1(x)与与 y P(x)y Q(x)y f2(x)的特解的特解 那么那么y1*(x)y2*(x)是方程是方程 y P(x)y Q(x)y f1(x)f2(x)的特解的特解 不管不管采用下面哪四种形式采用下面哪四种形式,或是它们的叠加形式，求法都是一样，是叠加的，分开求，或是它们的叠加形式，求法都是一样，是叠加的，分开求，利用解的叠加，得到总的通解即可利用解的叠加，得到总的通解即可非齐次方程的解的叠加原理非齐次方程的解的叠加原理理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 94矢矢 量量u加法加法u减法减法u数乘数乘u点乘点乘u叉乘叉乘u
47、混合乘混合乘矢量相关的一些量矢量相关的一些量矢量的计算矢量的计算矢量的导数矢量的导数矢量的积分矢量的积分理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 95n标量（标量（scalarscalar）只用数值（包括大小与正负）即可描述的量只用数值（包括大小与正负）即可描述的量如：如：时间时间t、路程、路程s、质量、质量m、能量、能量E、电量、电量q 、电流电流I 等等n标量的计算标量的计算遵循各种数字运算法则，如：遵循各种数字运算法则，如：+-+-长度单位矢量相关的一些量矢量相关的一些量理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 96n矢量（矢量（vectorvector）具有
48、大小和方向，并且加法遵从平行四边形法则的量具有大小和方向，并且加法遵从平行四边形法则的量如如:力力F F、速度、速度v v、加速度、加速度a a、角速度、角速度、电场强度、电场强度E E 等等长度单位矢端矢尾印刷体通常用黑体字母，手写体通常用字母并在头顶上一个箭头印刷体通常用黑体字母，手写体通常用字母并在头顶上一个箭头也称平行四边行法则为三角形法则也称平行四边行法则为三角形法则理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 97矢量模矢量模 矢量的大小，矢量的大小，模为模为0 0的矢量，的矢量，单位矢量单位矢量 矢量模为矢量模为1 1的矢量，的矢量，等表示等表示零矢量零矢量矢量相等矢量
49、相等 矢量的模相等且方向一致矢量的模相等且方向一致矢量计算矢量计算化化标量计算标量计算的重要依据的重要依据或或负矢量负矢量与原矢量的模相等，但方向相反与原矢量的模相等，但方向相反表示为表示为常用常用记作记作理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 98矢量的加法矢量的加法号号是因平移导致角度为是因平移导致角度为补角补角的关系的关系矢量矢量满足满足，则，则平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则矢量的计算矢量的计算理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 99交换律交换律结合律结合律多边形法则多边形法则矢量加法性质：矢量加法性质：n边形亦是如此边形亦是如此封闭
50、性封闭性理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 100矢量的减法矢量的减法矢量的减法是加法的逆运算矢量的减法是加法的逆运算为矢量为矢量理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 101矢量的数乘矢量的数乘矢量数乘后仍是一个矢量，矢量数乘后仍是一个矢量，同向同向模伸长模伸长为矢量，为矢量，为实数为实数矢量的数乘：矢量的数乘：与与反向反向与与零矢量零矢量较较模缩短模缩短较较与与模相同模相同且且理论力学理论力学 数学基础知识数学基础知识 许许 杰杰 102矢量的数乘性质：矢量的数乘性质：分配律分配律结合律结合律单位元素单位元素为矢量为矢量为实数为实数理论力学理论力学 数学
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