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1、2011年数学高考分类汇编解答题（文）04函数与导数04 函数与导数 321. (天津文)19(本小题满分14分)已知函数，其fxxtxtxtxR()4361,，,，,中( tR,(?)当时，求曲线在点处的切线方程; yfx,()(0,(0)ft,1(?)当时，求的单调区间; fx()t,0(?)证明:对任意的在区间内均存在零点( tfx,，,(0,),()(0,1)【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 322, (?)解:当时， t,1fxxxxffxxx()43
2、6,(0)0,()1266,，,，, 所以曲线在点处的切线方程为 f(0)6.,yfx,()(0,(0)fyx,6.t22, (?)解:，令，解得 fxxtxt()1266,，,fx()0,xtx,或.2因为，以下分两种情况讨论: t,0t, (1)若变化时，的变化情况如下表: fxfx(),()ttx,0,则当2x ,，,t,tt，, ,t,22,+ - + , fx()fx()tt, 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。 fx(),，,;()tfx,t，,22,t, (2)若，当变化时，的变化情况如下表: xfxfx(),()tt,0,则2x,t tt，, ,t,，,22,+ - +
3、, fx()fx()tt, 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 fx(),，,;()tfx,t,.，,22,04 函数与导数 (文) 第1页(19) tt, (?)证明:由(?)可知，当时，在内的单调递减，在内t,0fx()0,，,22,单调递增，以下分两种情况讨论: t (1)当时，在(0，1)内单调递减， fx(),1,2即t22 ftftt(0)10,(1)643644230.,，,，,所以对任意在区间(0，1)内均存在零点。 tfx,，,2,),()ttt, (2)当时，在内单调递减，在内单调递增，fx()0,101,02,即t,222,177,33若 tfttt,，,(0,1,1
4、0.,244,2 fttttt(1)643643230.,，,，,，,t, 所以内存在零点。 fx(),1在,2,t77,33 若 tfttt,，,，,(1,2),110.，,244,ft(0)10,t, 所以内存在零点。 fx()0,在,2,所以，对任意在区间(0，1)内均存在零点。 tfx,(0,2),()综上，对任意在区间(0，1)内均存在零点。 tfx,，,(0,),()2. (北京文)18(本小题共13分) x 已知函数. fxxke()(),(?)求的单调区间; fx()(?)求在区间0,1上的最小值. fx()【解析】(18)(共13分) 3, 解:(?) f(x),(x,k，1
5、)e.,， 令fx,0，得(x,k,104 函数与导数 (文) 第2页(19) , 与的情况如下: f(x)f(x)() (,k,k(k,1,，,)x k,1, f(x) 0 + k,1 f(x),e? ? 所以，的单调递减区间是();单调递增区间是 f(x),k,1(k,1,，,)(?)当，即时，函数在0，1上单调递增， k,1,0k,1f(x)所以(x)在区间0，1上的最小值为 f(0),k;f当时， 0,k,1,1,即1,k,2由(?)知上单调递减，在上单调递增，所以在区间0，fxk()0,1在,(1,1k,fx()k,11上的最小值为; fke(1),当时，函数在0，1上单调递减， k
6、tk,1,2即fx()所以在区间0，1上的最小值为 fx()fke(1)(1).,3. (全国大纲文)21(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效) (32已知函数fxxaxaxaaR()3(36)124,，, ,(I)证明:曲线处的切线过点(2，2); yfxx,()0在(II)若处取得极小值，求a的取值范围。 fxxx()在,x,(1,3)002【解析】21(解:(I) fxxaxa()3636.,，,2分 由得曲线处的切线方程为 yfxx,()0在fafa(0)124,(0)36,由此知曲线处的切线过点(2，2) 6分 yfxx,()0在2 (II)由 fxxaxa()02120.
7、,，,得(i)当没有极小值; ,2121,()afx时(ii)当得 aafx,2121,()0或时由04 函数与导数 (文) 第3页(19) 22 xaaaxaaa,，,，,21,21,122故由题设知 xx,.1213.,，,aaa022时，不等式无解。 当a,211213,，,aaa52当时，解不等式 a,21121321.,，,aaaa得25综合(i)(ii)得a的取值范围是 12分 (,21).,24. (全国新文)21(本小题满分12分) axbln 已知函数，曲线在点处的切线方程为yfx,()(1,(1)ffx(),，xx，1( xy，,230(I)求a，b的值; lnx (II)
8、证明:当x0，且时，( x,1fx(),x,1【解析】(21)解: x，1,(ln),xbx (?) fx(),22(1)xx，f(1)1,1, 由于直线的斜率为，且过点，故即 xy，,230(1,1),12f(1),2b,1, 解得，。 a,1b,1,a1,b,22ln1x (?)由(?)知，所以 f()x,，xx，12x,1xln1 fx,x， ()(2ln)2x,x,x112x1,考虑函数，则 hxx()2ln,，(0)x,x2222x,(x,1)2(x,1), h(x),22xxx,所以当时，h(x),0,而h(1),0,故 x,104 函数与导数 (文) 第4页(19) 1当时， x
9、,(0,1)h(x),0,可得h(x),0;21,x1当时， x,(1,，,)h(x),0,可得h(x),0;21,xlnxlnx从而当 x,0,且x,1,f(x),0,即f(x),.x,1x,15. (辽宁文)20(本小题满分12分) 2设函数=x+ax+blnx，曲线y=过P(1,0)，且在P点处的切斜线率为2( f(x)f(x)(I)求a，b的值; (II)证明:?2x-2( f(x)b,【解析】20(解:(I) 2分 fxax()12.,，xfa(1)0,10,，,由已知条件得 即,fab(1)2.122.,，,解得 5分 ab,1,3.2 (II)，由(I)知 fx()(0,)的定义
10、域为，,fxxxx()3ln.,，2设则 gxfxxxxx()()(22)23ln,，3(1)(23)xx,，, gxx()12.,，,xx,当时当时01,()0;1,()0.,xgxxgx 所以在单调增加在单调减少gx()(0,1),(1,).，,而 12分 gxgxfxx(1)0,0,()0,()22.,故当时即6. (江西文)20(本小题满分13分) 132 设 fxxmxnx().,，3(1)如果处取得最小值-5，求的解析式; gxfxx()()23x2,在f(x)(2)如果的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的mn10(m,nN),f(x)，,值;(注;区间(a，b)的长度为b-
11、a) 【解析】20(本小题满分13分) 222解:(1)由题得 gxxmxnxmnm()2(1)(3)(1)(3)(1),，,，,，,，,已知处取得最小值-5 gxx()2在,04 函数与导数 (文) 第5页(19) m,12,所以，即 mn,3,2,2(3)(1)5nm,132即得所要求的解析式为 fxxxx()32.,，32(2)因为的单调递减区间的长度为正整数， fxxmxnfx()2,(),，且故一定有两个不同的根， fx()0,22从而， ,440mnmn即2不妨设为为正整数， xxxxmn,|2则,1221故时才可能有符合条件的m，n m,2当m=2时，只有n=3符合要求 当m=3
12、时，只有n=5符合要求 当时，没有符合要求的n m,4综上所述，只有m=2，n=3或m=3，n=5满足上述要求。 7. (山东文)21(本小题满分12分) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位:米)，其中容器的中间为圆80,柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且(假lr?23设该容器的建造费用仅与其表面积有关(已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(设该容器的建造费用为千元( cc(3),y(?)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域; ry(?)求该容器的建造费用最小时的( r【解析】21(解:(I)设容器的容积为V， 480,
13、23由题意知 ,，,又VrlrV,3343,Vr8044203故 ,lrr()222rrr333,由于 lr,2因此 02.,r42022所以建造费用 ,，,，,，,yrlrcrrrc2342()34,23r160,2因此 ,，,ycrr4(2),02.,r1608(2)20,c,3 (II)由(I)得 ycrrr8(2)(),02.,22rrc,2由于 cc,3,20,所以04 函数与导数 (文) 第6页(19) 202033当 rr,0,.时cc,22203令 ,m,则c,28(2),c,22所以 yrmrrmm()().,，2r9 (1)当时， 02,mc即2当r=m时,y=0;当r(0
14、,m),时,y0.所以是函数y的极小值点，也是最小值点。 rm,9 (2)当即时， m,23,c2当函数单调递减， ry,(0,2),0,时所以r=2是函数y的最小值点， 9综上所述，当时，建造费用最小时 r,2;3,c22093当时，建造费用最小时 r,.c,c,228. (陕西文)21(本小题满分14分) ,设。 fxxgxfxfx()ln.()()(),，(?)求的单调区间和最小值; gx()1(?)讨论与的大小关系; gx()g()x1(?)求的取值范围，使得,对任意,0成立。 axgagx()(),a1【解析】21(解(?)由题设知， fxxgxx()ln,()ln,，xx,1,?令
15、0得=1， xgx(),gx(),2x,当?(0，1)时，,0，故(0，1)是的单调减区间。 xgx()gx(),当?(1，+?)时，,0，故(1，+?)是的单调递增区间，因此，=1xxgx()gx()是的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为 gx()g(1)1.,04 函数与导数 (文) 第7页(19) 1(II) gx()lnx,，x2(1)x,11,设，则， hx(),hxgxgxx()()()2ln,，2xxx1当时，即， h(1)0,x,1gxg()(),x,当时， x,，,(0,1)(1,)h(1)0,因此，在内单调递减， (0,)，,hx()当时， hxh()(1
16、)0,01,x1即 gxg()().,x当 x1,()(1)0,时hxh1 即gxg()(),x(III)由(I)知的最小值为1，所以， gx()11，对任意，成立 x,0gagx()(),ga()1,aa即从而得。 ln1,a,0,aexx9. (上海文)21(14分)已知函数，其中常数满足。 fxab()23,，,ab,0ab,(1)若，判断函数的单调性; fx()ab,0(2)若，求时折取值范围。 xfxfx(1)()，,ab,0【解析】21(解:? 当时，任意，则ab,0,0xxRxx,1212xxxx1212 fxfxab()()(22)(33),，,12xxxxxxxx121212
17、12? ， 22,0(22)0,aa33,0(33)0,bb? ，函数在上是增函数。 Rfxfx()()0,fx()12当时，同理，函数在R上是减函数。 ab,0,0fx()xx? fxfxab(1)()2230，,，,04 函数与导数 (文) 第8页(19) a3ax当时，则; ab,0,0x,log()(),1.52b22ba3ax当时，则。 ab,0,0x,log()(),1.52b22b10. (四川文)22(本小题共l4分) 21已知函数，( hxx(),fxx(),，3222(?)设函数F(x),18f(x),xh(x)，求F(x)的单调区间与极值; 33(?)设，解关于x的方程;
18、 a,Rlg(1)2lg()2lg(4)fxhaxhx,241*(?)设，证明:( n,Nfnhnhhhn()()(1)(2)(),，,6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力( 223解:(?)， Fxfxxhxxxx()18()()129(0),，,2,( ？,，Fxx()312,令，得(舍去)( ？,Fx()0x,2x,2,当时(;当时， x,(0,2)Fx()0,x,，,(2,)Fx()0,故当时，为增函数;当时，为减函数( x,0,2)Fx()x,，,2,)Fx()为的极大值
19、点，且( Fx()F(2)824925,，,x,233(?)方法一:原方程可化为， log(1)log()log(4)fxhaxhx,42224xa,ax,即为，且 log(1)loglog4logxaxx,422214,x4,x,ax,2?当时，则，即， xxa,，,640x,114,a1,xa4,x6204,a，此时，?， ,，,364(4)2040aa1,xaxa,352此时方程仅有一解( xa,35ax,2?当时，由，得，xxa,，,640x,1a,414,x4,x， ,，,364(4)204aa若，则，方程有两解; xa,3545,a,0若时，则，方程有一解; a,5,0x,3若或，
20、原方程无解( a,1a,5方法二:原方程可化为， log(1)log(4)log()xhxhax,，,422x,10,14,x,40,x,1,即， ,xa,log(1)log4logxxax,，,222ax,0,2,2ax,，(3)5.,(1)(4).xxax,?当时，原方程有一解; xa,3514,a?当时，原方程有二解; xa,3545,a?当时，原方程有一解; a,5x,3?当或时，原方程无解( a,1a,504 函数与导数 (文) 第9页(19) (?)由已知得， hhhnn(1)(2)()12，,，1431n，( fnhnn()(),6661*设数列的前n项和为，且() n,NaSS
21、fnhn,()()nnn64341kk，,从而有，当时，( aS,12100,kaSSkk,111kkk,166221(43)(41)(1)kkkk，,1又 akkkkk,，,(43)(41)1k66(43)(41)1kkkk，,11( ,06(43)(41)1kkkk，,即对任意时，有，又因为，所以ak,a,11k,21k( aaan，,，1212n则，故原不等式成立( Shhhn,，(1)(2)()n2211. (浙江文)(21)(本小题满分15分)设函数， f(x),alnx,x，axa,0(?)求的单调区间; f(x)2(?)求所有实数，使对恒成立( ae,1,f(x),ex,1,e注
22、:为自然对数的底数( e【解析】(21)本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。 22 (?)解:因为 fxaxxaxx()ln.0,，,其中2axaxa()(2),，, 所以 fxxa()2,，,xx由于，所以的增区间为，减区间为 a,0fx()(,)a，,(0,)a(?)证明:由题意得， facac(1)11,即由(?)知内单调递增， fxe()1,在2 要使恒成立， efxexe,1()1,对fae(1)11, 只要 ,222feaeaee(),，,解得 ae,.12. (重庆文)19(本小题满分12分，(?)小题5分，(?
23、)小题7分) 3.2,设的导数为，若函数的图像关于直线fxxaxbx()21,，fx()yfx,()04 函数与导数 (文) 第10页(19) 1,对称，且( f(1)0,x,2的值 (?)求实数ab,(?)求函数的极值 fx()【解析】19(本题12分) 322,解:(I)因 fxxaxbxfxxaxb()21,()62.,，,，故2aa2,从而 fxxb()6(),，,66aa1,即关于直线对称，从而由题设条件知 x,yfx,(),3.解得a662,又由于 fabb(1)0,620,12.,，,即解得32 (II)由(I)知 fxxxx()23121,，,，2, fxxx()6612,，,
24、，6(1)(2).xx,令 fxxxxx()0,6(1)(2)0.2,1.,，,即解得12,当上为增函数; xfxfx,(,2),()0,()(,2)时故在,当上为减函数; xfxfx,(2,1),()0,()(2,1)时故在,当上为增函数; xfxfx,，,，,(1,),()0,()(1,)时故在从而函数处取得极大值处取得极小值 fxx()2在,fx(2)21,1,在f(1)6.,1213. (安徽文)(18)(本小题满分13分) xef(x),设，其中为正实数. a21，ax4(?)当时，求的极值点; fx()a,3(?)若为R上的单调函数，求的取值范围. afx()【解析】(18)(本小
25、题满分13分)本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 04 函数与导数 (文) 第11页(19) 2，ax,ax1x, 解:对求导得 ? fx,ef(x)().22，ax(1)3142, (I)当，若 a,f(x),0,则4x,8x，3,0,解得x,x,.12322综合?,可知 x131133 (,)(,)(,)222222+ 0 , 0 + , f(x)? 极大值 ? 极小值 ? f(x)13 所以,是极小值点,是极大值点. x,x,1222, (II)若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合?与条
26、件a0，知f(x)f(x)2 ax,2ax，1,02 在R上恒成立，因此由此并结合，知 ,4a,4a,4a(a,1),0,a,00,a,1.14. (福建文)22(本小题满分14分) 已知a，b为常数，且a?0，函数f(x)=-ax+b+axlnx，f(e)=2(e=2(71828是自然对数的底数)。 (I)求实数b的值; (II)求函数f(x)的单调区间; (III)当a=1时，是否同时存在实数m和M(m0得x1,由f(x)0得0x0,g(x)=0上单调递增( fx()(0,)在，,22aaaa,，,44(3) 当的两根为， a,2时,0,g(x)=0xx,1222当时， ;当时， ;当时，
27、 ，0,xxxxx,fx()0,fx()0,xx,fx()0,1122故分别在上单调递增，在上单调递减( (0,),(,)xx，,(,)xxfx()1212(II)由(I)知，( a,2xx,12因为，所以 fxfxxxaxx()()()(lnln),，,121212xx12fxfxxx()()lnln,11212 ka,，,1xxxxxx,121212lnlnxx,12又由(I)知，(于是 xx,1ka,212xx,12lnlnxx,12若存在，使得则(即(亦即lnlnxxxx,aka,2.,11212xx,121 xxx,2ln0(1)(*)222x21再由(I)知，函数在上单调递增，而，
28、所以x,1(0,)，,httt()2ln,2t11 这与式矛盾(故不存在，使得 a(*)ka,2.xx,2ln12ln10.22x1218. (广东文)19(本小题满分14分) 2 设a,0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x-2(1-a)的单调性。 【解析】19(本小题满分14分) 解:函数的定义域为 fx()(0,).，,22(1)2(1)1aaxax,，, fx(),x2 当的判别式 aax,，,12(1)10时,方程2a(1-a)x04 函数与导数 (文) 第16页(19) 1, ,12(1).aa,3,1, ?当有两个零点， 0,0,(),afx时3(1)(31)(1)(31)
29、aaaa,11 xx,，0,1222(1)22(1)aaaaaa, 且当内为增函数; 0,()0,()(0,)(,),，,xxxxfxfxxx或时在与1212, 当内为减函数; xxxfxfxxx,时在,()0,()(,)12121, ?当内为增函数; ,，,afxfx1,0,()0,()(0,)时所以在31, ?当内为增函数; afxxfx,，,1,()0(0),()(0,)时在x(1)(31)aa,1 ?当 ax,1,0,0,时122(1)aaa,(1)(31)aa,1, 在定义域内有唯一零点， xxfx,，,0,()所以1222(1)aaa, 且当内为增函数;当时，0,()0,()(0,
30、),xxfxfxx时在xx,111,内为减函数。 的单调区间如下表: fxfxx()0,()(,),，,在fx()111 a,1 ,a10,a33(,)xx(,)x，,(0,)x(,)x，,(0,)x(0,)，,112211(1)(31)(1)(31)aaaa,11(其中) xx,，,1222(1)22(1)aaaaaa,32,19. (江苏)19(已知a，b是实数，函数 和f(x),x，ax,g(x),x，bx,f(x)g(x),是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区If(x),g(x)f(x)g(x),0f(x)g(x)间上单调性一致 I(1)设，若和在区间上单调性一致,求b的取值范围;
31、 a,0f(x)g(x),1,，,)04 函数与导数 (文) 第17页(19) (2)设且，若和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求a,0,f(x)g(x)a,b|a-b|的最大值 【解析】19(本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分. 2,解: f(x),3x，a,g(x),2x，b.2,(1)由题意知上恒成立，因为a0，故 f(x)g(x),0在,1,，,)3x，a,0,进而上恒成立，所以 20,2xbbx，,即在区间-1,+)b,2.因此的取值范围是 b2,).，,a, (2)令 fxx(
32、)0,.,解得3, 若又因为， baab,0,00(,).由得fgab(0)(0)0,所以函数在上不是单调性一致的，因此 fxgx()()和b,0.(,)ab, 现设; bxgx,0.(,0),()0当时a, 当时， x,(,)fx()0.,3a, 因此，当时， x,(,)fxgx()()0.,3aa 故由题设得 a,且b-,3311 从而 ,ab0,0.于是3311 因此时等号成立， |,0abab,且当331112, 又当，从而当 abfxgxxx,0,()()6()时xfxgx,(,0)()()0时39311 故当函数上单调性一致，因此的最大值为 |ab,.fxgx()()(,0)和在,
33、3320. (江苏)17(请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点ABCD重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm x2(1)某广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问应取何值, x04 函数与导数 (文) 第18页(19) 10、做好培优扶差工作，提高数学及格率，力争使及格率达95%。3)最大，试问应取何值,并求出此时包装盒(2)某广告商要求包装盒容积V(cmx166.11
34、6.17期末总复习的高与底面边长的比值。 DCP xx ABEF【解析】17(本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A)力、数学阅读能力及解决实际问题的能力。满分14分. 解:设馐盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得 （2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。60,2x a,2x,h,2(30,x),0,x,30.定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，2（1）一般式：2(1) S,4ah,8x(30,x),8(x,15)，1800,所以当时，S取得最大值. x,15222,(2) V,ah,22,(x，30x),V,62x(20,x).二次方程的两个实数根,由(舍)或x=20. V,0得x,0,当时， V,0;当x,(20,30)时V,0.x,(0,20)tan1所以当x=20时，V取得极大值，也是最小值. h111此时装盒的高与底面边长的比值为 .,即2a22（3）二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物