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1、2016新课标创新人教A版数学选修4-1 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线2016新课标创新人教A版数学选修4-1 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 核心必知 1(平面与圆柱面的截线 (1)椭圆组成元素: ，F叫椭圆的焦点;F叫椭圆的焦距;AB叫椭圆的长轴;CD叫椭圆的短轴( 如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c (2)如图(1)，AB、CD是两个等圆的直径，AB?CD，AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为F1、F2，交BA、DC的延长线于E、F，交AD于G1，交BC于G2.设EF与BC、 CD 的交角分别为 、. 版权所有:中国好课堂 ?G2F1，G2F2,
2、AD;?G1G2,AD; ?GFcos ,sin . G2E(3)如图(2)，将两个圆拓广为球面，将矩形ABCD看成是圆柱面的轴截面，将EB、DF拓广为两个平面、，EF拓广为平面，则平面与圆柱面的截线是椭圆(即得定理1:圆柱形物体的斜截口是椭圆( 2(平面与圆锥面的截线 (1)如图，AD是等腰三角形底边BC上的高，?BAD,，直线l与AD相交于点P，且 与AD的夹角为?0<，则: 2? ?>，l与AB(或AB的延长线)、AC相交; ?,，l与AB不相交; ?<，l与BA的延长线、AC都相交( 版权所有:中国好课堂 (2)定理2:在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，
3、夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面(任取平面，若它与轴l的交角为(当与l平行时，记,0)，则 ?>，平面与圆锥的交线为椭圆; ?,，平面与圆锥的交线为抛物线; ?<，平面与圆锥的交线为双曲线( 问题思考 用平面截球面和圆柱面所得到的截线分别是什么形状, 提示:联想立体图形及课本方法，可知用平面截球面所得截线的形状是圆;用平面截圆柱面所得截线的形状是圆或椭圆( 版权所有:中国好课堂 已知圆柱底面半径为3 ，平面与圆柱母线夹角为60?，在平面上以G1G2所在直线为横轴，以G1G2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面与圆柱截口椭圆的方程( 精讲详析 本题考查平面与圆
4、柱面的截线(解答本题需要根据题目条件确定椭圆的长轴和短轴( 过G1作G1H?BC于H. ?圆柱底面半径为3，?AB,3. ?四边形ABHG1是矩形，?AB,G1H,23. GH24. sin?G1G2H3 2在Rt?G1G2H中，G1G2, 又椭圆短轴长等于底面圆的直径3， 版权所有:中国好课堂 x2y2?椭圆的标准方程为1. 43 借助条件中已经建立的直角坐标系，通过相关平面图形转换确定椭圆的长、短轴的长是关键( 1(平面内两个定点的距离为8，动点M到两个定点的距离的和为10，求动点M的轨迹方程( 解:以两点的连线段所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则由椭 x2y2 圆的
5、定义知，动点的轨迹是椭圆，设所求椭圆方程为1. ab?2a,10，2c,8，?a,5，c,4.则b2,9. x2y2故所求椭圆的方程为，,1. 259 证明:定理2的结论(1)，即>时，平面与圆锥的交线为椭圆( 精讲详析 本题考查平面与圆锥面的截线(解答本题需要明确椭圆的定义，利用椭圆 版权所有:中国好课堂 的定义证明( 如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切( 当>时，由上面的讨论可知，平面与圆锥的交线是一个封闭曲线(设两个球与平面的切点分别为F1、F2，与圆锥相切于圆S1、S2. 在截口的曲
6、线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因此PF1,PQ1.同理，PF2,PQ2. 所以PF1，PF2,PQ1，PQ2,Q1Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在>时，平面与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的椭圆( 由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广为空间内圆锥与平面的截线之后， 较 版权所有:中国好课堂 难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用与上节中定理1的证明相同的方法，即Dandelin双
7、球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决. 2(在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l的交角为(当与l平行时，记,0)，求证:,时，平面与圆锥的交线是抛物线( 证明:如图，设平面与圆锥内切球相切于点F1，球与圆锥的交线为圆S，过该交线的平面为，与相交于直线m.在平面与圆锥的截线上任取一点P，连接PF1.过点P作PA?m，交m于点A，过点P作的垂线，垂足为B，连接AB，则AB?m，?PAB是与所成二面角的平面角(连接点P与圆锥的顶点，与S相交于点Q1，连接BQ1 ， 版权所有:中国好课堂
8、 则?BPQ1,，?APB,. 在Rt?APB中，PB,PAcos . PQcos 在Rt?PBQ1中，PB,PQ1cos .?. PAcos PF1， PA又?PQ1,PF1，,，? 即PF1,PA，动点P到定点F1的距离等于它到定直线m的距离，故当,时，平面与圆锥的交线为抛物线( 本课时考点在高考中很少考查(本考题以选择题的形式考查了平面与圆柱面的截线的形状，是高考命题的一个新动向( 考题印证 已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45?角，则截线椭圆的焦距为( ) A(22 B(2 C(4 D(42 命题立意 本题主要考查平面与圆柱面的截线问题，同时考查椭圆的相关性质( 版权所有:
9、中国好课堂 2解析 选C 由题意知，椭圆的长半轴长a,22， sin 45? 短半轴长b,2， 则半焦距ca,b ,8,4,2. 所以焦距2c,4. 一、选择题 1(下列说法不正确的是( ) ( A(圆柱面的母线与轴线平行 B(圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面 C(圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关 版权所有:中国好课堂 D(平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径 解析:选D 显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确( 2(过球面上一点可以作球的( ) A
10、(一条切线和一个切平面 B(两条切线和一个切平面 C(无数条切线和一个切平面 D(无数条切线和无数个切平面 解析:选C 过球面上一点可以作球的无数条切线，并且这些切线在同一个平面内，过球面上一点可以作一个球的切平面( 3(球的半径为3，球面外一点到球心的距离为6，则过该点的球的切线和过切点的半径所成的角为( ) A(30? B(60? C(90? D(不确定 解析:选C 由平面内圆的切线垂直于过切点的半径，我们推广到空间中仍有球的切线 版权所有:中国好课堂 垂直于过切点的球的半径，因为切线与过切点的半径仍相交，故可以转化为平面图形，因而可以利用平面图形的性质来解决( 4(一圆锥面的母线和轴线
11、成30?角，当用一与轴线成30?的不过顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是( ) A(椭圆 B(双曲线 C(抛物线 D(两条相交直线 解析:选C 如图可知应为抛物线( 二、填空题 5(一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10，则截面与圆柱面母线的夹角的余弦值为_( 解析:因为两焦球的球心距即为椭圆的长轴长， 所以2a,10，即a,5.又椭圆短轴长2b,6，即b,3， c4?c,4.故e,cos ,. a5 版权所有:中国好课堂 4答案:5 6(一平面与圆柱面的母线成45?角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱面的半径为_( 解析:由2a,6，即a,3，又e,
12、cos 45?,2 2 得b,c,ea,2323,，即为圆柱面的半径( 22 3答案: 2 7(设圆锥面V是由直线l绕直线l旋转而得，l与l交点为V，l与l的夹角为(0?<<90?)，不经过圆锥顶点V的平面与圆锥面V相交，设轴l与平面所成的角为，则: 当_时，平面与圆锥面的交线为圆; 当_时，平面与圆锥面的交线为椭圆; 当_时，平面与圆锥面的交线为双曲线; 当_时，平面与圆锥面的交线为抛物线( 答案:,90? <<90? < , 8(半径分别为1和2的两个球的球心距为12，则这两个球的外公切线的长为_， 版权所有:中国好课堂 内公切线的长为_( 解析:设两个球的
13、球心为O1，O2，外公切线的切点为A、B，则有|AB|, O1O2,(R1,R2),12,(2,1)143， 设内公切线的切点分别为C、D，则 |CD|,O1O2,(R1，R2) ,12,(2，1),144,9, 答案143 315 三、解答题 9(一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴长为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，求椭圆的离心率( 解: 如图所示为截面的轴面， 则AB,8，SB,6，SA,10， 版权所有:中国好课堂 3则?SBAcos?ASB， 25 1cos?BSP,?ASB,21，cos?ASB5,. 25 cos?SPB15，?e,. 5cos?BSP2?cos?S
14、PB,sin?BSP, 10(如图，上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为圆S，记圆S所在的平面为，设与的交线为m.在椭圆上任取一点P，连接PF1，在中过P作m的垂线，垂足为A，过P作的垂线，垂足为B，连接AB是PA在平面上的射影( 若Rt?ABP中，?APB,. 求平面与所成二面角的大小( 解:由已知PB?，平面?平面,m. ?m?PB.又PA?m，?m?面PAB， ?PAB是与所成二面角的平面角( 又?APB,，?PAB ,. 2 版权所有:中国好课堂 11(定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2,x上移动，设线段（1）一般式：AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离( 11解:设A
15、(x1，y1)，B(x2，y2)，则AF,x1，BF,x2，若AB过F，|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。则AF，BF,AB， 44 一年级数学下册教材共六个单元和一个总复习，分别从数与代数、空间图形、实践活动等方面对学生进行教育。315此时点M到y轴距离为, 244 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在090间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。若AB不过F，则AF，BF>AB， 1、在现实的情境中理解数学内
16、容，利用学到的数学知识解决自己身边的实际问题，获得成功的体验，增强学好数学的信心。115即x1，x2，x1，x2>， 442 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.x1，x25从而M的横坐标>， 24 点在圆上 d=r;显然弦AB过焦点F时，M到y轴距离最短( 1x,?， 设过F的直线方程为y,k?4? y,x，?k2?k222?联立?x,1?，则kx,?2，1?x，16,0. y,k?4? 52?xM,，?k, 42 5、能掌握一些常见的数量关系和应用题的解答方法，逐步提高解答应用题的能力。5?点M到y轴最短距离为. 4 2 (3)边与角之间的关系：版权所有:中国好课堂 （1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一