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1、数学化归方法,对化归思想的认识 化归思想的基本原则化归思想的应用,对化归方法的认识,化归：将一个新的、有待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决的问题或比较容易解决的问题的思想方法.化归的对象：问题中需要改变的成分，是改变整个题目，还是只改变它的部分条件.化归的目标：化难为易、化繁为简，将陌生问题转化为熟悉问题。,练习,一百盏灯分别标上1,2,3,，100，第一个人把每盏灯拉线开关各拉一下，使得每盏灯都亮；第二个人把标号为2的倍数的灯拉线开关各拉一下；第三个人标号为3的倍数的灯拉线开关各拉一下；以此类推，直到第100个人把标号为100的灯拉线开关拉一下，最后那盏灯是亮的？,2、熟悉性原
2、则 将陌生问题转化为熟悉问题。,例3 有12张扑克牌，2点、6点、10点各四张，能否从中选出七张牌，使得上面的点数之和等于52？例4 在边长为1的正方形，任意放入9个点，则至少存在这样的3点，以他们为顶点构成的三角形的面积不超过八分之一.,3、简单化原则 将复杂性问题转化为简单问题,例5 甲、乙两人同时从相距100里的两地出发，甲带的一只小狗也同时出发，狗以每小时10里的速度向乙奔去，遇到乙马上返回向甲奔去，遇到甲又奔向乙就这样，狗不停地来回奔跑于甲、乙之间，直至甲、乙相遇，狗才停歇，如果甲每小时行6里，乙每小时行4里，求这只狗一共奔跑了多少里？,练习,解方程,4、直观性原则 将抽象性问题转化
3、为直观性问题,例7已知： ，求例8 求函数 的最小值.,练习,求函数 最值已知 且 ，求的最大值,化归的基本策略语义转换,例9 设 ，求 的值。例10 已知三个正数 构成等差数列，且公差不为零，证明他们的倒数所组成的数列 不可能 成等差数列。,例题,例11 已知 ，求证：,化归的基本策略变换法,例13 求396所有约数的和例14 求1-100中不能被3整除的所有的数之和例15 已知三角形内角和为180,那么n边形的内角和是多少？,例16已知 是互不相等的正实数，试比较 与 的大小.例17 在单位正方形四边上任意两点连线，将正方形分成面积相等的两部分，求证该曲线长不小于1,化归的方法基本策略映射
4、法（RMI）,关系映射反演原则（RMI）R包含着实际问题的事物关系系统 包含着理论问题的概念关系系统M从事物关系到概念关系的形成过程 从概念返回实际事物的逆过程 实际问题中的未知目标 的映像,化归的方法基本策略映射法（RMI）,化归的方法基本策略映射法（RMI）,例19 已知 均为正数，求证：存在以 ， ， 边的三角形，并求这个三角形的面积.,化归的方法的基本策略特殊化和一般化的互化,一般化方法 特殊化方法 一般化与特殊化的辩证关系,导例,比较 与 的大小 特殊形式 分析知 比较 与 的大小 一般形式,一般化方法的含义,一般化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合；或者从考虑一个较小
5、的集合过渡到考虑一个包含该较小集合的更大的集和。一般化方法是指为了解决某一问题，先解决比其更一般的问题，然后将之特殊化，从而得到原问题的解。,一般化方法的含义,l从逻辑的角度讲，一般蕴含着特殊，因此，如 果某个一般化命题得到了解决，那么也就意味着相应的所有特殊化命题都得到了解决。l数学结论往往具有一定程度的一般性，特殊问 题可能会因掩盖这些共性而给其解决带来困难，反而某些一般化命题中的关系和规律有时更容易看清楚,一般化方法的应用先解决一般问题，再赋值,例20 证明：先证明一般式：上式可用数学归纳法进行证明,练习,将锐角三角形的一边n等分，连接这边上所有点与对应顶点，这些将该三角形分成多少个三角
6、形？,特殊化方法导例,两人相继往一张圆桌上平放一枚同样大小的硬币（两人拥有同样多的硬币，且两人的硬币合起来足够摆满桌子），谁放下最后一枚而使对方没有位置再放，谁就获胜，试问是先放者获胜还是后放者获胜，怎样才能稳操胜券？,特殊化方法（续）,数学家：这有什么难的！如果圆桌小到只能放下一枚硬币，那么先放者获胜。提问者：这还用你讲？简直是废话！数学家：不！这是一个很重要的特殊情况，它的解决将导致一般情况的解决。提问者：怎么解决？数学家：我先放中心位置，利用圆桌的对称性，我就可以获胜，不管是圆桌还是方桌，只要有对称中心就行，硬币大小也可以不一，只要两人都有就行。,特殊化方法的含义,l特殊化就是从考虑一组
7、给定的对象集合过渡到考虑该集合中的一个较小的集合，仅仅一个对象。l特殊化方法是指在解决某一问题有困难时，先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊问题的结果（或方法）应用（或推广）到一般问题上去，从而获得一般性问题的解决。,练习,在直角三角形ABC中C=90，a,b,c为三边长，求证： 2016位同学排成一排，从左至右进行“1,2” 报数，凡是报2的留下，其余学生留队，如此反复进行，直至不足2人为止，问最后剩的人在原队列中从左至右位于第几个？,一般化与特殊化的互换,例24 一个长方形的内部共有n个点，连同长方形的四个顶点共有n+4个点,已知这n+4个点中的任意三个点不在同一直线上，现将这张纸剪成若干个三角形，要求每个三角形的顶点均是n+4个点中的点，并且每个三角形内部都不再有这样的点，那么共能剪出多少个三角形？,化归的方法的基本策略常量与变量的互化,例26解方程,练习,已知 是实数，并且 ，其中 是自然对数的底，证明：已知求：求函数 的值域,