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1、三角形、梯形的中位线 (2)【目的要求】 1.要求掌握三角形，梯形中位线定义 2.要求掌握三角形、梯形中位线定理 3.在定理的证明和解题的过程中，培养运用“转化”思想，引导学生会添加适当的辅助线，把未知转化为已知，用已掌握的知识来研究新问题，从而提高分析问题和解决问题的能力 【知识要点】 1.中位线概念： (1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 (2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 注意： (1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的 线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段 (2)梯形的中位线是连
2、结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段 (3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线 2.中位线定理： (1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半 (2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 【重点与难点分析】 重点：三角形、梯形中位线的概念及定理 通过三角形、梯形中位线的概念及定理的证明的学习使学生掌握三角形、梯形中位线的定义，掌握三角形、梯形的中位线定理及其应用 难点： 1.三角形中位线定理的证明，课本采用“同一法”证明的，其基础是(1)三角形中位线定理与平行线等分线段定理的推论1是
3、互为逆命题的关系(2)线段的中点是唯一的，过两点的直线也是唯一的 定理证明的其它方法： (1)通过旋转图形构造基本图形平行四边形(2)过三个顶点分别向中位线作垂线 2.梯形中位线定理的证明，课本采用“化归”思想，把梯形中位线问题化归为三角形中位线问题来证明 定理证明的其它方法： (1)连结一条对角线 (2)过上底一端作一腰平行线 (3)过一腰中点作另一腰平等线 3.通过添加辅助线解决有关三角形中位线、梯形中位线的问题，提高分析问题，解决问题的能力 【典型例题】 例一、 已知：在梯形ABCD中ADBC，对角线ACBD，EF为梯形的中位线 DBC=30 求证：EF=AC 分析：第一种证法：平移对角
4、线AC至DG位置，将梯形问题转化为三角形问题 第二种证法：在特殊的Rt三角形中去求解，即证AO=AD，OC=BC得到 AC=(ADBC) 证法1：过D作DGAC与BC的延长线交于一点G ACBD于O BOC=BDG=90 ADBC 即ADCG 四边形ACGD为平行四边形 CG=AD，DG=AC DG=BG，即AC=(BDCG)=(BCAD) EF为梯形ABCD的中位线 EF=(BCAD) EF=AC 证法2：ADBC ADB=DBC=30 ACBD于O AO=AD，OC=BC AC=(ADBC) EF为梯形ABCD的中位线 EF=(ADBC) EF=AC. 例二、 已知：在D ABC中，AGB
5、C于G，E、F、H分别为AB、BC、CA的中点 求证：四边形EFGH为等腰梯形 分析：要证四边形EFGH为等腰梯形即证EHBC，通过E、H为AB、AC中点可证，再证EF=HG= AC，而E、F为AB、BC中点EF=AC，GH为RtD AGH斜边上中线也可得HG=AC或证梯形EFGH同一 底上的两个角相等 证法一：E、F、H分别为AB、BC、CA的中点 EH、EF为D ABC的中位线 EHBC，EF=AC、EH=BC AGBC，H为AC中点 HG=AC EF=HG EH=BC，FGBC EHFG EF不平行HG 四边形EFGH为等腰梯形 证法二：E、F、H分别为AB、BC、CA的中点 EF、EH
6、为D ABC的中位线 EHBC，EFAC EH=BC FGBC EHFG EF不平行于HG 四边形EFGH是梯形 EFCC=180即EFC=180C AGBC于G，H为AC中点 HG=AC，即HG=HC HGC=C HGBHGC=180即HGB=180HGC EFC=HGB 梯形EFGH是等腰梯形. 例三、 已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AF为BAC的平分线，交BD于E，BC于F 求证：OE=FC 分析：欲证OE=FC需找到一条与OE相等且与FC有关的一条线段，添加辅助线过O作OGBC， 由于O为正方形对角线交点，O为AC中点，推出G为AF中点，因此有OG=FC，再通过三角
7、形内角和定理证出3=4推出OG=OE，从而得出题证 证明：过O作OGBC交AF于G，则5=ACB 四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于O AO=CO=OB ACBD BAC=ACB=455=45 G为AF的中点 OG为D AFC的中位线 OG=FC AF平分BAC 1=2=22.5 4=67.5 3是D AGC的外角 3=25=22.545=67.5 3=4 OG=OE OE=FC 例四、 已知：梯形ABCD中AD BC，E为AB中点，且ADBC=DC 求证：DEEC，DE平分ADC，CE平分BCD 证法1：取DC中点F，连结EF，E为AD中点，则EF为梯形的中位线 EFADBC EF
8、=(ADBC) 1=5，3=6 DC=ADBC EF=DC=DF=CF 1=2，3=4 2=5，4=6 1324=180 13=90 DEC，DE平分ADC，CE平分CD 证法2：延长CE与DA延长线交于一点F，过程略 证法3：在DC上截取DF=AD，连结AF、BF、EF过程省 【练习】 一、填空题： 1.已知图a中ACEFGHDBAB、CD交于O，AO=OF=FH=HB=AC=2.5cm，则HG= 2.已知图b，D ABC中AB=AC，ADBC，M为AD中点，DFCE，AC=9cm，则AE= 3.已知图c，在梯形ABCD中ADEFBC，AE=EB，EMDC且EM=3.5cm，则DF= 4.已
9、知图d，D ABC是等边三角形，AFAB，EFDC，AE=3.5cm，则AD= 二、证明题： 1.已知:如图a，ABBD，DCBD，O为AC中点，求证：OB=OD 2.已知：如图b，AD平分BAC，BDAD，DEAC，求证：E是BC的中点 3.已知：如图c， ABCD中E、F分别为AB、DC中点，AF、EC交BD于M、N，求证：BM=MN=ND 4.已知：如图d，四边形ABCD中AD=BC，M、N分别为AB、CD的中点MN所在直线与AD、BC的延长线交于P、Q，求证：APM=BQM 参考答案 一、 1. 5cm 2. 3cm 3. 3.5cm 4. 7cm 二、 1.提示：延长DO与AB交于E，再作OFBD垂足为F 2.提示：延长AC、BD交于一点F，通过证D是BF的中点，求解 3.略 4.提示：连结AC取AC中点E，连EM、EN