《线性控制系统教案4-性能鲁棒.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性控制系统教案4-性能鲁棒.doc（29页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第四章 多变量反馈系统的性能和鲁棒性Performance and Robustness of Multivariable Feedback Systems本章内容： 主增益principal gains (奇异值singular values) 系统性能的评估assessing performance 特征轨迹characteristic loci 算子范数operator norms 利用算子范数说明性能 不确定的表示representations of uncertainty 稳定性鲁棒stability robustness 性能鲁棒performance robustness4.1
2、Introduction使用反馈的目的：减少不确定性的影响； 镇定不稳定系统。不确定性：环境的扰动和噪声(disturbance and noise)；系统本身的行为变化的不可预知(unpredictable ways)。系统的性能：输出跟踪参考输入的能力系统的鲁棒性：在外部扰动下系统回复原状的能力4.2 主增益Principal gains (singular values)在SISO系统中：稳定裕度(stability margins)和暂态响应(transient response)可以由开环频率特性确定(增益特性gain characteristic)。2 / 29MIMO系统：增益不
3、唯一，即 依赖于的方向(解释)。因此，研究的思路：从SISO系统单一的增益到MIMO系统限制增益的范围，即使用矩阵范数限制比值：定义从向量的范数到诱导的矩阵范数 欧氏范数(Euclidean vector norm) 诱导的矩阵范数 Hilbert范数或谱范数(spectral norm)的奇异值(singular values): 或的正特征值的平方根的主增益(principal gains): 的奇异值一般假设：称为最大，最小主增益， 注意与频率相关，与，不同。奇异值分解(the singular value decomposition-SVD): orthogonal matrix, 表
4、示的伪逆(pseudo-inverse)，也直接表示为。(前面). , 的谱范数： 因此， ， 上面最后不等式表明：多变量系统增益在最大主增益和最小主增益之间。(the gain of a multivariable system is sandwiched between the smallest and largest principal gains.)也说明特征值的绝对值在奇异值之间.主方向principal directions: (简要介绍)4.3 使用主增益评估系统的性能The use of principal gains for assessing performance从图3.
5、1 (P128)，得到下面关系式或 这里，是灵敏度函数(sensitivity function)是补灵敏度函数(complementary sensitivity function) (闭环传递函数)评估闭环系统的干扰抑制(灵敏度)特性(disturbance- rejection(sensitivity) properties): 通过检查的主增益。(1) 保持灵敏度尽可能小(keeping sensitivity as small as possible)(2) 保持测量噪声传播最小(to minimize the propagation of measurement noise)和的最
6、小和最大主增益如图3.2 (P129)所示。如果曲线与之间区域非常狭窄，那么可以精确地描述灵敏度特性（类似于SISO系统）。通常，这个区域不很狭窄，则区域的上界是重要的。(1)要求保持小，而(2)要求保持小冲突(conflict)设计时经常处于两难的境地(be in a dilemma)，采取折中方案(trade-off)定理4.1 ， 如果系统只有一个自由度()，那么参考信号的传输特性由传递函数的主增益确定。定义：当频率范围在时，由于传感器噪声，输入信号不能被很好的跟踪。所以，设计目标应为从图3.1可以得到另一个关系：这里 如果要求保持控制信号小，那么一定保持小。而 如果要求，则，因此因此，
7、如果要求控制信号小，只需要 或 如果我们用最大或最小主增益估算系统的性能，通常考虑最坏情况(理论上)。实际设计中，一些不利的方向(the least favourable signal directiona)可能并不出现，因此设计中不必太悲观。例如同时控制飞行器的偏航(yaw)和滚角(roll angles)，略。4.4 闭环和开环主增益之间的关系Relations between closed-loop and open-loop principal gains对于SISO系统，闭环性能可以转换为对开环增益的要求，即对的要求(单位反馈系统回比的模).开环增益(open-loop gain)闭
8、环特性(closed-loop performance)通常对闭环系统的要求：(1) 灵敏度：保持尽可能小(2) 噪声传播：保持尽可能小(与(1)冲突)(3) 跟踪参考信号(一自由度系统)：保持和(与(2)冲突)(4) 控制能量最小化：保持尽可能小(与(1),(3)冲突)引理：上面四个要求进一步简化：(1) 灵敏度：(if) 【尽可能大】(2) 噪声传播：(if) 【尽可能小】(3) 跟踪参考信号(一自由度系统)： or or or 【尽可能大】(4) 控制能量最小化： 【保持尽可能小】总结开环要求：(1) large(2) small(3) large(4) small(1), (3)与(2
9、), (4)冲突，这与SISO系统设计相同解决方案：如图3.3(P137)所示在低频段，让大在高频段，让小控制能量：控制能量由矩阵确定，(if )4.5 主增益与特征轨迹Principal gains and characteristic loci 定义：是方阵，称是正规的(normal)，如果。引理：设是正规阵，且，则。定理4.2: 设是正规阵，具有特征值和主增益，则经排序后有。定理表明，我们可以用特征轨迹的模估算闭环特性，这个结果在设计中(比分析中)更有用。(设计使是正规的)。4.6 性能的局限性Limitations on performance理想的、但不能实现的开环增益特征如图3.4
10、(P141)所示。接近这个特征在穿越频率处将伴随着过多的相位滞后，所以不可避免地导致系统不稳定(或条件稳定)。4.6.1 增益-相位关系 Gain-phase relationships性能指标转化为开环主增益指标(specification)，按图3.3(P137)，对于，且，而对于，。并且从得，(或)。(，-谱半径 spectral Radius)更进一步，有Bode幅值-相位关系(Bodes gain-phase relationship) (chp 1)设是最小相位系统传递函数，极零点在开左半平面上，且设则(Bode 1945):由于，得近似公式根据Bode幅值-相位关系，设是最小相位
11、的，则当时4.6.2 右半平面零点和极点Right half-plane zeros and poles是否单个轨迹服从Bode增益-相位关系？Smith 1982: 如果回比的特征值函数在右半平面没有分支点(branch points)，那么单个轨迹也服从增益-相位关系。分支点：，右半平面上分支点尚未认识清楚。4.7-4.9略4.8 算子范数和 The operator norms, 图3.5所示(P147)., .4.10 不确定性表示 Representations of uncertainty4.10.1 非结构不确定性 Unstructured uncertainty经典的反馈系统设
12、计处理对象不确定问题是通过给定的幅值裕度或相角裕度或谐振峰值M等。这样的设计适合相当粗略的模型。非结构不确定性模型不是精确已知，但已知界。设是标称(nominal)传递函数，是真实对象的估计模型。设是被控对象的真实传递函数，则 加摄动(additive perturbation)或 输入乘摄动(input multiplicative perturbation) 输出乘摄动(output multiplicative perturbation)仅通过或限制摄动的大小，或设，是最小相位传函，作为与频率有关的权函数(weighting function). 可以总设。加性模型常被用于研究鲁棒控制问
13、题，可得到漂亮(nice)解。乘性模型更实际，因为与表示相对幅值而不是绝对幅值(magnitudes).例如，暗含 而暗含 例4.1 流速模型flow-rate model:流速100 kmol/min 10 kmol/min通过流速测量控制伺服控制阀门影响这个变化，流测量误差在1%以内，当流速变化从100到110 kmol/min时实际变化到111 kmol/min可能发生，误差变化大约10，这样，对象模型不确定性可以表示为 或 还有另一些乘摄动模型，如 MFD矩阵分式描述，这里， 4.10.2 结构不确定性 Structured uncertainty例4.1中，如果有两个阀门，不确定性表
14、示为， 但如果记，我们将失去所有结构信息，因为也允许摄动为 和 结构不确定性-模型中某位置具有不确定性。非结构不确定性描述通常导致补偿器的设计有更大的(不必要的)保守性(conservative)。4.11 稳定性鲁棒 Stability robustness检查一个具体的系统模型是否对其不确定性是鲁棒的。4.11.1 非结构不确定性 Unstructured uncertainty，图3.13 (P159)带有加不确定性的反馈环。图3.14 (P160)与图3.13等价的结构(按图3.9(P155)的形式表示)检查反馈系统是否在允许摄动范围内稳定。无摄动时闭环系统稳定：(指数)稳定(这时称镇
15、定)。有允许摄动时，设是稳定的，则反馈系统可以是不稳定的，仅当的特征轨迹包围点。根据一般Nyquist定理，有任意特征值 谱半径(spectral radius) 最大主增益如果在每个频率上，即，则闭环系统稳定。由于，且，所以是闭环系统对任意可能摄动稳定的充分条件，由于的任意性，也是闭环系统稳定的必要条件(书中详细证明略)。任意，稳定，则稳定.-小增益定理，一般表示为：小增益定理(small gain theorem): 稳定(在其变化范围内具有任意性)，反馈控制系统内部稳定的充分必要条件是： 或 .3.11.2 结构不确定性 Structured uncertainty如图3.9(P155)
16、, 是块对角结构：，是系统鲁棒稳定的充分条件，但条件是保守的(conservative)。一个容许摄动使系统不稳定(destabilizes)当且仅当 对于某个和某个。定义而且定义 并不是范数函数称为的结构奇异值(structured singular value).定理3.6 (稳定性鲁棒定理Stability robustness theorem, Doyle, et al, 1982):图3.9所示系统对于所有摄动稳定当且仅当。3.12 性能鲁棒 Performance robustness在稳定性鲁棒的基础上，保持性能鲁棒性能达到要求。不确定性的一种标准表示如图3.9。，且例3.4:
17、图3.17所示，性能要求加入摄动后：，输入输出之关系性能鲁棒性判据能被精确表示为 且 ，定理3.7 (性能鲁棒定理Performance robustness theorem, Doyle, et al., 1982):对所有的，且 成立的充要条件是 ，这里例3.5略总结 Summary 掌握主增益的概念 了解系统性能的评估方法 了解特征轨迹 算子范数operator norms 利用算子范数说明性能 熟悉不确定的表示 掌握小增益定理 了解稳定性鲁棒与性能鲁棒的概念作业：1. 设，求.2. 设，求，与.3. 如图3.13【P159】所示反馈控制系统，如果, ，若保持系统鲁棒稳定，摄动的H范数（）界是多少？如果摄动范围，求常数使闭环系统鲁棒稳定。4.5. 6. 友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。7. 8.9.10.