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1、实验五 FIR数字滤波器的设计一:实验目的(1)掌握用窗函数法，频率采样法及优化设计法设计FIR滤波器的原理及方法，熟悉响应的matlab编程；(2)熟悉线性相位FIR滤波器的幅频特性和相频特性；(3)了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。二:实验原理:（一）线性相位实系数FIR滤波器按其N值奇偶和h(n)的奇偶对称性分为四种：1、h(n)为偶对称，N为奇数;H(ej)的幅值关于=0，2成偶对称。2、h(n)为偶对称，N为偶数;H(ej)的幅值关于=成奇对称，不适合作高通。3、h(n)为奇对称，N为奇数;H(ej)的幅值关于=0，2成奇对称，不适合作高通和低通。4、h(n)为奇对称，N为偶数;
2、H(ej)=0、20，不适合作低通。2 / 24(二)窗口法窗函数法设计线性相位FIR滤波器步骤l 确定数字滤波器的性能要求：临界频率k，滤波器单位脉冲响应长度N；l 根据性能要求，合理选择单位脉冲响应h(n)的奇偶对称性，从而确定理想频率响应Hd(ej)的幅频特性和相频特性；l 求理想单位脉冲响应hd(n)，在实际计算中，可对Hd(ej)按M(M远大于N)点等距离采样，并对其求IDFT得hM(n)，用hM(n)代替hd(n)；l 选择适当的窗函数w(n)，根据h(n)= hd(n)w(n)求所需设计的FIR滤波器单位脉冲响应；l 求H(ej)，分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形
3、式或长度N，重复上述设计过程，以得到满意的结果。窗函数的傅式变换W(ej)的主瓣决定了H(ej)过渡带宽。W(ej)的旁瓣大小和多少决定了H(ej)在通带和阻带范围内波动幅度，常用的几种窗函数有：（1）矩形窗(Rectangle Window) （2）汉宁(Hanning)窗，又称升余弦窗 （3）汉明(Hamming)窗，又称改进的升余弦窗 （4）布莱克曼(Blankman)窗，又称二阶升余弦窗 （5）凯塞(Kaiser)窗 其中：是一个可选参数，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来，越大，过渡带越宽，阻带越小衰减也越大。I0()是第一类修正零阶贝塞尔函数。 若阻带最小衰减表示为
4、，的确定可采用下述经验公式： （三）频率采样法频率采样法是从频域出发，将给定的理想频率响应Hd(ej)加以等间隔采样，然后以此Hd(k)作为实际FIR数字滤波器的频率特性的采样值H(k),由H(k)通过IDFT可得有限长序列h(n) ，然后进行DTFT或Z变换即可得H (ej)（四）FIR滤波器的优化设计FIR滤波器的优化设计是按照最大误差最小化准则，使所设计的频响与理想频响之间的最大误差，在通带和阻带范围均为最小，而且是等波动逼近的。 为了简化起见，在优化设计中一般将线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应的对称中心置于n=0处，此时，线性相位因子=0。令N=2M+1，则 如希望逼近一个低通滤波器
5、，这里M，和固定为某个值。在这种情况下有定义一逼近误差函数：E()为在希望的滤波器通带和阻带内算出的误差值，W()为加权函数，K应当等于比值1/2，1为通带波动，2为阻带波动。在这种情况下，设计过程要求|E()|在区间和的最大值为最小，它等效于求最小2。根据数学上多项式逼近连续函数的理论，用三角多项式逼近连续函数，在一定条件下存在最佳逼近的三角多项式，而且可以证明这个多项式是唯一的。这一最佳逼近定理通常称作交替定理。在逼近过程中，可以固定K，M，和，而改变2，按照交替定理，首先估计出(M+2)个误差函数的极值频率，i=0,1,.,M+1，共计可以写出(M+2)个方程式中表示峰值误差。一般仅需求
6、解出，接着便可用三角多项式找到一组新的极值频率点，并求出新的峰值误差。依此反复进行，直到前、后两次值不变化为止，最小的即为所求的2。这一算法通常称作雷米兹(Remez)交替算法。三、实验内容及步骤上机实验内容：（1） N=45，计算并画出矩形窗、汉明窗、布莱克曼窗的归一化的幅度谱，并比较各自的主要特点。主要代码如下：（下同）w1 = rectwin(N);plot(n,w1,n,w2,-.,n,w3)h1,w = freqz(w1,N);plot(w/pi,20*log10(abs(h1),w/pi,20*log10(abs(h2),-.,w/pi,20*log10(abs(h3)运行结果如下
7、：分析：矩形窗函数具有最窄的主瓣宽度，但有最大的旁瓣峰值；汉明窗函数的主瓣稍宽，而旁瓣较小；布莱克曼窗函数则更甚之。矩形窗设计的滤波器过渡带最窄，但是阻带最小衰减也最差；布莱克曼窗设计的滤波器阻带衰减最好，过度带最宽，约为矩形窗设计的的三倍。汉明窗设计的滤波器处于矩形窗和布莱克曼窗之间。（2） N=15，带通滤波器的两个通带边界分别是，。用汉宁（Hanning）窗设计此线性相位带通滤波器，观察它的实际3dB和20dB带宽。N=45，重复这一设计，观察幅频和相位特性的变化，注意长度N变化的影响。b1=fir1(n,wn,hamming(n+1);stem(0:n,b1)freqz(b1,1)运行
8、结果如下：所设计滤波器的h(n): 相应的幅频相频特性曲线： 分析：观察它的实际3dB和20dB带宽，发现N=15时，其3DB带宽约为0.2pi,20db带宽约为0.45pi；N=45时，其3DB带宽约为0.16pi,20db带宽约为0.3pi可见N增大，其3db带宽和20db带宽分别减小，滤波器特性变好，过渡带变陡，幅频曲线显示其通带较平缓，波动小，阻带衰减大。相频特性曲线显示其相位随频率变化也变大。（3） 分别改用矩形窗和Blackman窗，设计（2）中的带通滤波器，观察并记录窗函数对滤波器幅频特性的影响，比较三种窗的特点。N=45时，三种窗设计的滤波器的h(n)分别如下：相应的幅频曲线如
9、下：从以上三张图可见：同一N值，分别用矩形窗，汉宁窗，汉明窗，布莱克曼窗设计滤波器时，主瓣宽度逐渐增大,过渡带变宽，但阻带衰减性能变好；N增加，主瓣变窄，旁瓣的分量增加，过渡带变陡，起伏震荡变密。加窗处理对滤波器的频率响应会产生以下主要影响：（1）使理想特性不连续的边沿加宽，形成一过渡带，过渡带的宽度取决于窗函数频谱的主瓣宽度。（2）在过渡带两旁产生肩峰和余振，它们取决于窗函数频谱的旁瓣；旁瓣越多，余振也越多；旁瓣相对值越大，肩峰则越强。（3）增加截断长度，只能缩小窗函数频谱的主瓣宽度而不能改变旁瓣的相对值；旁瓣与主瓣的相对关系只决定于窗函数的形状。因此增加N，只能相对应减小过渡带宽。而不能改
10、变肩峰值。肩峰值的大小直接决定通带内的平稳和阻带的衰减，对滤波器性能有很大关系。（4） 用Kaiser窗设计一专用线性相位滤波器，N=40，如图，当=4、6、10时，分别设计、比较它们的幅频和相频特性，注意取不同值时的影响。w=kaiser(N,beta); h=fir1(N-1,0.2 0.4 0.6 0.8,w);h1,w1=freqz(h,1);运行结果如下：分析：越大，w(n)窗越窄，频谱的旁瓣越小，但主瓣宽度也相应增加，过渡带变宽，相位特性变好。（5） 用频率采样法设计（4）中的滤波器，过渡带分别设一个过渡点，令H(k)=0.5。比较两种不同方法的结果。 N=40;Hk=0 0 0
11、0 0.5 1 1 1 0.5 0 0 0 0.5 1 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 -0.5 -1 -1 -1 -0.5 0 0 0 -0.5 -1 -1 -1 -0.5 0 0 0 0;k=0:N-1;thetak=-k*2*pi/N*(N-1)/2);hn=real(ifft(Hk.*exp(j*thetak);h,w=freqz(hn,1);plot(w/pi,20*log10(abs(h);plot(w/pi,angle(h);stem(0:N-1,hn);运行结果如下:分析：(6)用雷米兹(Remez)交替算法设计(4)中的滤波器，并比较(4)、(5)、(6)三种不同方法
12、的结果。fa=0 .175 .2 .4 .425 .575 .6 .8 .825 1;mag=0 0 1 1 0 0 1 1 0 0;b=remez(40,fa,mag);h1,w1=freqz(b,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1);plot(w1/pi,angle(h1);运行结果如下：分析：（7） 利用雷米兹(Remez)交替算法，设计一个线性相位高通FIR数字滤波器，其指标为：，, ，,。fa=500 800;a=0 1;dev=0.01 0.109;fs=5000;N,fpts,mag,wt=remezord(fa,a,dev,fs);b=remez(N,fpts,mag,wt);h1,w1=freqz(b,1);plot(w1/pi*fs/2,20*log10(abs(h1);运行结果如下: 四：实验思考题1定性地说明用本实验程序设计的FIR滤波器的3dB截止频率在什么位置？它等于理想频率响应Hd(ej)的截止频率吗？2.如果没有给定h(n)的长度N，而是给定了通带边缘截止频率c和阻带临界频率p，以及相应的衰减，你能根据这些条件用窗函数法设计线性相位FIR低通滤波器吗？ 友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。