《《高等工程数学》科学出社吴孟达版习题答案章.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等工程数学》科学出社吴孟达版习题答案章.doc（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高等工程数学 第一章习题( P26) 1略 2.在 R4中，求向量 a= 1,2,1,1 T,在基 5.已知 R4 中的两组基： a1 = 1 , 1, 1, 1T, a3 = 1 , 1, 1, 1 下的坐标。 解：其坐标为： a2 = 1 ,1, 1, 1T a4 = 1 , 1,1, 1T x = ( 5/4, 3.在 R2 2中， 求矩阵 A= 2 ，在基 1 B1= 11 1 B2 = 11 B3= B4= 0 下的坐标。 0 解：其坐标为： 4.试证： 3, 在 R2X2中，矩阵 X = ( 3, X 2， 1 )T B1= 11 1 ， B2= 1 1 2 0 B3= B4= 0
2、 线性无关。 1 证明：设 k1B1+ k 2B2+ k3B3+ k4B4= 0 ，只要证明 k1= k2 = k = k4 和 1=2,1, 1,1T , 2 =0,3,1,0 T, 3=5,3,2,1 T , 4=6,6,1,3 T 向量 x1,x2,x3,x4 在基 6 .设 R 凶n是所有次数小于 n 的实系数多项式组成的线性空间， 求多项式 p(x) = 1+ 2x n 1在基1 , (x 1), (x 1)2,(X 1)3,.,(x 1)n1的坐标 1 k n1 解：所求的坐标是：( 3, 2Cn1 1,., 2Cnk 1,., 2Cnn 11)T 求 Vi = span 1, 2
3、与 V2 = span 1, 2的和与父的基和维数。 解：V1 + V2 的一组基为 i =1,2,1,0 , 2=-1,1,1,1 , i =2,-1,0,1，所以维数为 3 Vin V2的一组基是： 3 1 2 5,2,3, 4T，所以维数为 1。 8设 T 是 n 维线性空间 V 上的一个线性变换，对某个 V，有 T1 ()工 0, Tk ( )= 0。试证：,T( ),T2( ),.,Tk 1()线性无关。 证明：设为 X2T( ) X3T2( ) . XkTk 1( ) 0 . (*) 下证 x1 x2 x3 . xk 0 即可。 对(*)两边的向量作线性变换： T1,根据 Tk一1
4、 ()工 0, Tk ( )= 0,得到 由此( *)变为 2 k 1 X2T( ) X3T ( ) . XkT ( ) 0 . . (*) 对(* )两边作线性变换： Tk_ 2,根据 TC ()工 0, Tk ( )= 0,得到 依次进行，得到 X1 X2 X3 . Xk 0，即 ,T( ),T2( ),.,Tk 1( )线性无关。 9设 n 维线性空间 V 上线性变换 T,使对 V 中任何非零向量 都有 Tn_ 1 ()工 0, 求由基 1, 2, 3, 4 到基 1, 2, 3, 4 的过渡矩阵,并求向量 X1,X2, X3, 在基 1, 2, 3, 4 的坐标。 2 0 5 6 解：
5、基 1 3 3 6 1, 2, 3, 4 到基 1, 2, 3, 4 的过渡矩阵是： 1 2 1 4 1 1 0 1 3 1, 2, 3, 4 的坐标是： 7.已知 1=1,2,1,0 T, 2=-1,1,1,1 T, 1=2,-1,0,1 T, 2=1,-1,3,7 Tn ( ) = 0。求 T 在某一基下的矩阵表示。 解：任取 V 中一非零向量 ，因 Tn_ 1 ()工 0, Tn ( )= 0，所以由第 8 题的结果，有 ,T( ),T2( ),.,Tn 1( ) 是 V 中的一组基。则 T 在此基下的矩阵： 10 设 T 是线性空间 R3的线性变换，它在 R3中基 1, 2, 3 下的
6、矩阵表示是 12 3 A = 1 0 3 21 5 求 T 在基 1 1, 2 1 2 , 3 1 2 3 下的矩阵表示。 解： T 在基 1 1, 2 1 2 , 3 1 2 3 下的矩阵表示是： 1 11 对应的特征向量是: (2) 10 解：(1)列空间为 R ( A) = span 0 核空间为N( A )= span 1 2 2 4 4 B = 3 4 6 2 3 8 11 .设 T 在基 1 1,1,1f, 2 1,0, 1T, 3=0,1,1 下的矩阵表示是 1 0 1 A = 1 1 0 1 2 1 求 T 在基 (1) 2 0,1,0T, 3 =0,0,1 下的矩阵表示。 1
7、 1,0,0T, (2) (3) 求 T 的核和值域。 求 T 的特征值和特征向量。 解: 1) T 在基 1,0,0 T 0,1,0T, 3 =0,0,1 下的矩阵表示是: (2) 核空间 N (T) 值域 R (T) (0,0,0) R3。 T 特征值为： 1 2, (1 ) ( -7i)/2 12.求矩阵 A 的列空间 R 中： (A )= y R3|y Ax, x R和核空间 (A) x R3|AX = 0。其 (1) (2) 列空间为 R (A)= span 1 , 4 , 3 1 3 核空间为 N (A )= span 2 1 1 求基1, t, t2 *的度量矩阵。 13 .设
8、V 是一线性空间 1, 2, 3是 V 的一组基 ,线性变换 T 在基 1, 2, 3 (3)特征值为： 1 1, 2 3 1 (4)特征值为：1 0, 2 14i, 3 、14i 特征向量是：略 可对角化 14.略 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 2 1 (1) -4 4 0 (2) 1 0 1 ,(3) 0 1 0 , ( 4) -2 0 3 -2 1 6 1 1 0 1 0 0 -1 -3 0 在的矩阵 B 分别如下，求 T 的特征值和特征向量，并判断 T 是否可对角化 解：(1)特征值为: 1 2 3 特征向量是： x 2 ,X2 0 0 1 (2)特征值为： 1 2, 2
9、 3 1 1 1 特征向量是： x1 1 ,X2 0 , X3 1 1 不可对角化 0 1 可对角化 1 特征向量是： X| 1 1 0 0 ,X2 0 ,X3 1 可对角化 1 1 0 15.设欧氏空间 P2 ( t)中的内积为 1 1,1 1dt=1 1,t 0 1 1， 1 所以标准正交基是： 2 2 3(t -) 3 (t2 t 1)6J5 6 高等工程数学一一科学出版社版习题答案(第二章) P50 1.求下列矩阵的特征值、代数重数核几何重数，并判断矩阵是否可对角化 1 -1 0 0 -1 -1 4 1 1 (1) 0 2 0 (2) 1 2 1 (3) 0 3 0 1 1 2 2 1
10、 3 -1 0 2 解：( :1) 特征值： 可对角化。 (2 )特征值: 不可对角化。 (3 )特征值: 不可对角化。 2.求下列矩阵的不变因子、初等因子和 Jordan 标准形 3 0 0 0 0 , 12 3 4 3 7 -3 4 1 1 1 3 0 0 0 c 0 12 3 (1) 2 -5 2 (2) 0 3 0 (3) (4) 0 0 1 -1 0 , 0 0 12 4 -10 3 1 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 解：(1)不变因子是：d1= 1, d2= 1, d3= ( -1)( -i)( i) 解: f,g (1, 1 1,1)2 94 初
11、等因子是：(-1),( -i),( i) (1) 所以度量矩阵为 1 1 tdt= , 1,t o 2 1 00 Jordan 标准形是： 0 i0 0 0i (2)不变因子是： d1= 1, d 2= 1,d3=( -3)3 初等因子是： ( -3)3 3 1 0 Jordan 标准形是： 0 3 1 0 0 3 (3)不变因子是： d1= 1, d 2= 1, d3= 1, d 4= ( 初等因子是： ( -1)4 1 1 00 0 1 10 Jordan 标准形是： 0 0 11 0 0 01 (4)不变因子是： d1= 1, d 2= 1, d 3= 1, d 4= ( 初等因子是：
12、( -2) ， ( -3 ) ， ( -1) 1 0 00 0 0 2 00 0 Jordan 标准形是： 0 0 20 0 0 0 03 0 0 0 00 3 1 1 0 3 3 设( 1) A= 0 2 0 ( 2) A = 7 1 2 2 1 求可逆矩阵 P，使得 P 1AP 是 Jordan 标准形 解：( 1) A 的特征值为 1=1， 2= 3 =2 对应的特征向量是： 1= ( 1， 0,-1) T 二级根向量是 2(2)=(-1,1,0) T -1)4 2= (0,0,1) 2) A 的特征值为 1= 2= 3= 2 -2) ( -3 ), d5= ( -1)( -2) ( -
13、3 ) ， ( -2) ，( -3) 3 1 0 1 0 6 1 (3) A= 1 1 1 3 0 1 1 4 试求第 2 题 最小多项式。 3 2) 最小多项式是： mA( ) ( -3) 3 3) 最小多项式是： mA( ) ( -1) 4 1 0 2 5. 设A = 0 1 1 ，计算方阵多项式 g(A)= 2A8 3A5 A4 A2 41 0 1 0 解： 因为： 而 f ( ) ( 3 2 1)是 A 的特征多项式 ，所以 f (A )= 0 3 48 26 故有 g(A)= 24A2 37A 10I 0 95 61 0 61 34 6 设 A 是可逆方阵,证明 A 1 可表示为 A
14、 的方阵多项式。 证明：设 A 是 n 阶方阵,其特征多项式是： 因 A 可逆,所以 an 0 (为什么？自己证明) 由 f (A) a0 An a1An 1 . an 1A an I 0 得 所以 A 1可表示为 A 的多项式。 k 7 设 A 0, Ak 0(k 2) ,证明 A 不能与对角矩阵相似。 2 证明：由题设知, A 的最小多项式是： mA( ) 2 ,有重根,所以不能相似对角化 8.已知AP l(p 为正整数)，证明 A 与对角矩阵相似。 证明：由题设知， g( ) P 1是 A 的零化多项式，而多项式 g( ) P 1没有重根(为 什么？自己证！)，所以 A 的最小多项式没有
15、重根，故与对角矩阵相似 2 9 .设A A，试证 A 的 Jordan 标准形是 diag1,1,1,0,0对应的特征向量是： 讦(1, 2,1) 二级根向量和三级根向量是： i(2)= (1,3,3) i(3)= (0,2,2) 3)此题数据不便于求解特征值, A 的特征多项式是： 解：( 1)最小多项式是： mA( ) ( -1)( -i)( i) 4)最小多项式是： mA( ) ( -1)( -2)( -3) 2 证明：因为g () 是 A 的零化多项式，且是最小多项式，所以 A 的特征值只能是 1,且可对角化，所以 A 的 Jordan 标准形是 diag1,1,1,0,0 10.设方
16、阵 A 的特征多项式 f ()和最小多项式m( )分别为: (1)f( ) ( 2)4( 3)2,m() 2)2( 3)2 (2) f( ) ( 3)3( 5)3,m() 3)2( 5) 试确定 A 的所有可能的 Jordan 标准形 解：(1) A 的可能 Jordan 标准形为 2 (2) A 的可能 Jordan 标准形为 高等工程数学 一一科学出版社版习题答案 (第三章) P50 1. 自己验证范数的三个条件 2. 自己验证范数的三个条件 3. (1) 设x (為，x2，. n |x|2 ( |Xk|)2 k 1 ，Xn) Cn，则有 n |Xk |2 k 1 另由Cauchy Sch
17、wartz不等式，有 n |x|h ( |Xk|?1) x,I k 1 其中I (1， 所以由(*) 和(*) ，1)T 式有: |Xk |2 |x|； *) |l |?|x| 打 |x|2 (*) (2) (3) 4.已知A Rn |x|L |x|h 冷 |x|2 试求第 | A|1 ，A|b ,|A| ,( A) |A|h max2 、2, 3+.2 3+.2 | A | max3 . 2, 2+、2 3+、_2 (A) 5. 证明：(1) 因 u 是酉矩阵，所以 uHu = I (UA)H(UA) AHU HUA AHA 所以 UA2 A2 (AU )H( AU ) U H AH AU
18、UH( AH A) U (2)即矩阵 AHA 与(AU )(AU)相似，所以有相同的特征值 即 AU 2 A2 (UHAU)H(UHAU)UHAHUU HAU UH(AHA U 即矩阵 AH人与(U H AU )H(UH AU)相似，所以有相同的特征值 即 UHAU 2 A2 6. (1) 证明：假设 I A 不可逆，则|I-A|=0 ,即卩 1 是 A 的特征值，所以 矛盾，所以 I A 可逆 ：(l A)-1(I A)=I (I A)-1 -( I A)-1 A=I -1 -1 (I A) =I (I A) A |(I A)- | |l (I A)- A| 由 |I| |(I A)-1 A
19、| 1 |(I A)-1 |A| |(I A)-1 | |(l A)-1 |A| 1 7. (1)解: 因 AHA 所以 AHA| l|A|2 A| 5 5i 5i 11 5i 5i 11 17 66 50 ( 16)( 1) 1) 由 |A| 1 得 |(I A)-1 | 1 1 |A| (2) 因为收敛半径为：R=5，所以收敛 解： 2t e te2t 2t At e e t . t e te t e sin2t tcos(2t) si n2t (1) sin(At) sint t cos(t) si nt cos2t tsi n(2t) cos2t cos(At) cost tsi n(
20、t) cost 8. 解：A 的特征值为：1, 1 , 2 9. 解：A 的特征值为：1, 1 , 4 高等工程数学一一科学出版社版习题答案（第三章） P100 1. (1) 2 2 1 4 2 2 1 4 6 H 1 2 1 2 Hx - 2 1 2 4 0 3 3 1 2 2 1 2 2 2 0 2. 参见第三章第 5 题（2）的答案 3. （1） 高等工程数学一一科学出版社版习题答案（第五章） |A|1 0.9证明： k lim A O k I B| 2 2c)( c) (B)=2|c| (1) 解: 当|c| 2 时，im Bk (A) 2 4 1 故 A 发 (4)( 1) c c
21、+ i J P113 1 (1 )自己验证 M-P 广义逆的四个条件即可 (2) 因为 rank(A)= rank(AA +A) Wank(AA +)Wank(A +)= rank(A +A A +) Wank(A +A)令 ank(A) 所以命题成立 (1)因为 rank (A|b )= rank (A)所以是相容方程组 ( 2 ) 因为 rank (A|b)= rank (A)所以是相容方程组 ( 3)因为 rank( A|b )= rank( A )所以是相容方程组 2 自己验证广义逆的四个条件 高等工程数学一一科学岀版社版习题答案(第六章) P138 1 Easy 2 自己按公式计算 其余题目自己按公式计算！ 9、证明比较简单：按照 F 分布定义即可证明。 第七章 第八章 正交试验设计的目的是如何科学、 合理地安排试验， 使之能在很多的试验条件中 选岀代表性强的少数几个试验条件，并通过较少次数的试验就能取得最好的结 果。(2) 采用矩阵形式计算 f (t)= 1-t+ t2与 g (t)= 1 4t- 5t2的内积 (3 )用 Schmidt 正交化方法求 P2 (t )的标准正交基。