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1、课时达标检测（四十三） 椭 圆 小题对点练点点落实 对点练(一) 椭圆的定义和标准方程 1若直线 x2y20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) x2 A. y21 5 x2 y2 B. 1 4 5 x2 x2 y2 C. y21 或 1 5 4 5 D以上答案都不对 解析：选 C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(2,0)，由题意知当焦点在 x 轴上时，c x2 2，b1，a25，所求椭圆的标准方程为 y21.当焦点在 y 轴上时，b2，c1，a2 5 y2 x2 5，所求椭圆的标准方程为 1. 5 4 x2 y2 2已知椭圆 C： 1，M，N 是坐标平面内的两点，且
2、M 与 C 的焦点不重合若 M 关 4 3 于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|BN|( ) A4 B8 C12 D16 解析：选 B 设 MN 的中点为 D，椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2， 1 如图，连接 DF1，DF2，因 为 F1是 MA 的中点，D 是 MN 的中点，所以 F1D 是MAN 的中位线，则|DF1| 2 1 |AN|，同理|DF2| |BN|，所以|AN|BN|2(|DF1|DF2|)，因 为D在椭圆上，所以根据椭圆的 2 定义知|DF1|DF2|4，所以|AN|BN|8. 3已知三点 P(5,2)，F1(6,0)，F
3、2(6,0)，那么以 F1，F2为焦点且经过点 P 的椭圆的短 轴长为( ) A3 B6 C9 D12 解析：选 B 因为点 P(5,2)在椭圆上，所以|PF1|PF2|2a，|PF2| 5，|PF1|5 5， 所以 2a6 5，即 a3 5，c6，则 b3，故椭圆的短轴长为 6，故选 B. 1 4.如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O，F(2 5，0)为 C 的左焦点，P 为 C 上一点，满足|OP| |OF|，且|PF|4，则椭圆 C 的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. 1 B. 1 25 5 36 16 x2 y2 x2 y2 C. 1 D. 1 30 10 45 25 x2
4、y2 解析：选 B 设椭圆的标准方程为 1(ab0)，焦距为 2c，右焦 a2 b2 点为 F，连接 PF，如图所示因为 F(2 5，0)为 C 的左焦点，所以 c 2 5.由|OP|OF|OF|知，FPF90，即 FPPF.在 RtPFF中，由勾股定理， 得|PF| |FF|2|PF|2 4 52428.由椭圆定义，得|PF|PF|2a4812， x2 y2 所以 a6，a236，于是 b2a2c236(2 5)216，所以椭圆 C 的方程为 1. 36 16 x2 5已知点 M( 3，0)，椭圆 y21 与直线 yk(x 3)交于点 A，B，则ABM 的周长为 4 _ 解 析：M( 3，0
5、)与 F( 3，0)是椭圆的焦点，则直线 AB 过椭圆的左焦点 F( 3，0)，且|AB| |AF|BF|，ABM 的周长等于|AB|AM|BM|(|AF|AM|)(|BF|BM|)4a8. 答案：8 x2 y2 6若方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是_ |a|1 a3 x2 y2 解析：因为方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，所以|a|1a30，解得 |a|1 a3 3b0)，以 O 为圆心，短半轴长为 a2 b2 半径作圆 O，过椭圆长轴的一端点 P 作圆 O 的两条切线，切点分别为 A， B，若四边形 PAOB 为正方形，则椭圆的离心率为( ) 3 A. B
6、. 2 2 2 5 C. D. 3 3 3 2 b2 1 解 析： 选 B 由题意知|OA|AP|b，|OP|a，OAAP，所以 2b2a2，即 ， 故 e a2 2 b2 a2 1 2 ，故选 B. 2 x2 y2 2已知 F1，F2为椭圆 C： 1 的左、右焦点，点 E 是椭圆 C 上的动点， EF1 9 8 EF2 的最大值、最小值分别为( ) A9,7 B8,7 C9,8 D17,8 解 析： 选 B 由题意知 F1(1,0)，F2(1,0)，设 E(x，y)，则 EF1 (1x，y)， EF2 8 1 (1x，y)，所以 EF1 EF2 x21y2x218 x2 x27(3x3)，所
7、以当 x 9 9 0 时， EF1 EF2 有最小值 7；当 x3 时， EF1 EF2 有最大值 8.故选 B. x2 y2 3焦点在 x 轴上的椭圆方程为 1(ab0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成 a2 b2 b 一个三角形，该三角形内切圆 的半径为 ，则该椭圆的离心率为( ) 3 1 1 A. B. 4 3 1 2 C. D. 2 3 1 1 解析：选 C 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积 S 2cb 2 2 b c 1 (2a2c) ，整理得 a2c，即 e .故选 C. 3 a 2 x2 y2 4已知椭圆 E： 1(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，
8、直线 l：3x4y a2 b2 4 0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，则椭圆 E 的离心 5 率的取值范围是( ) 3 3 A.(0， 2 B.(0，4 3 3 C. ，1) D.，1 ) 2 4 解析：选 A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A，B 两点到椭圆左、右焦点的距离和 |3 04 b| 4 c 为 4a2(|AF|BF|)8，所以 a2.又 d ，所以 1b2，而 e 32 42 5 a b2 b2 3 1 1 ，所以 0e . a2 4 2 3 x2 y2 5已知椭圆 1(0b0)，A，B 分别是椭圆长轴的两个端点，M，N
9、是椭圆上 a2 b2 1 关于 x 轴对称的两点，直线 AM，BN 的斜率分别为 k1，k2，若|k1k2| ，则椭圆的离心率为 4 _ x20 b 2(1a2) y0 y0 y20 b2 解 析：设 M(x0，y0)，则 N(x0，y0)，|k1k2| ax 0| x0a a2x20 a2x20 a2 1 ， 4 b2 3 从而 e 1 . a2 2 答案： 3 2 x2 7已知椭圆 y21 的左、右焦点分别为 F1，F2，以原点为圆心，椭圆的短轴为直径作 4 圆若点 P 是圆 O 上的动点，则|PF1|2|PF2|2的值是_ 解析：由椭圆方程可知 a24，b21，c2413，c 3，a2，
10、b1.F1( 3，0)，F2( 3，0) 圆 O 的方程为 x2y21.设 P(x0，y0)，则 x20y201. |PF1|2|PF2|2(x0 3)2y20(x0 3)2y202(x20y20)68. 答案：8 8.如图，椭圆的中心在坐标原点 O，顶点分别是 A1，A2，B1，B2， 焦点分别为 F1，F2，延长 B1F2与 A2B2交于 P 点，若B1PA2为钝角，则 此椭圆的离心率的取值范围为_ x2 y2 解析：设椭圆的方程为 1(ab0)，B1PA2为钝角可转化 a2 b2 为 B2A2 ，F2B1所夹的角为钝角，则(a，b)(c，b)0，即 b2ac，则 a2c2 c c 51
11、51 51 ac，故 (a ) 2 10，即 e 2e10，e 或 e ，又 0e1，所以 a 2 2 2 e1. 4 答案：( 51 ，1) 2 大题综合练迁移贯通 x2 y2 1已知椭圆 1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直 a2 b2 线 AF2交椭圆于另一点 B. (1)若F1AB90，求椭圆的离心率； 3 (2)若 AF2 2 F2B ， AF1 AB ，求椭圆的方程 2 解：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有 OAOF2，即 bc. c 2 所以 a 2c，e . a 2 (2)由题知 A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,
12、0)，其中 c a2b2，设 B(x，y) 由 AF2 2 F2B ，得(c，b)2(xc，y)， 3c b 3c b 解得 x ，y2，即 B( 2). ， 2 2 9 b2 c2 x2 y2 4 4 将 B 点坐标代入 1，得 1， a2 b2 a2 b2 9c2 1 即 1，解得 a23c2. 4a2 4 3c 3b 3 又由 AF1 (c，b)( ， AB 2) ， 2 2 得 b2c21，即有 a22c21. 由解得 c21，a23，从而有 b22. x2 y2 所以椭圆的方程为 1. 3 2 x2 y2 2设 F1，F2分别是椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点，M 是 C 在第一象限上一点且 a2 b2 MF2与 x 轴垂直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率； 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N|，求 a，b. b2 解：(1)根据 c a2b2及题设知 M(c， a )， b2 0 3 a 3 由 kMNkMF1 ，得 ，即 2b23ac. 4 c c 4 5