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1、2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试数学试卷注意事项:1.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方2.答题时，请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效3.请保持卡面清洁，不折叠，不破损考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合，若，则实数的值为 .2.已知复数（是虚数单位），则 .3.已知向量，若，则实数等于 . 第6题4.一个算法的流程图如图所示，则输出的值为 .开
2、始 i1 , S0i 10 输出SY SS+ iii +1 结束 N第4题第5题5.如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则所剩余分数的方差为 （茎表示十位数字，叶表示个位数字）6.如图，已知正方体的棱长为，为底面正方形的中心，则三棱锥的体积为 .7. 已知函数（为常数且），若在区间的最小值为，则实数的值为 .8. 已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数总有，且，则 .9. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.若在上为增函数，则的最大值为 . 10.已知函数，其中，则此函数在区间上为增函数的概率为 .11.对于问题：“已知关于的不等式
3、的解集为，解关于的不等式解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为 ”，给出如下一种解法：参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . xyOFBQP第13题12.如图，在平面四边形中，若， 则 .A第12题CDB13.如图，已知椭圆的方程为：，是它的下顶点，是其右焦点，的延长线与椭圆及其右准线分别交于、两点，若点恰好是的中点，则此椭圆的离心率是 .14.若函数的定义域和值域均为，则的取值范围是 _.参考答案：1. ； 2.； 3.； 4.； 5.； 6. ； 7. ；8. ； 9.； 10. ； 11.； 12.； 13. ； 14.二、解答题: 本大题共6小题，
4、 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分请在答题卡指定的区域内作答， 解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤15.在平面直角坐标系中，点在角的终边上，点在角的终边上，且（1）求的值；（2）求的值解：（1）因为，所以，即，所以，所以6分 （2）因为 ，所以，所以， 又点在角的终边上，所以， 同理 ，所以14分CBAA1B1C1D16.如图，在正三棱柱中，点是棱的中点求证：（1）；（2）平面证明：（1）因为三棱柱是正三棱柱，所以平面，又平面，所以， 2分又点是棱的中点，且为正三角形，所以，因为，所以平面，4分又因为平面，所以6分(2)连接交于点，再连接CBAA1B1C1DE 因
5、为四边形为矩形，所以为的中点，又因为为的中点，所以.又平面，平面，所以平面14分17. 设为数列的前项和，若（）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”（1）若数列是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列是否为“和等比数列”；（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，且数列是“和等比数列”，试探究与之间的等量关系解：（1）因为数列是首项为2，公比为4的等比数列，所以，因此2分设数列的前项和为，则，所以，因此数列为“和等比数列”6分(2) 设数列的前项和为，且， 因为数列是等差数列，所以， 所以对于都成立，化简得，10分 则，因为，所以，因此与之间的等量关系为14分18.已知抛物线的顶点在坐标原点
6、，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。解：（1）设抛物线的方程为，因为准线的方程为，所以，即，因此抛物线的方程为 4分（2）由题意可知，,则直线方程为：，即，8分设圆心在轴上，且与直线相切的圆的方程为，则圆心到直线的距离， 10分即或 由可得对任意恒成立，则有，解得（舍去）14分由可得对任意恒成立，则有，可解得因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，圆的方程为.16分19.一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为的四分之一圆弧，分别与圆弧相切于，两点，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是
7、（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点设，试用表示木棒的长度；NMABCDEFGHPQ1m1m（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值NMABCDEFGHPS1m1mTQW解：(1)如图，设圆弧所在的圆的圆心为，过点作垂线，垂足为点，且交或其延长线与于，并连接，再过点作的垂线，垂足为在中，因为，所以因为与圆弧切于点，所以，在，因为，所以，若在线段上，则在中，因此若在线段的延长线上，则在中，因此8分（2）设，则，因此因为，又，所以恒成立，因此函数在是减函数，所以，即答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为16分20.
8、已知函数（不同时为零的常数），导函数为.（1）当时，若存在使得成立，求的取值范围；（2）求证：函数在内至少有一个零点；（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.解：（1）当时，=，其对称轴为直线，当 ，解得，当，无解，所以的的取值范围为4分（2）因为，法一：当时，适合题意6分当时，令，则，令，因为，当时，所以在内有零点当时，所以在（内有零点 因此，当时，在内至少有一个零点综上可知，函数在内至少有一个零点10分法二：，由于不同时为零，所以，故结论成立 (3)因为=为奇函数，所以, 所以，又在处的切线垂直于直线，所以，即因为所以在上是増函数，
9、在上是减函数，由解得，如图所示，当时，即，解得；当时， ，解得；当时，显然不成立；yO1x-1当时，即，解得；当时，故所以所求的取值范围是或数学附加题部分（考试时间30分钟，试卷满分40分）21【选做题】在A，B，C，D四个小题中只能选做2个小题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.选修41：几何证明选讲ABCDEF如图，在中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F，求的值ABCDEFM解：过D点作DMAF交BC于M，因为DMAF，所以，分因为EFDM，所以，即分又，即，分所以，因此10分B.选修42：矩阵与变换已知矩阵
10、，求矩阵的特征值及其相应的特征向量解：矩阵的特征多项式为，分令，解得，分将代入二元一次方程组 解得，分所以矩阵属于特征值1的一个特征向量为；分同理，矩阵属于特征值2的一个特征向量为10分C.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P的直角坐标.解:因为直线的极坐标方程为所以直线的普通方程为，分又因为曲线的参数方程为（为参数）所以曲线的直角坐标方程为， 分联立解方程组得或，分根据的范围应舍去,故点的直角坐标为10分D.选修45：不等式选讲已知函数（为实数）的最小值为，若，求的
11、最小值解：因为，2分所以时，取最小值，即，5分因为，由柯西不等式得，8分所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为 10分22【必做题】某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分现有一位参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为、，记该参加者闯三关所得总分为（1）求该参加者有资格闯第三关的概率；（2）求的分布列和数学期望解：设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为、，该参加者有资格闯第三关为事件则；4分(2)由题意可知，的可能取值为、， ，所以的分布列为8分所以的数学期望
12、10分23.【必做题】如图，已知抛物线的准线为，为上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，再分别过，两点作的垂线，垂足分别为，（1）求证：直线必经过轴上的一个定点，并写出点的坐标；（2）若，的面积依次构成等差数列，求此时点的坐标ABCDNOxy解法一：（1）因为抛物线的准线的方程为，所以可设点的坐标分别为，则， 由，得，求导数得，于是，即，化简得，ABCDNOxyEQ同理可得，所以和是关于的方程两个实数根，所以，且在直线的方程中，令，得=为定值，所以直线必经过轴上的一个定点，即抛物线的焦点5分(2)由（1）知，所以为线段的中点，取线段的中点，二次函数配方成则抛物线的因为是抛物线的焦点
13、，所以，所以，所以，又因为，3. 圆的对称性:所以，成等差数列，即成等差数列，点在圆外 dr.即成等差数列，所以，所以，抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。时，时，所以所求点的坐标为2.正弦：10分锐角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.解法二：（1）因为已知抛物线的准线的方程为，所以可设点的坐标分别为，则，设过点与抛物线相切的直线方程为，与抛物线方程联立，消去得，因为直线与抛物线相切，所以，即，解得，此时两切点横坐标分别为，在直线的方程中，令得=为定
14、值，如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则所以直线必经过轴上的一个定点，即抛物线的焦点5分（2）由（1）知两切线的斜率分别为，则，所以，3、第五单元“加与减(二)”，第六单元“加与减(三)” 在“加与减”的学习中，结合生活情境，学生将经历从具体情境中抽象出加减法算式的过程，进一步体会加减法的意义;探索并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)和连加、连减、加减混合的计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。连接，则直线斜率为，又因为直线的斜率，所以，所以，又因为，所以，所以和的面积成等差数列，所以成等差数列，所以成等差数列，所以，所以，时，时，所以所求点的坐标为 10分