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1、,2.4.1 抛物线及其标准方程,喷泉,复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线有共同的几何特征：,都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线(其中定点不在定直线上)的距离的比是常数e的点的轨迹.,(2) 当e1时，是双曲线;,(1)当0e1时,是椭圆;,那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？,在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,点F叫抛物线的焦点,直线l 叫抛物线的准线焦点到准线的距离焦准距p,d 为 M 到 l 的距离,准线,焦点,d,一、抛物线的定义:,l,以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系
2、xoy.,两边平方,整理得,M(x,y),F,二、标准方程的推导,依题意得,这就是所求的轨迹方程.,若以准线以 为 轴：过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点 设动点点 ，由抛物线定义得：,化简得：,二、抛物线标准方程的推导,解法二：以定点 为原点，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点 ， 的方程为,设动点 ，由抛物线定义得,化简得：,二、标准方程的推导,三、抛物线的标准方程,把方程 y2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程.其中焦点在 x 轴正半轴上开口向右.,焦点坐标是,准线方程为:,想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线
3、方程的形式简单 ？,方案(1),方案(2),方案(3),方案(4),y2=-2px(p0),x2=2py(p0),y2=2px(p0),x2=-2py(p0),方程的特点:(1)顶点在原点(1)左边是二次式,右边是一次式;一次定焦点，正负定方向(2)P是焦点到准线的距离,四四种抛物线的对比,课堂练习：,1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程 是x = ；,（3）焦点到准线的距离是2。,y2 =12x,y2 =x,y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y,2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2 = 20 x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0,（5，0）,x=-5,（0，-2）,y=2,思考：,二次函数 的图象为什么是抛物线？,当a0时与当a0时，结论都为：,焦点的非零坐标为一次项系数的1/4,例4：已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标,P,A(3,2),抛物线应用于求最值问题,