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二、非线性递推数列目的要求：掌握常见的非线性递推数列的通项求法（化为：一阶线性、恒等变形、 不动点法、数归法、母函数法等）重点：（难点）根据其特点采用相应方法求1、分式递推数列： 若，则 令其为 （一阶线性） 若，用不动点法（P166 TH10）例1、，求解：即 则例2、，求解：变形： 令（化为型） 则 是等差且常1 / 5 题中恰好是的根，即为的不动点TH9 P166TH10 P166 则 是等比 是等差2、其他非线性递推数列 恒等变形后 （书上例10、11、12）例10、，求解：变形 （非连续二项） 即： （为常数列） 二阶常线性齐次 （特征根法）例12、解：变形，即： 迭代 例11、 求证：解：（猜测后证明）适用于递推关系复杂，不便求（或证明）时，时，1） 猜测：（再证：为整数，则为（0，1）内的纯小数）2）数学归纳法证明，设 n=0、1、2显然成立 假设n=k时，结论成立，则n=k+1时 由 又 则 （为记k取 奇、偶数，恒为） 猜测成立2） 再证为整数 为整数，为（0，1）内的纯小数 对任意自然数n，例15、母函数法将数列当多项式函数联系是研究组合数性质的有效方法之一一般：多项式称为数列的母函数（有限、无限均可）而母函数可求和函数，从而可借助母函数求线性递推数列的通项例15、解：（显然特征根法可求）现用母函数法 令 设法求出，即可求 寻求 由 +得：