指纹密码参考模板.doc

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1、2015年数学建模与仿真课程论文题目：找出你的指纹密码姓名：学院：专业：学号：选课老师：2015年月日1 / 44摘要人的指纹各不相同，指纹可以用来确定人的身份。在众多的生物识别技术中，指纹识别是出现最早、应用最广、价格最为低廉的一种生物识别技术。目前，指纹识别相关的研究一直十分活跃，它集光学传感器技术、电子技术、数字图像处理、模式识别于一体，吸引了大量研究者的注意和参与。想要更好地利用指纹识别技术，必须在指纹的特征提取上进行优化。本文针对不同的指纹给出了普遍适用且较为精准的指纹基本特征的表示方法。在此基础上，利用不同指纹的基本特征的表示结果对不同的指纹进行对比区分，进而实现指纹的匹配。针对问

2、题一，我们需要对指纹的基本特征进行提取并表示。首先，我们对指纹图像利用二值化和细化处理进行了图像预处理，修复图像采集中的指纹线条信息的丢失；其次，对处理后的图像进行特征总结提取；最后，利用相邻特征点的特征向量对其进行表示。为了减少字节数，我们在图像预处理前进行了归一化和均衡化的处理，使得特征信息更为精简。事实证明，我们的表示方法能由指纹唯一确定。针对问题二，对每一指纹进行“指纹密码”描述，只需要将问题一中的模型普遍化，推广为一般模型即可，然后通过matlab实现算法过程。比较不同指纹间的异同及相似程度即对指纹进行匹配，相似程度高的则越匹配，反之则越不匹配。对指纹进行匹配采用了特征匹配算法，抓住

3、特征点的匹配程度衡量指纹之间的相似性。针对问题三，首先，我们先对不同特征的指纹进行分类，主要分为五类，包括弓型、螺旋型、斗篷型、左旋、右旋。其次，通过指纹的密码表示，将具有相同特征的指纹提取出来归为一类，从而实现了对指纹的分类。关键词：指纹 指纹密码 指纹匹配 指纹匹配 二值化 细化 特征提取 目录：摘要2一、 问题的背景4二、 问题的提出与重述4三、 基本假设5四、 模型的主要符号变量说明5五、 问题的分析55.1问题一的分析55.2问题二的分析55.3问题三的分析5六、 问题一的模型建立与求解66.1刻画描述指纹基本特征的表示方法66.1.1图像预处理阶段66.1.1.1切割66.1.1.

4、2均衡化处理76.1.1.3归一化处理与二值化处理76.1.1.4细化并且去除毛刺处理阶段96.1.2 特征提取阶段136.2进一步压缩字节数146.3“指纹密码”的唯一性15七、 问题二的模型建立与求解157.1对每一指纹的“指纹密码表示”157.2比较不同指纹的异同及相似程度157.2.1指纹数字图像匹配过程157.2.1.1 中间点定位157.2.1.2建立特征模板157.2.1.3定义匹配点167.2.2指纹数字图像的匹配算法16八、 问题三的模型建立与求解16参考文献17附录18一、 问题的背景人的指纹各不相同，指纹可以用来确定人的身份，指纹识别技术作为最传统、最成熟的生物识别方式之

5、一，已经在很多领域得以应用。如何对指纹的基本特征进行有效提取制约着指纹识别技术的发展。对指纹的特征进行更为完善、精准、简洁地表示是我们当前最重要的任务，只有做好这一步，才能使得指纹匹配进行的更加顺利，指纹识别技术有质的飞跃。二、 问题的提出与重述人的指纹各不相同，里面藏着很多秘密。指纹可以用来确定人的身份，广泛用于刑侦、加密、考勤等领域，最近还出现了用指纹进行手机解锁等应用。还有一些人声称指纹与人的健康、性格、命运等都有一定的联系。指纹传统上以图像格式存储，一般占用较多的空间，且图像里面的像素信息并不易用来进行分析或比对。为发现指纹中隐藏的秘密，我们需要有一种方法来描述指纹的内在结构、具体形态

6、和其它特征并将其用最少的字节数来存储于计算机中。试根据下图中的指纹例子，不借助现有的指纹相关算法及软件，来尝试进行一次“指纹密码”发现之旅。问题1：以第一个指纹为例，给出一种用不超过200字节（下面称为“指纹密码”）来刻画描述指纹基本特征的表示方法，介绍其数学原理。你能否进一步压缩表示指纹特征的字节数？对可能性予以讨论。你给出的“指纹密码”能否由指纹唯一确定？问题2：将你的方法编程实现，对每一幅指纹都给出其“指纹密码”的表示。基于你找到的这些指纹表示，你能否给出一种方法比较不同指纹间的异同及相似程度？问题3：你能否对以下16个指纹进行对比和归类？请给出你对比及分类的依据和结果。三、 基本假设1

7、.建模过程中不考虑指纹图像质量对各异性的影响。即假设所有的图像都是标准的图像。四、 模型的主要符号变量说明G(i,j)是像素点(i，j)的灰度值M和VAR是估计的指纹平均灰度和方差对于具有256级灰度的指纹图像，.取M0=150 VAR0 = 2000 f(Pi)是原图像Pi点处的灰度值，N是领域S(Pi)内的像素个数。g(Pi)是二值化处理后Pi点处的灰度值。五、 问题的分析5.1问题一的分析 问题一需要实现对指纹基本特征的提取，在此基础上，进一步简化基本特征的表示，并判断“指纹密码”表示的唯一性。首先，为了使得指纹图像更加完整，信息更加健全，我们对指纹图像进行了图像预处理，依次进行二值化处

8、理和细化处理，得到更为完善的指纹图像；其次，通过总结指纹特征点的几何特征，提取指纹特征点的必要信息；最后，通过设计一种基于相邻特征点的特征向量达到对指纹基本特征的表示。以上过程实现了对指纹基本特征的表示。在此基础上，为了使得字节数更少，我们必须优化特征提取方案，可以在图像预处理之前进行均衡化和归一化处理，使指纹图像的特征信息更为集中从而减少了字节数。最终通过指纹进行验证“指纹密码”能否由指纹唯一确定。5.2问题二的分析 将指纹的基本特征的表示方法用matlab实现，即将二值化，细化特征提取用编程语言进行实现。对不同指纹的异同及相似程度分析转换为指纹的匹配程度进行刻画，抓住特征点的匹配程度衡量指

9、纹的匹配度，从而得出指纹的相似程度。5.3问题三的分析根据上面两问，利用上面的代码，分别两两匹配，分别匹配归类。六、 问题一的模型建立与求解6.1刻画描述指纹基本特征的表示方法对指纹的基本特征进行描述采取以下算法，如图6.1所示：归一化均衡化指纹图像切割处理毛刺细化二值化 特征值提取图6.16.1.1图像预处理阶段优秀的指纹图像预处理方法能够修复图像采集中的指纹线条信息的丢失，减小指纹传感器采集高质量指纹图像的压力，同时能够为下一步的特征点提取提供一幅完整的局部指纹图像。6.1.1.1切割切割是指将不需要计算的空白的地方切去，可以使后面的计算点大大减少以提高处理的速度，切割的算法是分别从四边进

10、行逐行(逐列)的扫描，遇到像素值不等于255的则退出当前方向的切割，否则将这一行切去。（详情见代码1） 处理前 处理后6.1.1.2均衡化处理指纹图像的灰度变换就是对指纹图像进行点运算。对于一幅输入图像，经过点运算将产生一幅输出图像，后者的每个像素点的灰度值仅由相应输入像素点的灰度值决定。点运算不改变图像内的空间关系。通过点运算可以扩展图像中感兴趣部分的对比度，因而有时也称为对比度增强。图像均衡化的目的就是增加灰度图像的对比度。1并且在这里将整个图像分成了8x8的小块，分块进行处理计算公式为：（详情见代码2）某点处像素新值=255x小于等于该点处像素灰度值的象素数量/图像所有像素数量处理结果：

11、6.1.1.3归一化处理与二值化处理一：归一化为了实现对不同灰度值的图像进行统一处理，需要对图像进行归一化处理。归一化处理的目的是调整指纹图像的灰度均值和方差接近期望均值M0,V0。归一化不改变脊线和谷线的清晰度，但可以减少沿着脊线和谷线方向上灰度的变化。采用下面的方法进行归一化2，（详情见代码3）(公式6-1)对以上的每一点都进行如下处理：(公式6-2)上述均衡化过程中，M0和VAR的值必须预先确定。但是从传感器差得的指纹图像因为压力或噪声的影响，图像的灰度分布可能存在很大的不同。通过实验发现，这种自适应的均衡化对增强后的特征提耳的改善作用不是特别显著。二：二值化（1）二值化的定义二值化处理

12、即对指纹图像中像素的灰度值与阈值进行比较判断，从而把灰度值变为 0 或 255，其中0表示脊线子图，255表示背景子图，就是把灰度图像变为黑白图像的过程。（2）阈值的计算本题采用了局部阈值法中的分块均值法。由于指纹图像的特点是纹线和谷线交错有序地排列,纹线和谷线上的点的数量大致相当,因此,简单地求取灰度平均值即可得到分块区域的阈值。计算公式如下：（详情见代码4） (公式6-3)f(Pi)是原图像Pi点处的灰度值，N是领域S(Pi)内的像素个数。（3）二值化的处理二值化处理的公式： 公式（6-4）g(Pi)是二值化处理后Pi点处的灰度值。 二值化处理前的图像 二值化处理后的图像6.1.1.4细化

13、并且去除毛刺处理阶段 图像细化就是将峭的宽度降为单个像素的宽度，得到峭线的骨架图像的过程。这个过程进一步减少了图像数据量，清晰化了峭线形态，为之后的特征值提取作好准备。由于我们所关心的不是峭线的粗细，而是峭线的有无。因此，在不破坏图像连通性的情况下必须去掉多余的信息。因而应先将指纹峭线的宽度采用逐渐剥离的方法，使得峭线成为只有一个象素宽的细线，这将非常有利于下一步分析。而毛刺，带有非常短的分支而被误认为是分叉。认识到合法的和不合法的节点后，在特征提取阶段排除这些节点。指纹图像预处理的目的主要是为特征值提取的有效性、准确性作好准备。细化处理阶段采用并行方式进行细化。如下几个过程。具体的步骤如下：

14、先对图形做3x3的滤波处理、如图 6.1 建立待测点的 14 象限模型 p 点为待检测点，又其为中心，依次列为 p1到 p14。P1P2P3P12P4PP5P13P6P7P8P14P9P10P11然后,通过与如图6.2所示的 8 个消除模板图像进行对照，如果不匹配，则保留 p 点，如果匹配，则进入下一环节。0X10110x1000x1x111111x1x0001X01101x0x00110x1x00x011x1xx1x110x00x1x01100x图6.2消除模板模型进入此环节的待测点再与图6.3中的 6 个保留模板进行对照，如果匹配，则保留，如果不匹配，则把待测点 p点进行删除xx1x011

15、0xx00xxxxx1x00110x1x0xxxxx0xxx1xx110xx00xx0xx111xx1xx000xxx000110xx1xxxxxx0xxx1xx011x00xx图6.3保留模板模型待测点p点检测完毕，进入下一p点循环。如图6.4细化处理的流程建构待测点的14象限结构是与消除模板匹配？进入下一点检测否否保留该点与保留模板匹配？是待测点删除本待测点检测完毕图6.4（详情见代码5）最终得到细化图像如图6.5所示。图6.5细化处理后图像相对于指纹图像的二值化来说，指纹图像的细化大大减少了指纹图像的存储空间，去除了大量的冗余信息，提高了指纹识别的效率。6.1.2 特征提取阶段指纹特征点

16、在二值化和细化之后，会有着一些较为明显的拓扑性质。本阶段，通过分析指纹特征点的拓扑形状，总结出提取指纹特征点的公式。然后，通过对指纹图像细化后的脊线上的像素点计算该公式，完成指纹图像特征提取工作。（1）端点提取由于指纹图像已经进行了二值化和细化的处理，每一点的灰度值只能为 0 或 255，本文则以待检测点为中心，以一个像素距离的 8 个点为边界建立 8 象限模板图形。如图6.6所示，图像正中间的 A 点即为待检测点。如果待测点为端点，则其满足此 8 象限模板图形中相邻像素点灰度值之差的绝对值为 2*255。AA图6.5指纹实际纹线端点（左）和端点 8 像素模型（右）具体的提取方法为：扫描某一待

17、测点，如果其周围相邻的 8 个点两两灰度值之差的绝对值之和为 2*255，则此点即为端点。(2)分叉点提取由于指纹图像已经进行了二值化和细化的处理，每一点的灰度值只能为 0 或 255，本文则以待检测点为中心，以一个像素距离的 8 个点为边界建立 8 象限模板图形。如图6.6所示，图像正中间的黑点即为待检测点，如果待测点为分叉点，则其满足此 8 象限模板图形中相邻点像素灰度值之差的绝对值为 2*255。BB图6.6指纹实际纹分叉点（左）和分叉点 8 象限模型（右）具体的提取方法为：扫描某一待测点，如果其周围相邻的 8 个点两两灰度值之差的绝对值之和为 6*255，则此点即为分叉点。其中提取的主

18、要算法是：(abs(f(i-1,j+1)-f(i,j+1)+abs(f(i-1,j)-f(i-1,j+1)+abs(f(i-1,j-1)-f(i-1,j)+abs(f(i,j-1)-f(i-1,j-1)+abs(f(i+1,j-1)-f(i,j-1)+abs(f(i+1,j)-f(i+1,j-1)+abs(f(i+1,j+1)-f(i+1,j)+abs(f(i,j+1)-f(i+1,j+1)=6)&(f(i-1,j+1)+f(i,j+1)+f(i-1,j)+f(i-1,j-1)+f(i,j-1)+f(i+1,j-1)+f(i+1,j)+f(i+1,j+1)=5)（详情见代码6）6.2进一步压缩

19、字节数为了使得字节数更少，存储更加精简，我们对表示方案进行改进，在图像预处理之前对指纹图像进行归一化和均衡化处理，这样使得指纹的无用信息进一步减少，从而使得指纹的存储更加精简。并且通过条件控制特征值提取的数量。经过以上步骤，实现了对指纹的特征提取，经验证，表示方法小于200字节。6.3“指纹密码”的唯一性 经过实验验证，指纹密码可由指纹唯一确定。七、 问题二的模型建立与求解7.1对每一指纹的“指纹密码表示” 将问题一中的对一个指纹的基本特征表示推广即得到对指纹基本特征表述的普遍方法。利用matlab软件编程实现的过程见附录。 7.2比较不同指纹的异同及相似程度将比较不同指纹的异同及相似程度转化

20、为指纹匹配问题。7.2.1指纹数字图像匹配过程在指纹数字图像匹配之前，要先提取出指纹数字图像的中间点，再建立特征模板，这些都是为指纹数字图像进行匹配做的准备工作。7.2.1.1 中间点定位中间点是指指纹数字图像的脊曲线曲率最大的点，在本文的匹配算法中，将中间点作为匹配参考点。这里选取的中间是指纹数字图像中间的一个小范围，先求出指纹数字图像的点方位，相邻 8 个灰度数值之和的平均数值，再求这 8 个灰度数值与平均数值之差的和，最小的所在的方位即此点所在指纹数字图像脊线的。方位，从而得到点方位图。把点方位图分为 1616 大小的小块，对每块计算直方图，其峰数值方位即为块方位，即每块中点的主导方位。

21、然后在这个粗的块方位图上按照以下原则去搜索中间范围，逐行检查块方位数组。然后再根据求出各个方位的角度以及相邻 8 个灰度数值之和的平均数值，再求这 8 个灰度数值与平均数值之差的和，最小的所在的方位即此点所在指纹数字图像脊线的方位，这样就得到了点方位图。7.2.1.2建立特征模板如前所述，端点及交叉点是指纹细化图像的主要特征，我们可以采用这两种主要特征来构造指纹的特征向量模板。特征端点分类为 1，特征分叉点分类为 2；建立特征端点相对中间点的距离向量，和特征分叉点相对中间点的距离向量；建立特征端点相对中间点的方位向量，和特征分叉点相对中间点的方位向量。对于一幅彻底细化的指纹图像来说，只有三种纹

22、线点：(1)C n(P)=1，S n(P)=1，称为端点；(2)Cn(P)=2，Sn(P)=2，3，4，称为连续点；(3)C n(P)=3，S n(P)=3，称为叉点。设提取的特征点集用 P(P1，P2，Pn )表示，其中 n 为所提取的特征37点的个数，Pi=(Xi ，Yi ，Ti，Ai)，Xi，Yi 表示特征点的坐标；Ti 表示特征点的类型，当特征点为端点时 Ti=1，当特征点为端点时 Ti =2；a 表示特征点的角度，端点的角度取从端点为起点的端线的角度。端线及分支的角度求法为：从特征点开始搜索连续点直到搜到另一个特征点或步长达到 7，设搜索到的最后一点为(X，Y)，有：其对应的Ti=s

23、qrt(X-X0)2+(Y-Y0)2)ai=(X-X0)/(Y-Y0)(公式7-3)7.2.1.3定义匹配点PointOfModel（点集合 P 中的特征点）是从输入的指纹数字图像中提取出来的，另外一个匹配点 PointOfMatch（点集合 Q 中的特征点）则是从指纹数字图像库中提取出来储存在模板库中的，将两组点集合进行比对。7.2.2指纹数字图像的匹配算法具体的算法步骤描述如下：（1）分别读取两个特征点集合中的特征点；（2）对特征点进行分类。定义取“1”时，归属特征点端点分类，取“2”时，归属特征点分叉点分类；（3）分别计算他们相对于中间点的方位向量和距离向量；（4）定义一个误差值e1,e

24、2若两个特征点的距离向量之差小于“e1”且两个特征点的方位向量小于等于e2，则认为两个特征点匹配；如果被匹配的特征点的特征值（Ti,ai）与模板的（T,a）的误差值（e1i,e2i）小于（e1,e2）,那么认为该点匹配，如果被匹配的图大部分特征点与模板匹配，则认为这两个模板是匹配的。（5） 若不满足（4）的限定条件则认为不匹配，并移除。（详情见代码7）八、 问题三的模型建立与求解指纹分类是指根据指纹的全局特征将指纹分别归属到不同的类别中的过程。一般的，指纹数字图像按其基本指纹线路可分为五类，包括弓型、螺旋型、斗篷型、左旋、右旋等等。但是每个人的特征又都不尽相同。经过两两匹配，发现一部分能够成功

25、匹配，而另外一部分则差别较大，原因还是有比较多的。主要原因：1. 模型还不够完善。2. 录取指纹的时候由于按压力度的不同，出现了很多伪特征点，或者特征点没有显现出来，缺少信息3. 指纹通过按压有些变形，且指纹方向不一，也导致结果的偏差。参考文献1 Zhang D. Automated Biometrics: Technolo廖es and SystemM. USA: Kluwer AcademicPublishers,20002田捷，杨鑫.生物特征识别技术理论与应用M.北京:电了工业出版社.20053A.K.Jain Lin Hong Sharath Pankanti.An identity

26、authentication system using fingerprintsJ.Proceeding of the IEEE.1997，86(9):1365一1388.4李海雄，刘国洁.活体指纹识别系统及其应用J.计算技术与白动化.2003, 22（4）:68-705黄裕霞.指纹图像处理中若干算法的研究D. 19966 Maio, D., Maltoni, D., Cappelli, R., Wayman, J.L, A. K. Jain, FVC2002: Second FingerprintVerification CompetitionC. Pattern Recognition,

27、2002. Proceedings. 16th InternationalConference on Volume 3, Issue，2002 Page(s): 811一814 vo1.37胡海威，公绪成，孙立民.基于二值图像的指纹特征点快速提取算法J.广西师范大学学报2009 Vol. 27 No. 3, 162一165.8丁裕锋，马利庄，聂栋栋等.Gabor滤波器在指纹图像分割中的应用J.中国图象图形学报.2004, 9: 1037一10419公绪成，孙立民，郑植庆.改进的指纹奇异点检测算法J.烟台大学学报(白然科学与工程版).2010, 23(02):132-137.10李雄伟.指纹匹配

28、算法研究D.沈阳工业大学，200611吴夏平，土福明，赵景媛.基于Gabor滤波器的指纹图像增强研究J.现代电了技术.2008,20:145一147附录代码1m,n=size(f);for j=n:-1:1 k=0; for i=1:m if(f(i,j)=100) k=1; break; end end if(k=0) f(:,j)=; else break endendsizef=size(f); for j=1:1:sizef(1,2) k=0; for i=1:m if(f(i,j)=100) k=1; break; end end if(k=0) e=j; break endendf

29、(:,1:e)=;sizef=size(f); for i=sizef(1,1):-1:1 k=0; for j=1:sizef(1,2) if(f(i,j)=100) k=1; break; end end if(k=0) f(i,:)=; else break endendsizef=size(f); for i=1:1:sizef(1,1) k=0; for j=1:sizef(1,2) if(f(i,j)100) k=1; break; end end if(k=0) e=i; break endendf(1:e,:)=;sizef=size(f); modfx16=mod(sizef

30、(1,1),32);modfy16=mod(sizef(1,2),32); for i=modfx16:-1:1 f(i,:)=;end for j=modfy16:-1:1 f(:,j)=;end代码2function y=junheng(f)sizef=size(f);ff=f(:);sizeff=size(ff);unit=sizeff(1,1);null1=ones(1,unit);for i=1:unit-1 for j=i:unit if(ff(i)ff(j) null1(i)=null1(i)+1; elseif(ff(i)=ff(j)&(ff(i)150) null1(j)=n

31、ull1(j)+1; null1(i)=null1(i)+1; end endendfor i=1:unit ff(i)=255*null1(i)/unit;endff(8000:8010)y=reshape(ff,sizef(1),sizef(2);end代码3function y=guiyi(x,m)sizef=size(x);a=sizef(1,1);b=sizef(1,2);x1=double(x);a1=a/m;b1=b/m;M0=mean2(x1);V=std2(x1);V0=V*V;M1=M0*0,6;V1=V0-2;T=50;a3=1;b3=1;for i=1:a for j=

32、1:b if x1(i,j)M0 result(i,j)=M1+sqrt(V1*(x1(i,j)-M0)*(x1(i,j)-M0)/V0); else result(i,j)=M1-sqrt(V1*(x1(i,j)-M0)*(x1(i,j)-M0)/V0); end endendfor k=1:a1 for l=1:b1 M2=mean2(result(a3:(a3+m-1),b3:(b3+m-1); V2=std2(result(a3:(a3+m-1),b3:(b3+m-1); V3=V2*V2; if V3T for i1=a3:a3+m-1 for j1=b3:b3+m-1 result

33、(i1,j1)=255; end end end end b3=b3+m; end b3=1; a3=a3+m;end代码4function f= erzhi(f )sizef=size(f);cell1=sizef(1,1)/8;cell2=sizef(1,2)/8; f=double(f);cell16=mat2cell(f,ones(sizef(1,1)/cell1,1)*cell1,ones(sizef(1,2)/cell2,1)*cell2);%8x8fff=cell16;for i=1:8 for j=1:8fffi,j=fffi,j(:); endend sum=zeros(8,

34、8);for i=1:8 for j=1:8 for m=1:cell1*cell2 sum(i,j)=sum(i,j)+fffi,j(m); end endend ave=sum/(cell1*cell2); for i=1:8 for j=1:8 for m=1:cell1*cell2 if(fffi,j(m)=3 u(x,y)=1; else u(x,y)=u(x,y); end end endendfor a=2:m-1 for b=2:n-1 if u(a,b)=1 if abs(u(a,b+1)-u(a-1,b+1)+abs(u(a-1,b+1)-u(a-1,b)+abs(u(a-

35、1,b)-u(a-1,b-1)+abs(u(a-1,b-1)-u(a,b-1)+abs(u(a,b-1)-u(a+1,b-1)+abs(u(a+1,b-1)-u(a+1,b)+abs(u(a+1,b)-u(a+1,b+1)+abs(u(a+1,b+1)-u(a,b+1)=1; if (u(a,b+1)+u(a-1,b+1)+u(a-1,b)*(u(a,b-1)+u(a+1,b-1)+u(a+1,b)+(u(a-1,b)+u(a-1,b-1)+u(a,b-1)*(u(a+1,b)+u(a+1,b+1)+u(a,b+1)=0; u(a,b)=0; end end end endendv=u;v=b

36、wmorph(v,hbreak,Inf);w=bwmorph(v,thin,Inf);for x=2:m-1 for y=2:n-1 if w(x,y)=1 if(w(x-1,y)=1&w(x,y-1)=1)|(w(x-1,y)=1&w(x,y+1)=1)|(w(x,y-1)=1&w(x+1,y)=1)|(w(x+1,y)=1&w(x,y+1)=1); w(x,y)=0; end end endendf=w; sizef1,sizef2=size(f);for i=2:1:sizef1-1 for j=2:1:sizef2-1 if (f(i,j)=0) if(f(i-1,j)=0&f(i,j+1)=0)|(f(i-1,j)=0&f(i,j-1)=0)|(f(i+1,j)=0&f(i,j-1)=0)|(f(i,j+1)=0&f(i+1,j)=0) f(i,j)=1; else f(i,j)=0; end end en