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1、2021/6/7,1,8.1 - 矩阵,定义,举例,2021/6/7,2,用 - 矩阵的性质，证明若尔当标准形的主要定理.,以数域 P 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.,2021/6/7,3,若A为数字矩阵, 则 E-A 为一个 矩阵.,2021/6/7,4,P 中的元素可以作加、减、乘三种运算,并且它们与数的运算有相同的运算规律.,而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法,与乘法，因此，可同样定义 - 矩阵的加法与乘法,它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.,2021/6/7,5,同样可以定义一个 n n 的 - 矩阵的行列式.,一般地， - 矩阵的行列式是 的一个多项式, 它与,数字矩
2、阵的行列式有相同的性质.,例如, 对于 - 矩,阵的行列式，矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积,2021/6/7,6,Def. 1 如果 - 矩阵 A() 中有一个 r ( r 1 )级子,式不为零，而所有 r + 1 级子式 (如果有的话)全为零,则称 A() 的秩为 r . 零矩阵的秩规定为零.,2021/6/7,7,Def. 2 一个 n n 的 - 矩阵 A() 称为可逆的，,如果有一个 n n 的 - 矩阵 使,A() B() = B() A() = E , (1),这里 E 是 n 级单位矩阵.,适合 (1) 的矩阵 B() (它,是唯一的) 称为 A() 的逆矩阵，记为 A-1()
3、 .,2021/6/7,8,关于 - 矩阵可逆的条件有：,Th. 1 一个 n n 的 - 矩阵 A() 是可逆的,充分必要条件是行列式 | A() | 是一个非零数.,证明,先证充分性.,设,d = | A() |,是一个非零的数.,A*() 是 A() 的伴随矩阵，它也,是一个 - 矩阵 ，而,因此， A() 可逆.,2021/6/7,9,再证必要性.,设 A() 可逆，则有,A() B() = B() A() = E ,上式两边取行列式，得,| A() | | B() | =|E | = 1 .,因为 | A() | 与 | B() | 都是 的多项式，所以由它,们的乘积是 1 可以推知
4、，它们都是零次多项式，,也就是非零的数 .,2021/6/7,10,例 1 求下列 - 矩阵的秩,2021/6/7,11,(1) 解:,因为,所以，该矩阵的秩为 3 .,2021/6/7,12,(2) 解,因为,所以，该矩阵的秩为 2 .,而,2021/6/7,13,例 2 下列 - 矩阵中，哪些是可逆的？若可,逆求其逆矩阵.,2021/6/7,14,(1) 解,因为,= 1 = 常数，,所以，该矩阵可逆.,其逆矩阵为,2021/6/7,15,(2) 解,因为,= 43 + 22 - 常数，,所以，该矩阵不可逆.,2021/6/7,16,小 结, - 矩阵与数字矩阵的运算有相同的运算规律.,n n 的 - 矩阵的行列式 是 的一个多项式.,2021/6/7,17,一个 n n 的 - 矩阵 A() 是可逆的充分必要,条件是 A() 的秩为 n .,下列命题是否成立？,一个 n n 的 - 矩阵 A() 是可逆的充分必要,条件是行列式 | A() | 不等于零 .,部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！,