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1、2021/6/7,1,复变函数论,Functions of One Complex Variable,湖南第一师范学院数理系,2021/6/7,2,第六章 留数理论及其应用,6.1 留数,6.2 用留数定理计算实积分,6.3 辐角原理及其应用,2021/6/7,3,1.留数的定义及留数定理,设函数f(z)在点a解析. 作圆 C:| za |=r,设函数f(z)在区域0|z-a|R内解析. 选取r，使0rR，并且作圆 C:| za |=r,如果f(z)在a也解析，则上面的积分也等于零；,使f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西积分定理,6.1 留数,2021/6/7,4,如果a是f(z
2、)的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零.,定义6.1 设f(z)在点a的某去心邻域0| za |R 内解析，则称积分,为f(z)在孤立奇点a的留数(residue)，记作,2021/6/7,5,而且这一展式在上一致收敛。逐项积分，我们有,因此,注1. 我们定义的留数 与圆的半径无关：事实上，在0|z-a|R内，f(z)有洛朗展式：,2021/6/7,6,注2. f(z)在孤立奇点a的留数等于其洛朗级数展式中,的系数c-1 。,注3. 如果a是f(z)的可去奇点，那么,2021/6/7,7,柯西留数定理,定理6.1 如果f(z)在周线或复周线C所围的区域D内，除a1，a2，an外解析，在闭域D+
3、C上除a1，a2，an外连续，则,2021/6/7,8,2021/6/7,9,留数定理的证明,以D内每一个孤立奇点ak为心，作圆k，,使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。从D中除去以这些k为边界的闭圆盘的一个区域G，其边界是C以及k .,在G及其边界所组成的闭区域上，f(z)解析。因此根据柯西定理，,2021/6/7,10,注1. 留数定理在两个完全不同，也不相干的概念之间架起了一座桥梁.,注2. 具体计算一定要注意前面的系数2i.,注3. 柯西积分定理与柯西积分公式都是柯西留数定理的特殊情形.,注4. 留数定理把计算周线积分的整体问题化为计算各孤立奇
4、点处的留数的局部问题.,2021/6/7,11,2.留数的求法,计算f (z)在孤立奇点a的留数时，我们只关心其洛朗级数展式中的洛朗系数c-1 ，应用洛朗级数是求留数的一般方法.但是对于奇点较多的情形此法较繁.,对于计算f (z)在极点a处的留数时，我们有下面的定理：,2021/6/7,12,定理6.2 设a为f(z)的n阶极点，,2021/6/7,13,推论6.3 设a为f(z)的二阶极点，,定理6.2的结论也可写成,推论6.3 设a为f(z)的一阶极点，,2021/6/7,14,定理6.5 设a为 的一阶极点.,其中P(z)及Q(z)在a解析，P(a)0 ，Q(a)=0.,2021/6/7
5、,15,例1. 函数,因此,有两个一阶极点 z =i ，这时,2021/6/7,16,例2. 函数,在z=0有三阶极点，而,因此,由上述公式也可得：,2021/6/7,17,例3. 函数,在 z = i 有二阶极点. 这时,令z=i+t，那么在,的泰勒展式中，t的系数就是f(z)在z=i处的留数。写出h(t)中每个因子的到t的一次项，我们有：,2021/6/7,18,当|t|1时,因此当|t|1时，,于是,2021/6/7,19,由上述公式也可得：,2021/6/7,20,例6.3 计算积分 .,解 只以 z = 0 为三阶极点.,2021/6/7,21,例6.4 计算积分 .,解法一,2021/6/7,22,例6.4 计算积分 .,解法二 的全部零点为,在 |z| = 1内只有 z = 0 一个零点. 且为被积函数的一阶极点.,2021/6/7,23,例6.5 计算积分 .,解 只以z = 0为本质奇点.,2021/6/7,24,本 讲 结 束,2021/6/7,25,作 业,第269页1.(4)(5)(6),部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！,