概率论与数理统计期末复习题参考.docx

《概率论与数理统计期末复习题参考.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计期末复习题参考.docx（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！ 计算题1、一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，求该箱产品中确实没有次品的概率。解：设 “箱中有件次品”，由题设，有，又设 “该箱产品通过验收”，由全概率公式，有 故 即通过验收的该箱产品确实没有次品的概率是0.37。2、设随机变量与独立同分布，且都服从标准正态分布，求随机变量的概率密度解： 因为与独立同分布，且都服从标准正态分布所以 首先求Z的分布函数 当时， 所以当时， 令则上式 所以密度函数 3、设二维随机变量在矩形上服从均

2、匀分布，（1）求的联合概率密度（2）求关于、的边缘概率密度（3）判断与的独立性。解：（1）区域G的面积为 （X、Y）的联合概率密度为 （2）X的边缘概率密度为 = Y的边缘概率密度为 = （3）显然，所以X与Y不独立。4对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5.求100次炮击中有380至420颗炮弹命中目标的概率.解答：设 表示第次炮击命中目标的炮弹数，由题设，有 ，则次炮击命中目标的炮弹数 ， 因 相互独立，同分布，则由中心极限定理知近似服从正态分布 于是 .应用题1、 由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数的普哇松分布来描述，为了

3、以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？（供参考：X，）解 设该商店每月销售某种商品件，月底的进货为件，则当（）时就不会脱销，因而按题意要求为 因为已知服从的普哇松分布，上式也就是 由题意，即 于是，这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上个月没存货），就可以95%以上的把握保证这种商品在下个月内不脱销. 2、据预测，假设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X服从2000,4000 （单位：吨）上的均匀分布。每销售一吨，可赚外汇3万元；而销售不出，每吨需库存费1万元。问应组织多少货源，才能使收益最大？解： 设应组织货源吨，显然 则收益为 因为X的密度为 所以

4、当时，达到最大 证明题设随机变量序列独立同分布，其密度函数为其中为未知参数。令 ，试证：。证明：因为的分布函数为 所以，有故 。 计算题1已知离散型随机变量X的分布列为求的分布列。2、设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为（1）求；（2）求X和Y的边际密度，并判断X与Y 是否相互独立?应用题1、设有一笔资金，总量记为1（可以是1万元，也可以是100万），如今投资甲、乙两种证券。若将资金投资于甲证券，将余下的资金投资于乙证券，于是就形成了一个投资组合。记X为投资甲的收益率，Y为投资乙的收益率，它们都是随机变量。如果已知X和Y的均值（代表平均收益）分别为和，方差（代表风险）分别为0.25和0.

5、64，X和Y的相关系数为0.4.求该投资组合的平均收益与风险（方差），并求使投资风险最小的投资组合。2、有一电站供1000台设备用电，各台设备用电与否是相互独立的，若各台设备用电量（度）在0,60上服从均匀分布。问若以0.99的概率保证这1000台设备用电，电站至少需供应多少度电？3、设总体X的概率密度函数是 0为未知参数，是一组样本值，求参数的最大似然估计。 4、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布，其方差为0.03。在某段时间抽测了10炉铁水，测得铁水含碳量的样本方差为0.0375。试问在显著水平下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异? 五、证明

6、题设为独立的随机变量序列，且， 证明服从大数定律.计算题1、解：上述步骤可以省去所以的分布列为 2、解：（1） （2）得 得 即可得，所以X与Y不独立。 应用题1、解：设投资组合的收益为Z，则 令得驻点 且所以当时投资风险最小，即使投资风险最小的投资组合为。 2、解： 设各台设备用电量分别为Xi (i=1,2,1000)，则1000台设备的用电量为X=X1+X2+X1000 依题意知，EXi=(0+60)/2=30，DXi=(60-0)2/12=300，因此EX=30000，DX=300000，由中心极限定理， 设电站需供应a度电,由题意得 ，查表得 即，得 所以电站至少需供应31276.19

7、度，才能以0.99的概率保证这1000台设备用电。 3、解：似然函数为 （ ） （ ） 令 得 且 所以参数的最大似然估计为 4、解 ：提出假设 选取统计量 拒绝域为：或 把，代入得实测 未落入拒绝域，接受，即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显著差异。 证明题1、证明： 因 所以，且相互独立，由此得马尔可夫条件而，由夹逼准则由马尔可夫大数定律知服从大数定律. 计算题11、 假设，试在以下不同条件下分别求：（1）； （2）互不相容； （3）独立。解： （1） （2） （3） 12、某厂两条流水线生产彩电，产量分别占总量的40%和60%，次品率分别为0.02和0.01。现在出厂彩电中任取

8、一件，结果为次品。试问两条流水线应如何分担责任？解：令 A=“任取一件，恰为次品”, Bi=“任取一件，恰为第i条流水线生产”，i=1,2， 则由Bayes公式，即得 两条流水线应按57%：43%的比例分担责任。 13、设随机变量（X，Y）具有密度函数 （1）求X与Y的相关系数（2）问X与Y是否不相关（3）X 与Y是否独立，为什么？解：（1） ，所以（2）不相关 （3）不独立，因为（X、Y）不是二维正态分布。 14、设随机变量独立同分布，其密度函数为（1） 求（2） 以上的相互独立吗？解：（1） 变换的雅可比行列式为 所以在 （3） 因为各自的边际密度函数分别为： 所以，知相互独立。 应用题1

9、5、设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每天用电量（单位：度）在0，20上服从均匀分布。现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？解：设第K户居民每天用电量为度，1000户居民每天用电量为度， 10，。 再设供应站需供应L度电才能满足条件，则 即，则L=10425度。16、据预测，国际市场每年对我国某种出口商品的需求量（单位：吨）在区间300，500上服从均匀分布。此商品每出口1吨，可获利1.5万元；但是每积压1吨，将亏损0.5万元。如果由某公司独家经营这种商品的出口业务，问该公司应当储备多少这种商品才能使所获的平

10、均利润最大？解： 设该公司应当储备这种商品a吨，显然 则所获利润为 因为需求量的概率密度是 所以平均利润为当时，所获利润的数学期望最大 证明题17、（证明切比雪夫不等式成立）设随机变量有期望和方差，则对于任给，有书上有答案计算题1、一个机床有1/3的时间加工零件A，其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是0.3，加工零件B时停机的概率是0.4。求若该机床已停机，求它是在加工零件A时发生停机的概率。 2、设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为（1）求X和Y的边际密度，并判断X与Y 是否相互独立? （2）求四、应用题1、设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求是随机变量X（单位吨），它服从

11、区间2000,4000上的均匀分布。每销售出一吨商品，可为国家赚取外汇3万元；若销售不出，则每吨商品需贮存费1万元。问应组织多少货源，才能使国家收益最大？2、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？ 3、设总体为上的均匀分布，求参数的矩估计和极大似然估计。4、某切割机在正常工作时，切割得每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm，标准差为0.15cm。今从一批产品中随机抽取16段进行测量，计算平均长度为=10.48cm。假设方差不变，问在显著性水平下，该切割机工作是否

12、正常? 证明题假设来自均值为，方差为的总体的样本，记证明： 计算题1、解：设事件C表示该机床停机，由贝叶斯公式得 2、 解：（1） ，所以X与Y相互独立 应用题1、解：设该公司组织店a吨货源，公司收益为Y,则即 , 易得当 时，EY取得最大，所以应组织3500吨货源，才能使国家收益最大 2、设各零件重量分别为Xi (i=1,2,5000)，则5000台零件的总重量为X=X1+X2+X5000 依题意知，EXi=0.5，DXi=0.12=0.01，因此EX=2500，DX=50， 由中心极限定理，可知近似服从N（0，1）分布，故这5000零件总重量超过2510kg的概率为： = 3、 解：总体密

13、度 （1）因为，令，得 （2）似然函数为 要使尽可能大，则应尽可能小，但，所以4、 解： 选取统计量 拒绝域为： 把，代入得实测值 接受原假设，即没有理由认为该切割机在此日工作正常 证明题证明： 设二维随机变数有密度函数求常数及的密度函数。解： 所以，；若对连续型随机变量，有，证明有。 证：。如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率的差小于，问至少应该做多少次试验？解：令据题意选取试验次数应满足，因为比较大，由中心极限定理有故应取，即，但图钉底部重，尖头轻，由直观判断有，因而，故可取。一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.00

14、01，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，求在校对后错误不多于15个的概率。解：令因为排版与校对是两个独立的工序，因而是独立同分布随机变量序列，令，其中，由中心极限定理有其中，查分布表即可得，即在校对后错误不多于15个的概率。在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年里一个人死亡的概率为0。006，死亡时家属可向保险公司领得1000元，问：（1）保险公司亏本的概率多大？（2）保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各为多大？解：保险公司一年的总收入为120000元，这时（1） 若一年中死亡人数，则公司亏本；（2） 若一年中死亡人数

15、，则利润中死亡人数元；若一年中死亡人数，则利润中死亡人数元；若一年中死亡人数，则利润中死亡人数元；令则，记已足够大，于是由中心极限定理可得欲求事件的概率为（1）同理可求得（2）随机从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为（cm）2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布，分别对下面两个情况求出总体均值的90%的置信区间（1）；（2）未知解 （1）由子样函数，可求的置信区间置信下限 置信上限 （2）在未知时，由子样函数，可 求得置信区间为置信下限 置信上限 18 / 18