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1、高等数学完整版计算公式高等数学完整版计算公式a0bn = m0a0 xn+a1xn1+an一、lim=0n m1sin x二、 重要公式重要公式 （1）lim=1（2）lim(1+ x)x= e（3）limna(a o) =1nx0 x0 x（4）limnn =1（5）limarctanx =nx2（6）lim arctan x = xx2（7）limarccot x = 0（8）lim arccot x =（9）lim e = 0 xxx（10）lim e = （11）lim x =1+x+x0 xx三、下列常用等价无穷小关系下列常用等价无穷小关系（x 0）12x2sin x xtan x
2、xarcsin x xarctanx x1cosxln(1+ x) xex1 xax1 xlna(1+ x)1 x四、导数的四则运算法则导数的四则运算法则u uvuv(u v)= uv(uv)= uv+uv=2vv五、基本导数公式基本导数公式(c)= 0 x =x1(sin x)= cosx22(cosx)= sin x(tan x)= sec x(cot x)= csc x(secx)= secxtan x(cscx)= cscxcot xe( )= exxa( )= axx1lna(ln x)=xloga(x)=111(arcsinx)=(arccosx)= 22xlna1 x1 x11a
3、rccot x= ()221+ x1+ x(arctanx)=(x)=1( )x(n)=12 x六、高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则（1）u(x)v(x)（3）u(ax+b)(n)(n)= u(x)n(n)v(x)（2）cu(x)(n)(n)= cu(n)(x)n= a u(n)(ax+b)（4）u(x)v(x)k(nk)=cnu(x)v(k)(x)k=0七、基本初等函数的基本初等函数的 n n 阶导数公式阶导数公式（1）x( )n(n)= n!（2）(eax+b)(n)(n)= aneax+b(3)(ax)(n)= axlnna(4)sin(ax+b)= ansinax+b+n2= an
4、cosax+b+n2n(5)cos(ax+b)(n)1(6)ax+b(n)=(1)ann!(ax+b)n+1(7)ln(ax+b)(n)=(1)n1an(n1)!(ax+b)n八、微分公式与微分运算法则微分公式与微分运算法则d(c)= 0d x( )=x1dxd(sin x)= cosxdx22d(cosx)= sin xdxd(tan x)= sec xdxd(cot x)= csc xdxd(secx)= secxtan xdxd(cscx)= cscxcot xdxd e( )= e dxd(a)= axxxxlnadxd(ln x)=11 x21dxx11 x2d loga(x1dxd
5、(arcsin x)=)=xlnadxd(arccosx)= dxd(arctanx)=11dxd arccot x = dx()1+ x21+ x2九、微分运算法则微分运算法则d(u v)= du dvd(cu)= cdud(uv)= vdu +udvd十、基本积分公式基本积分公式u vduudv=2vvx+1dx+ckdx = kx+cx dx = ln x +c+1xax+cexdx = ex+ccosxdx = sin x+ca dx =lnaxsin xdx = cosx+c12=dxseccos2xxdx = tan x+c112=xdx = x+ccsccot1+ x2dx =
6、arctanx+csin2x11 x2dx = arcsin x+c十一、下列常用凑微分公式下列常用凑微分公式积分型换元公式f(ax+b)dx =f(x)x1dx =1f(ax+b)d(ax+b)au = ax+b1f(x)d(x)u = xu=ln x1f(ln x)dx =f(ln x)d(ln x)xf(ex)exdx =f(ex)d(ex)f(ax)axdx =1xxf a d a( ) ( )lnau = exu = axu=sin xu = cosxf(sin x)cosxdx =f(sin x)d(sin x)f(cosx)sin xdx = f(cosx)d(cosx)f(ta
7、n x)sec2xdx =f(tan x)d(tan x)f(cot x)csc2xdx =f(cot x)d(cot x)u= tanxu = cot xf(arctanx)f(arcsinx)1dx =f(arctan x)d(arctan x)1+ x211 x2dx =f(arcsinx)d(arcsin x)u= arctanxu =arcsinx十二、补充下面几个积分公式补充下面几个积分公式tan xdx = ln cosx +ccot xdx = ln sin x +csecxdx = ln secx+ tan x +ccscxdx = ln cscxcot x +c11xdx
8、=arctan+ca2+ x2aa11xadxln=+cx2a22ax+a1a2 x2dx = arcsinx+ca1x2a2dx = ln x+x2a2+c十三、分部积分法公式分部积分法公式形如x e dx，令u = x，dv = e dx形如x sin xdx令u = x，dv=sin xdx形如x cosxdx令u = x，dv=cosxdx形如x arctanxdx，令u = arctanx，dv = x dx形如x ln xdx，令u=ln x，dv = x dx形如e sin xdx，ecosxdx令u = e ,sin x,cos x均可。十四、第二换元积分法中的三角换元公式第二
9、换元积分法中的三角换元公式(1)axx=asint (2)a+xx=atant(3)xax = asect【特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值】（1）sin0=0（2）sin222222naxnaxnnnnnnnnaxaxax6=13（3）sin=（4）sin=1）（5）sin=0232231（3）cos=（4）cos= 0） （5）cos= 123223（3）tan=3（4）tan不存在 （5）tan=0332（1）cos0=1（2）cos6=（1）tan0=0（2）tan6=（1）cot0不存在 （2）cot在6=3（3）cot3=3（4）cot= 0（5）cot不存32十五、三角函数公
10、式三角函数公式1. 1.两角和公式两角和公式sin(A+B)=sin AcosB+cos Asin Bsin(AB)=sin AcosBcos AsinBcos(A+B)=cosAcosBsin AsinBcos(AB)=cosAcosB+sin AsinBtan A+ tanBtan AtanBtan(A B) =1tan AtanB1+tan AtanBcot AcotB1cot AcotB+1cot(A B) =cot(A+ B) =cot B+cot AcotBcot Atan(A+ B) =2. 2.二倍角公式二倍角公式sin2A=2sin Acos Acos2A=cos2Asin2
11、A=12sin2A=2cos2A1tan2A =2tan A21tan A3. 3.半角公式半角公式sinA1cos AA1+cos Acos=2222A1cos Asin AA1+cos Asin Acot=21+cos A1+cos A21cos A1cos Atan4. 4.和差化积公式和差化积公式sina+sinb = 2sina+baba+babsinasinb = 2cossincos2222a+baba+babcosacosb = 2sinsincosa+cosb = 2coscos2222tana+ tanb =sin(a+b)cosacosb5. 5.积化和差公式积化和差公式
12、11sinasinb = cos a+b cos ab cosacosb =cos(a+b)+cos(ab)()()2211sinacosb =sin a+b +sin ab cosasinb =sin(a+b)sin(ab)()()226. 6.万能公式万能公式a1tan22cosa =sina =a1+ tan21+ tan222tan7. 7.平方关系平方关系aa2tan2tana =2aa1tan222sin2x+cos2x=1sec2xtan2x=1csc2xcot2x=18. 8.倒数关系倒数关系tanxcotx =1secxcosx =1cscxsinx =19. 9.商数关系商数关系tan x =sin xcosxcot x =cosxsin x十六、几种常见的微分方程几种常见的微分方程1. 1.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程：dy= f(x)g(y)，f1(x)g1(y)dx+f2(x)g2(y)dy=0dx2. 2.齐次微分方程齐次微分方程：dy y = fdxx3. 3.一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程：dy+ p(x)y = Q(x)解为：dxp(x)dxp(x)dxdx+cy = eQ x e( )