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1、湖南省长沙市雅礼中学2014届高三第四次月考试题 数学（理） Word版含答案（ 2014高考）雅礼中学2014届高三月考试卷(四) 数 学(理科) 南雅中学高三数学备课组组稿 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1AB:,1,0,11.已知集合则满足的集合个数是( ) BAxxxR,|0,xA.2B.3C.4D.8 a,12.是直线与直线平行的( ) laxy:0，,lxay:20，,12A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 ,3.若向量满足/，且，则( ) abc,bc,0()abc，
2、,abA.4B.3C.2D.0 2xa,，,(4,)4.已知函数:，当时，下列选项正确的是 ( ) fxxgxhxx(),()2,()log,2A.B.fagaha()()(),gafaha()()(), C.D.gahafa()()(),fahaga()()(), A,B,C5. 已知平面外不共线的三点到的距离都相等,则正确的结论是( ) ,ABCABCA.平面必平行于 B.平面必与相交 ,ABCABCC.平面必不垂直于 D.存在?的一条中位线平行于或在内 ,2x，y,0A,BAB6(已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则等于( ) y,x，3C 3 4 ABD3242xyA(x,y)B
3、(,4,0)C(4,0)，,17.平面上动点满足，,则一定有( ) 53AB，AC,10AB，AC,10 A B CAB，AC,10AB，AC,10 D ,1m*nN,an8. 在等差数列中，记数列的前项和为S，若对恒a,21a,5,SS,n6n2n，1n2a15n,m成立，则正整数的最小值为( ) C A 5 B 4 3 D 2 二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 (一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分) 29.在极坐标系中，曲线的焦点的极坐标 . ,cos4sin,A D 10.已知点在圆直径
4、的延长线上，切圆于点， COCAOBEAF B C ，ACB的平分线分别交、于点、.则 ，ADFAEABFDE O 的度数= . 11(若存在实数使成立，求常数的取值范围 。 3x，6，14,x,axa(二)必做题(12-16题) 2,cosxdx12. 计算:= 。 ,02 ,13,已知某个几何体的三视图如右图所示,根据图中标出的尺寸,可得2 2 这个几何体的表面积是 。 (正视图) (侧视图) 2 2 (俯视图) 14.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有 种不同的排法。(用数字作答) i,i,e,cos,，isin,e,R15.定义
5、:，其中i是虚数单位，且实数指数幂的运算性质对都适应。若,03221233coscossincossinsinx，yi,，则 ( x,C,Cy,C,C232f(x),lnx,mx，1,m,R16.已知函数 其中,。 g(x),x,x，1，f(x)8f(x),0f(x) (1)若在的定义域内恒成立，则实数的取值范围 ; mng(x) (2)在(1)的条件下，当取最小值时，在上有零点，则的最大值为 。 e,，,)(n,Z)mn三、解答题:本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22xR,17.(本小题满分12分)已知函数，.求: fxxxxx()sin2sincos3c
6、os,，fx()(1)函数的最小值及取得最大值的自变量的集合; xfx()(2)函数的单调增区间. 高 考 资 源 网 18. (本小题满分12分) 如图，在直三棱柱(侧棱和底面垂直的棱柱)中，平面ABCABC,ABC,1111侧面，,，且满足AABBAB,BC,AA,3线段AC、AB上分别有一点E、F1111. 2AE,EC,2BF,FA1ABBC,(1)求证:; (2)求点的距离; E到直线AB1F,BE,C(3)求二面角的平面角的余弦值。 C1A1B1FEACB19.(本小题满分12分)长沙市某中学在每年的11月份都会举行“社团文化节”，开幕式当天组织举行大31型的文艺表演，同时邀请36
7、名不同社团的社长进行才艺展示。其中有的社长是高中学生，的社长是4412初中学生，高中社长中有是高一学生，初中社长中有是初二学生。 33(1)若校园电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率; E, (2)若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长，设初二学生人数为，求的分布列及数学期望。 20. (本小题满分13分)2013年我国汽车拥有量已超过2亿(目前只有中国和美国超过2亿)，为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在部分地区采取对新车限量上号。某市采取对新车限量上号政策，已知2013年年初汽车拥有量为(=100万辆)，第年(
8、2013年为nxx11xn第1年，2014年为第2年，依次类推)年初的拥有量记为，该年的增长量和与的乘积成1,yxxnnnm(0,1),正比，比例系数为,其中=200万。 m(1)证明:; y,50,n(2)用表示;并说明该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内。 xxnn，121(定义:对于两个双曲线,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称,为共轭CCCCCCCC2222111111:yx和双曲线:yx，其离心率分别为。 双曲线。现给出双曲线,，,e,e1212xx(1)写出的渐近线方程(不用证明); ,1211(2)试判断双曲线:yx和双曲线:yx是否为共轭双曲线,请加以证明。 ,，,12
9、xx11(3)求值:。 ，22ee122q1f(x)x,22(本题满分13分)设函数，若时，有极小值， ，f(x),plnx，p,01,ln2222x的取值; (1) 求实数p,qn(2) 若数列中，求证:数列的前项和; ,，,S,aa,fnannnnn424acb,g(x),alnx，bx，c(a,0)g(x)(3) 设函数，若有极值且极值为，则与是否具有确定tt4a的大小关系,证明你的结论。 雅礼中学2014届高三月考试卷(四) 数 学(理科) 南雅中学高三数学备课组组稿(教师版) 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1A
10、B:,1,0,11.已知集合则满足的集合个数是( C ) BAxxxR,|0,xA.2B.3C.4D.8 a,12.是直线与直线平行的( A ) laxy:0，,lxay:20，,12A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 ,3.若向量满足/，且，则( D ) abc,bc,0()abc，,abA.4B.3C.2D.0 2xa,，,(4,)4.已知函数:，当时，下列选项正确的是 ( B ) fxxgxhxx(),()2,()log,2A.B.fagaha()()(),gafaha()()(), C.D.gahafa()()(),fahaga()()(), A
11、,B,C5. 已知平面外不共线的三点到的距离都相等,则正确的结论是( D ) ,A.平面ABC必平行于 B.平面ABC必与相交 ,C.平面ABC必不垂直于 D.存在?ABC的一条中位线平行于或在内 ,2x，y,0A,BAB6(已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则等于( C ) y,x，3C 3 4 ABD3242xyA(x,y)B(,4,0)C(4,0)，,17.平面上动点满足，,则一定有( B ) 53AB，AC,10AB，AC,10 ABCAB，AC,10AB，AC,10 D,1m*nN,a8. 在等差数列中，记数列的前n项和为，若对恒Sa,21a,5,SS,n6n2n，1n2a15
12、n,成立，则正整数m的最小值为( A ) C 5 4 3 2 ABDm111m解:由题设得，?可化为， an,43,SS，,？2n，1nn1541458115nnn，111令， T,，？nnnn，41458111111， 则T,，？n，1nnnnn，4549818589111111?， TT,，,，,0nn，1nnnnnn，8589418282411114n,1?当时，取得最大值， T，,n5945m1414由解得，?正整数的最小值为5。 mm,31545二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 (一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两
13、题作答，如果全做，则按前两题计分) ,29.在极坐标系中，曲线的焦点的极坐标 . () 1,cos4sin,2A D 10.已知C点在圆O直径的延长线上，CA切圆O于点， BEAF B C ，ACB的平分线分别交、于点、.则，ADF AEABFDE O 045的度数= . (,8)11(若存在实数使3x，6，14,x,a成立，求常数的取值范围 。 xa(二)必做题(12-16题) 2,cosxdx12. 计算:= 。 ,02 ,13,已知某个几何体的三视图如右图所示,根据图中标出的尺寸,可得2 2 这个几何体的表面积是 。 (正视图) (侧视图) 5,，,2 2 (俯视图) 14.桌面上有形状
14、大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有 种不同的排法。(用数字作答) 1680种 i,i,e,cos,，isin,e,R15.定义:，其中是虚数单位，且实数指数幂的运算性质对都适应。若i,03221233coscossincossinsin，则x,C,Cy,C,C222，ix，yi, ( 答案 2232f(x),lnx,mx，1,m,R16.已知函数 其中,。 g(x),x,x，1，f(x)8f(x),0f(x)m,1(1)若在的定义域内恒成立，则实数的取值范围 ; mng(x) (2)在(1)的条件下，当取最小值时，在上有零点，则的最大值为 。 e,
15、，,)(n,Z)mn32(x,0) 解:由(1)得 ， g(x),x,2x，2，lnx8(3x2)(x2),/g(x) 所以 ,4x22g(x) 故在上递增，在上递减。 (0,2,，,)(,2)332g(x)g(2) 所以在上的最小值为， ,，,)312g(x)而 ，故在上没有零点。 g(2),ln2,0,，,)3222nng(x), 所以的零点一定在递增区间上，从而有且。 (0,)eg(e),03322eee3,163，8(,2)12,gege(),0(),0 又， 24ee88g(x),0n,2当时均有，所以的最大值为-2. n三、解答题:本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明
16、过程或演算步骤. 22xR,17.(本小题满分12分)已知函数，.求: fxxxxx()sin2sincos3cos,，fx()(1)函数的最小值及取得最大值的自变量的集合; xfx()(2)函数的单调增区间. (1)解: 1cos23(1cos2),，xx, fxxxxx()sin21sin2cos222sin(2),，,，,，224,3,fx()当,即时, 取得最大值. 22xk，,22，？xkkZ(),4283,fx()函数的取得最大值的自变量的集合为. x,/,()xxRxkkZ,86分 ,(2) 由题意得: fxx()22sin(2),，222()kxkkZ,，,，,42423,3,
17、fx()即: 因此函数的单调增区间为 kxkkZ(),，,，,()kkkZ,888812分 18. (本小题满分12分) 如图，在直三棱柱(侧棱和底面垂直的棱柱)中，平面ABCABC,ABC,1111侧面，,，且满足AABBAB,BC,AA,3线段AC、AB上分别有一点E、F1111. 2AE,EC,2BF,FA1ABBC,(1)求证:; (2)求点的距离; E到直线AB1F,BE,C(3)求二面角的平面角的余弦值。 C1A1B1FEACB(1)证明:如右图，过点A在平面AABB内作 11:AD?AB于D，则由平面ABC?侧面AABB,且平面ABC侧面AABB=AB,得 11111111AD?
18、平面ABC,又BC平面ABC，所以AD?BC. ,11因为三棱柱ABCABC是直三棱柱，则AA?底面ABC，所以AA?BC. 11111:又AAAD=A,从而BC?侧面AABB， 111又AB侧面AABB，故AB?BC. 4分 ,11(2)由(?)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB所在的直线分 1别为x轴、y轴、z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， B(0,0,0), A(0,3,0), C(3，0，0) , A(0,3,3)1有由，满足线段AC、AB上分别有一点E、F1， 2AE,EC,2BF,FA1所以E(1，2，0), F(0，1，1) ,BA,(0,3,3). 所以, EF,(
19、1,1,1),EF,BA11d,EF,3所以点的距离。 8分 E到直线AB16cos,(3) , 。 12分 619.(本小题满分12分)长沙市某中学在每年的11月份都会举行“社团文化节”，开幕式当天组织举行大31型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示。其中有的社长是高中学生，的社长是4412初中学生，高中社长中有是高一学生，初中社长中有是初二学生。 33(1)若校园电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率; E, (2)若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长，设初二学生人数为，求的分布列及数学期望。 解:(?)由题意得，高中学生社长有27
20、人，其中高一学生9人;初中学生社长有9人，其中初二学生社长6人。 事件为“采访3人中，恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生”。 A11112CCCCC297991899() 6分 PA,，,331190CC3636,(?)的可能取值为0，1，2，3 312CCC13363 , ,P(0)P(1)33C84C1499215CC1563(,3), ， ， P,P(2)321C289, 所以的分布列为 0 1 2 3 , 13155 P 8414282113155 所以， 12分 ,，,E012328414282120. (本小题满分13分)2013年我国汽车拥有量已超过2亿(目前只有中国和美国
21、超过2亿)，为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在部分地区采取对新车限量上号。某市采取对新车限量上号政策，已知2013年年初汽车拥有量为(=100万辆)，第年(2013年为nxx11xn第1年，2014年为第2年，依次类推)年初的拥有量记为，该年的增长量和与的乘积成1,yxxnnnm(0,1),正比，比例系数为,其中=200万。 m(1)证明:; y,50,n(2)用表示;并说明该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内。 xxnn，1xn解:(1)依题 2分 y,x(1,)nnmx2n 只需证明，即证。 x(1,),50(x,100),0？nnm上式显然成立
22、，所以。 5分 y,50,nxn (2)，所以 ,(1)x,x，yx,x，x,n，1nnn，1nn200按该政策可以将该市汽车总拥有量控制在200万辆内，即。6分 x,200nn,1 证明如下: 当时，显然成立。 x,1001n,k 假设时，成立。 x,200kxkn,k，1则当时 ，是关于的一个二次函数， ,(1)xx,x，x,k，1kkk200,2(x,200)令， f(x),x，(1，,)x200,100(1，)其对称轴，所以 x,200f(x)在(0,200)内递减,f(x),f(200),200 ，即 x,200k，1综上所述，成立。 13分 x,200n21(定义:对于两个双曲线,
23、若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称,为共轭CCCCCCCC2222111111:yx:yx双曲线。现给出双曲线和双曲线，其离心率分别为。 ,，,e,e1212xx(1)写出的渐近线方程(不用证明); ,1211:yx:yx(2)试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线,请加以证明。 ,，,12xx11(3)求值:，。 22ee12x,0解:(1)的渐近线方程都是:和。 -3分 y,x,12(2)双曲线是共轭双曲线。 -4分 ,121 证明如下: 对于，实轴和虚轴所在的直线是和x,0的角平分线所 :yxy,x,，1x10的直线， 所以:yx的实轴所在直线为， ,，y,tan67.5x,(2，1)
24、x1x0虚轴所在直线为， -6分 y,tan157.5x,(1,2)x122y,x， 实轴和的交点到原点的距离的平方。 y,(2，1)xd,a,2，22A11xb2201,tan22.5,2,1又，所以 从而得;-8分 b,22,2c,4211a110同理对于:yx，实轴所在直线为， ,y,tan157.5x,(1,2)x2x0虚轴所在直线为， y,tan67.5x,(2，1)x122y,x,实轴和的交点到原点的距离的平方 y,(1,2)xd,a,22,2B12x圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。b2202,tan67.5,2，1 ，所以，从而得。 b,22，2c,4
25、222a2(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；综上所述，双曲线是共轭双曲线。 -10分 ,124、根据学生的知识缺漏，有目的、有计划地进行补缺补漏。2212221222aa，,12 (3) 由(2)易得， ,2222ecec4242112211 所以，=1 。 -13分 22ee12(6）三角形的内切圆、内心.2q1f(x)x,22(本题满分13分)设函数，若时，有极小值， ，f(x),plnx，p,01,ln2222x(4) 求实数p,q的取值; n(5) 若数列中，求证:数列的前项和; ,，,S,aa,fnannnnn424acb,g(x),alnx，bx，c(a,0)g(x)(6)
26、设函数，若有极值且极值为，则与是否具有确定tt4a的大小关系,证明你的结论。 【解答】 （2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。2px,2qf(x),(1) 1分 3x,2pf(),0,2q,0,22？ 3分 ,21p1,，f(),1,ln2,ln2，2q,1,ln2,2222,1？p,1,q, 4分 41. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角,2,y,f(x)(2)由条件和第(1)问可知，函数在x,，,上单调递增， 5分 ,2,a,f(n),n,1n圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的
27、劣弧。1n 7分 ？,aaSnan1n1444、加强口算练习，逐步提高学生计算的能力。ag(x)g(x)，由有极值且的定义域为可知: (3)g(x),，b，0,，,xaa,a,b异号，极小值点为， 8分 t,g,x,bb,222,acbabab4,taacca,ln,，,，,ln,，,1 9分 ,2,acbab44a4,a1,h(),ln，,1令,，构造函数，由条件和第(1)问可知: ,2,4b四、教学重难点：221h(,)，,h(),1，ln2,0时，有极小值 222抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。11而 11分 h(e),lne，,1,0224e4e24acb,t所以,可能大于0或可能等于0或可能小于0， 4ac24acb,g(x)即的极值与不具有明确的大小关系。 13分 t4a