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1、2013年湖南省高考压轴卷理科数学试题及答案2013年湖南省高考压轴卷数学理 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页。时量120分钟，满分150分。 注意事项: 1(答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 2(选择题的作答:每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3(填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4
2、(选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。 5(考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给第 1 页 共 14 页 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 2x1.已知集合，时，( ) Axyx,lg(4)Byyx,3,0AB,A( B( C( D( 02xx,12xx,12xx,43，i的实部是 2.复数1
3、2，i( ) A.2 B.4 C.3 D.-2 3.已知函数，则( ) A(32 B(16 C. D( 1,4.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则aa,a,2an1322aa，89等于【全,品中&高*考*网】 aa，67A( B. C. D. 1，21,23，223,22abab，,sin,5.已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹aab,b角( a=,3,4b=0,2ab，若， ，则的值为 ，A( B( C(8 D(6 ,8,6a6.在空间给出下面四个命题(其中m、n为不同的两条直线，、为b不同的两个平面) aaaa?，n/?m/n，n/m/ mmnaaa?m/n，m/?，m/，
4、m/，n/，mnA=nbabb第 2 页 共 14 页 / anbb其中正确的命题个数有 A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 1111的值的一个程序框图，则判断框内应填7.如图是计算，L2462012入的条件是() A( D(B(C(i,1005i,1005i,1006i,1006 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A(2 B( 2,2,C(2，1) D(2，2) 22二、填空题:本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共第 3 页 共 14 页 35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 (一)选做题(请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按
5、前两题记分) 9. 若曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为,2sin,，4cos,x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 . 10(有一根长为3 cm，底面半径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为 ，xyxy+=2211.已知，且满足，那么的最小值是 xyR,xy+4(二)必做题(12,16题) 22xy12.已知椭圆，,1(0)ab的左、右焦点分别为F、F，且1222ab2|FF=2c，若点P在椭圆上，且满足PFFFPFPFc,0,，则1221212该椭圆的离心率e等于 13. 为了研究高中学生中性
6、别与对乡村音乐态度(喜欢和不喜欢两种2态度)的关系，运用22列联表进行独立性检验，经计算,8.026，则所得到的统计学结论是:有 的把握认为“性别与喜欢乡村音乐有关系”( ) 2 附:P(0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 ?k) 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 0第 4 页 共 14 页 20xy,14.已知实数满足不等式组,且的最小值为,则,3xy,zxy,xy，,30,xym，,2,实数的值_。 m20132013，15.若，则1,2x,a，ax，.，ax(x,R)012013aaa201312. . ，,22013222321
7、6.已知函数的对称中心为M，记函(x,y)fxaxbxcxda()(0),，,00/数的导函数为， 的导函数为，则有.f(x)f(x)f(x)f(x),0f(x)032fxxx,3若函数， ，124023,4022,则可求得: . ff，,f.，f,201220122012,2012,三(解答题(共75分，前4题12分，第20题13分，第21题14分) 117.( 本小题满分12分)已知与共线，nAA,，(3,sin3cos)mA,(sin,)2其中A是?ABC的内角( (1)求角A的大小; (2)若BC=2，求?ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时?ABC的形状. 18.( 本小题满分
8、12分)某次体能测试中，规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试.一旦测试通过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止.已知运动员甲的每次通过率为(假0.7第 5 页 共 14 页 定每次通过率相同). (1) 求运动员甲最多参加两次测试的概率; (2) 求运动员甲参加测试的次数的分布列及数学期望(精确到0.1). 19.(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，底面为菱形，ABCD，平面，底且AA,ABDE,DACAA,AA/DD/CC/BE，,BAD60111,1111面 ABCD.【全,品中&高*考*网】(?)求二面角D,AC,E的大小;【全,品中&高*考*网】 1DP1
9、(?)在DE上是否存在一点P，使得AP平面，若存在，求/EAC11PE的值，若不存在，说明理由. EC1A1D1BCDA x20.(本小题满分12分)已知函数R(为常数)是实数集上afxea()ln(),，的奇函数,函数gxfxx()()sin,，,是区间1,1,上的减函数。 (1)求在x,1,1上的最大值; gx()2gxtt()1,，,(2)若对及,1恒成立,求的取值范围; ,x1,1t，,lnx2(3)讨论关于的方程的根的个数。 ,，xexm2xfx()22xyC:，,1(a,b,0)F,F21.(本小题满分13分)设分别为椭圆的1222ab第 6 页 共 14 页 3左、右两个焦点，若
10、椭圆C上的点A(1,)到F，F两点的距离之122和等于4. ?写出椭圆C的方程和焦点坐标; 1?过点P(1，)的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线4DE的方程; ?过点Q(1，0)的直线与椭圆交于两点M、N，若?OMN面积取得最大，求直线MN的方程. 22. (本小题满分14分) *ab数列的前项和为，等差数列()nN,a,1aS,，21Sn,nnn1nn，1满足 . bb,3,935ab(1)分别求数列，的通项公式; ,nnb1*n，2(2)设，求证( ,()cc,cnNnnn，1a3n，2第 7 页 共 14 页 KS5U2013湖南省高考压轴卷数学理答案 一( 选择题 题号
11、1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C C D C A A 二( 填空题 51,22,420xy9.10. 5cm 11. 12. 13. 99% 322，x，y214. 6 15. -1 16. -8046 三(解答题 317.解:(1)因为m/n,所以. sin(sin3cos)0AAA,，,2第 8 页 共 14 页 331cos23,A1所以，即， ，,sin20Asin2cos21AA,22222即 . 4分 sin21A,，611 , 所以. 故，因为A,(0,)2A,，2A,， 66662.6分 A,322(2)由余弦定理，得 . 4,，,bcbc31 又， 8分 Sb
12、cAbc,sin,ABC2422 而，(当且仅当时等号成bcbcbcbcbc，,，,?2424bc,立) 10分 331所以. SbcAbc,，,?sin43,ABC24411分 当?ABC的面积取最大值时，.又，故此时?ABC为等边bc,A,3三角形.12分 18. ?因为运动员甲参加一次测试的概率是0.7 1分 运动员甲参加两次测试的概率是0.70.3=0.21 3分 所以运动员甲最多参加两次测试的概率是0.21+0.7=0.91 4分 ?的可能取值是1,2,3,4 5分 P(=1)=0.7;P(=2)=0.21; 第 9 页 共 14 页 P(=3)=0.063; P(=4)=0.027
13、; 9分 所以的分布列为: z 1 2 3 4 EAC11D1BCoDAxyP 0.7 0.21 0.063 0.027 所以E=10.7+20.21+30.063+40.027?1.4 12分 19.解:(I)设与BD交于，如图所示建立空间直角坐标系，ACOOxyz,设AB,2ABCDD(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,2),，则，设E(0,1,t)1则，ED,(0,2,2,t),CA,(23,0,0),DA,(3,1,2) 112分 ？DE,面DAC，？DE,CA，DE,DA 11111,DECA=0，,1解得tE,？,3,(0,1,3)4分 ？，,
14、DEDA0,11,的法向量为， 设平面EACmxyz,(,)？,AE(3,1,3)，第 10 页 共 14 页 ,x,0mCA,0,y,3则，令z,1， ？,，,330xyzmAE,0,6分 m,(0,3,1)21m,EDcos,？,mFE,又平面的法向量为 ED,(0,2,1)FAC121m,ED:所以所求二面角的大小为8分45,2 (?)设得DPPEDEDP,(),DPDE(0,),11111，111,22, 10分,，,，,APADDP(3,1,0)(0,)(3,1,)1111，1111,1,3APEACAPm平面？,，解得， ,？,，,3031011211，,(2)存在点使面此时12分
15、 PEAC,AP/DPPE:3:2,11x20.(1)是奇函数， f(x),ln(e，a),xx 则恒成立. ln(e，a),ln(e，a),xx ？(e，a)(e，a),1.,xx2x,x 1，ae，ae，a,1,？a(e，e，a),0,？a,0.又在,1，1上单调递减， ？g(x),g(,1),sin1,？g(x)max2 (2)只需,，,sin11tt在上恒成立, ,1，,2？，,(1)sin1101.tt,在,，,恒成立 ，,，1,0t,2, 令则 h(,),(t，1),，t，sin1，1(,1),2,1，sin1，1,0,tt,t,1,2 . ？t,1？,，,而恒成立ttsin10,
16、2tt,，,sin10,lnx2 (3)由(1)知 f(x),x,？方程为,x,2ex，m,x第 11 页 共 14 页 lnx2 令， f(x),f(x),x,2ex，m12x1,lnx ， ,1？f(x),2x, 当上为增函数; x,(0,e)时,f(x),0,？f(x)在(0,e11, 上为减函数， x,e,，,)时,f(x),0,？f(x)在0,e)111fx,fe, 当时， x,e()().1max1e22 而， f(x),(x,e)，m,e2、在同一坐标系的大致图象如图所示， ？函数f(x)f(x)121122me,me ?当时，方程无解. ,即,，ee1122me,me ?当时，
17、方程有一个根. ,即,，ee1122me,me ?当时，方程有两个根. ,即,，ee21.?椭圆C的焦点在x轴上， 由椭圆上的点A到F、F两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.; 1233221=1，于是=3;又点A(1,) 在椭圆上，因此得bc 422，,1.22b2x2所以椭圆C的方程为， ，,yFF1,(3,0),(3,0).焦点124?P在椭圆内，?直线DE与椭圆相交， ?设D(x,y),E(x,y)，代入椭圆C的方程得 112212222x+4y-4=0, x+4y-4=0,相减得2(x-x)+42(y-y)=0,112212124?斜率为k=-1 1?DE方程为-1= -1(-
18、),即4+4=5; yxxy4(3)直线MN不与y轴垂直，?设MN方程为my=x-1，代入椭圆C的方程得 第 12 页 共 14 页 2m22(m+4)y+2my-3=0, 设M(x,y),N(x,y),则y+y=-, 1122122m，43y=-,且?0成立. 12y2m，4222412(4)mm，23m，112又S=|y-y|=，设t=?m，3?OMN1222m，422m，4,则 3112-2S=,(t+)=1-t0对t?恒成立，?t=时t+取33?OMN9.直角三角形变焦关系：1ttt，t即;得最小，S最大， ?OMN此时m=0,?MN方程为x=1 22. 解:(1)由-? 得-?， a
19、S,，21aS,，21nn，1nn,1,?得，aaSS,2()nnnn，,112分 ？,aa3nn，1n,1; ？,a3n互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A)4分 ？,？,bbdd26,3535分 4、根据学生的知识缺漏，有目的、有计划地进行补缺补漏。？,bn36n5.圆周角和圆心角的关系:7分 n，1(2)因为 abn,3,3nn，22对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；-9分 所以 3nn ,cn，1nn3310分 第 13 页 共 14 页 所以2、在教师的组织和指导下，通过自己的主动探索获得数学知识，初步发展创新意识和实践能力。1,2n ,0ccn，1nn，1312分 (5）切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.1 ccc,nn，11313分 抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。所以1 cc,nn，13 14分 本册教材在第五单元之后安排了一个大的实践活动，即“分扣子”和“填数游戏”。旨在综合运用所学的知识，从根据事物的非本质的、表面的特征把事物进行分类，发展到根据客观事物抽象、本质的特征进行不同方式的分类，促进孩子逻辑思维能力的发展。同时，安排学生填数游戏，旨在对孩子的口算能力、逻辑思维能力和观察能力的训练，感受数学的乐趣!第 14 页 共 14 页