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1、第四章高等数学试题及答案一、填空题： d1. 设是连续函数，则 f(x)f(x)dx,f(x).,dx2. 设,是连续函数, 则 f(x)f(x)dx,f(x)，c.,x,x2x,x23. 函数y,(e，e)y,(e,e)与 是 同一函数的原函数， 12因为, y,y.124. 积分曲线族y,2,cosx，0,1的一条通过点的积分曲线为 y,sinxdx,455. 5xdx,x，c ,1352(1)42,x2226. dx,2x,x，x，C ,35x二计算下列不定积分： 22xx，1,111dx,dx,(1,)dx,x,arctanx，C 2,22,1，xx，1x，1423x，3x，11232
2、 dx,(3x，)dx,x，arctanx，C,22x，1x，1222，21111x，x，x，,3 dx,dx,，dx,222222,(1)(1)1xx，xx，x，x,1 ,arctanx,，C. x31xxx4 (2e，)dx,2edx，3dx,2e，3ln|x|，C,xxxxxee(3)3xxx5edx,edx,，C,，C 3(3),e，ln(3)ln3126 secx(secx,tanx)dx,(secx,secxtanx)dx,tanx,secx，C,1 班级 姓名 学号 x1，cosx1127 cosdx,dx,(1，cosx)dx,(x，sinx)，C,22221118 dx,dx
3、,tanx，C,21，cos2x22cosx22cos2xcosx,sinx9 dx,dx,(cosx，sinx)dx,sinx,cosx，C,cosx,sinxcosx,sinx14210 dx,dx,2csc2xd(2x),2cot2x，C222,cosxsinxsin2x22dxsinx，cosx22或，,dx,secx，cscxdx,tanx,cotx，C. 2222,sinxcosxsinxcosx22cos2xcosx,sinx1111 dx,dx,(,)dx,cotx,tanx，C,222222cosxsinxcosxsinxsinxcosx2x()，x1x3,2212xx312
4、 dx,3,()dx,3x,，C,3x,()，Cx,23ln2,ln333ln3213一曲线过点(e,3),且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲 线的方程. 1解 设该曲线的方程为,，y,fx, 则由题意得, y,f(x),x1所以 . y,dx,lnx，C,x2 2 2 又因为曲线通过点(e, 3), 所以有 3,f(e),ln e，C,2，C, 得 C,3,2,1. 于是所求曲线的方程为 y,lnx，1. 三、在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： 1121dx,d(4x).xdx,d(4,3x). 2. 461x3x3x23. edx,d(e).dx,d(1
5、,x). 4. 231,x2 1112dx,2d(x).dx,d(ln4x).5. 6. x2x111,n,1n7. .xdx,d(x).dx,d 8. ,2xxn,四、计算下列不定积分: 115561. (3,2x)dx,(3,2x)d(3,2x),(3,2x)，C ,21211112. dx,d(1,2x),ln|1,2x|，C,1,2x21,2x2sint3. dt,2sintdt,2cost，C ,t110210114. tanx,secxdx,tanxdtanx,tanx，C,1122211,x,x2,x5. xedx,ed(,x),e，C.,2233x313446. dx,d(1,
6、x),ln|1,x|，C,44441,x1,xxx1,17. dxdxdx,222xxx9,49,49,412x11121122 ,d(x)，d(9,4x),arcsin，9,4x，C,223823429,4x21,(x)3sinxsinx11,3,228. dx, dx,cosxdcosx,cosx，C,secx，C,3,322cosxcosx32x1x19122229. dx,d(x),(1,)d(x),x,9ln(9，x)，C ,2222229，x9，x9，x111111x,210. dx,(,)dx,(ln|x,2|,ln|x，1|，C,ln|，C ,(x，1)(x,2)3x,2x，1
7、33x，11322311. cosxdx,cosxdsinx,(1,sinx)dsinx,sinx,sinx，C,332212. tanxsecxdx,tanx,secxtanxdx,tanxdsecx,3 班级 姓名 学号 123 . ,(secx,1)dsecx,secx,secx，C,32arccosx2arccosx101102arccosx2arccosx13. dx,dx,dx,，C10arccos10(2arccos),222ln10,x1arctanxarctanx214. dx,2dx,2arctanxdarctanx,(arctanx)，C ,(1，x)x(1，x)，x1l
8、n1115. dx,dxx,，C(ln),22xxlnxxxx(ln)(ln)sinxcosxsinx1112216. dx,dsinx,d(sinx),arctansinx，C,4422221，sinx1，sinx1，(sinx)11117. sin2xcos3xdx ,(sin5x,sinx)dx,cos5x，cosx，C,2102五、计算下列不定积分: dx1. ,23(2,x),解：令x,2sint,t,dx,2costdt，则 . ,22,dx2costdt11x2所以 ,settdt,tant，C,，C. 3,23222xx(2,)22,，2costdx2. ,23(x，1)dx1
9、令x,tant解 dtant,costdt,sint，C ,2323(x，1)(tant，1)x,，C. 2x，12,9x3. dx ,x4 22令x,3sectx,99sect,92dxd(3sect),3tantdt解 x3时， ,x3sect132 3(1)3tan393arccos ,dt,t,t，C,x,，C2,xcost22x,9u,932x1时，sectanarccos. ,ttdt,dt,t，C,，C,2sectant,tx1xx,1111dx或 arccos ,dx,d,，C,2xx111xx,211x,22xx11dxdux-1时，令x= -u，arccosarccos,，
10、C,，C ,22u,x11xx,uu,dx9. ,21，1,x令x,sintdx111t2解 costdt,(1,)dt,(1,sec)dt ,21，cost1，cost221，1,xtsintx ,t,tan，C,t,，C,arcsinx,，C. 221，cost1，1,x六、计算下列不定积分: 1111 xsin2xdx,xdcos2x,xcos2x,cos2xdx,22211,xcos2x，sin2x，C. 24x2. arcsinxdx,xarcsinx,xdarcsinxd ,xarcsinx,dx,21,x2 ,xarcsinx，1,x，C. 11123333. xlnxdx,ln
11、xdx,xlnx,xdlnx,33311113233 lnln ,xx,xdx,xx,x，C,3339111123334. xarctanxdx,arctanxdx,xarctanx,x,dx,23331，x6 211x1113232 xarctanxdxxarctanx(1)dx,2236361x1x，111322 . ,xarctanx,x，ln(1，x)，C3662x12225. ln(1，x)dx,xln(1，x),x,dx,xln(1，x),2(1,)dx,221，x1，x2 ,xln(1，x),2x，2arctanx，C. ,x6. ecosxdx,解 因为 ,x,x,x,x,x,
12、x ecosxdx,edsinx,esinx,sinxde,esinx，esinxdx,x,x,x,x,x ,esinx,edcosx,esinx,ecosx，cosxde,x,x,x , ,esinx,ecosx,ecosxdx,11,x,x,x,x所以 . ecosxdx,(esinx,ecosx)，C,e(sinx,cosx)，C,22122227. xtanxdx,x(secx,1)dx,xsecxdx,xdx,x，xdtanx,21122 ,x，xtanx,tanxdx,x，xtanx，ln|cosx|，C,2233x,t令x2t2t2tt2tt8. edx3tedt,3tde,3t
13、e,6tedt,3te,6tde,332ttt2tttx23 ,3te,6te，6e，C. ,3te,6te，6edt,3e(x,2x，2)，C,ln(lnx)19.dx, ln(lnx)dlnx,lnxln(lnx),lnxdlnx,xlnx,lnxln(lnx),lnx，c tanx10. 设函数,f(x)的一个原函数为, 求xf(x)dx ,x,tanxtanx，解,xdf(x),xf(x),f(x)dx,x,，Cxf(x)dx= ,xx，tanx2,secx,2，C. x7 班级 姓名 学号 七、计算下列不定积分: 2d(x，3x,10)2x，32,lnx，3x,10，C.1. dx,
14、22,x，3x,10x，3x,1032713x232dx,2. (x,3x，9,)dx,x,x，9x,27lnx，3，C.,x，3x，3321112x12dx,3. (,)dx,lnx,ln(1，x)，C.2,2,x(x，1)x221，x(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.4x，1112x14. dx,(x，1，,)dx222,x，12(x,1)(x，1)1，x1，x一、指导思想：1122 ,x，x，lnx，1,ln(1，x),arctanx，C.22(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.54x，x,834825. dx,(x，x，1,，)dx 3,x
15、,1x，1xx,x1132 ,x，x，x,3lnx,1,4lnx，1，8lnx，C.32xd()dx1126. dx,xxxx3，cos22221，coscos(1，sec)222(3)若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.（切点圆心要相连）xxdtantan122 ,arctan，C. ,x2222，tan2x令u,tan2112或 dx,du,22u3，cosx1，u3，21，u(2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.（直径添线成直角）xtan11u12 ,du,arctan，C,arctan，C. ,22u，(2)22228 10.圆内接正多边形xd(tan)
16、dx1dxx2,ln|tan|，C7. . ,xxx1，sinx，cosx222cos(1，tan)1，tan222x令u,tan2dx12或 ,du,221，sinx，cosx2u1,u1，u1，221，u1，u1x . ,du,ln|u，1|，C,ln|tan，1|，C,u，12(1)定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.32x，1,t3t1dx8.dt3(t1)dt,， ,3，t1t11，x，153.264.1生活中的数3 P24-2921332333,t,3t，3lnt，1，c,(x，1),3(x，1)，3ln(x，1，1)，c22x，1,t,t14x，1,1,2tdt,(2t,4，)dt 9. dx,，t1t1x，1，12 ,t,4t，4lnt，1，c,x,4x，1，4ln(x，1，1)，c21,x1,x11d(1,x)10. dx,dx,dx，,2221，x21,x1,x1,x9.直角三角形变焦关系：2 ,arcsinx，1,x，c8.直线与圆的位置关系9