最新西南交通大学高等数学练习题答案优秀名师资料.doc

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1、西南交通大学高等数学练习题答案精品文档 西南交通大学高等数学练习题答案 ? n xz ?ln zy 所确定，则dz ?0,1,1? ?dx?dy ( ? 2(设幂级数?anx的收敛区间为?3,3?，则幂级数?an?x?1?的收 n?0 n?0 n 敛区间为 ?2,4? (设函数 ?x, f? ?0, y ?x?00?x? 的付氏级数的和函数为S，则S? 1 / 35 精品文档 ? 2 ( 4(设z?f，其中f具有连续的二阶偏导数，则 x ? ?z?x?y 2 = 1x ?f12 1x 2 f2? yx 3 ? ( f22 5(设幂级数?an?x?1?在x?0处收敛，而在x?2处发散，则幂级数?

2、anxn的 n?0 n?0 n 2 / 35 精品文档 ? 收敛域为 ?1,1)(函数 ?n?1?n 关于x的幂级数展开式为 ? ( f?1?x,x?2n?1 x?x?2n?0?2? 3 ? y 7(设函数z?x，则dz? dx?2ln2dy 8(曲线x?t,y?t2,z?t3的切线中，与平面x?2y?3z?6垂直的切线 方程是 x?11 ?y?1?2 ?z?13 z ( 9(设z?z是由方程e?zsin?lna a?0为常数所确定的二元函数，则 dz? yzcose?sin 2 z 3 / 35 精品文档 dx? xzcose?sin z dy( 10.旋转抛物面z?x?y的切平面:x?4y

3、?8z?1?0， 2 平行与已知平面x?y?2z?1. 1 11(微分方程2y?y?y?0的通解为 Y?C1e 2 x ?C2e ?x ， 1 x 2y?y?y?e的通解为 y?C1e2?C2e x ?x ? 12 e( 4 / 35 精品文档 x 12.曲线?:x? ? t ecosudu,y?2sint?cost,z?1?e u3t 在点?0,1,2?处的切线方程为 3(函数f? 1x?4 的麦克劳林级数的第5项为? x4 45 ，收敛域为. 14.(已知函数f?2x?3y?x?y,有一个极值点， 则a?2, b?3， 此时函数f 的极大值为 . ab 15.试写出求解下列条件极值问题的拉

4、格朗日函数:分解已知正数a为三个正数 x,y,z之和，使x,y,z的倒数之和最小L?x,y,z? 1x ? 1y 5 / 35 精品文档 ? 1z ?x?y?z?a? 16函数f?xln?1?x?的麦克劳林级数的收敛域为x?1,1?，f ? 二、单项选择题:请将正确结果的字母写在括号内。 1(二元函数z?f在点处两个偏导数fx?， ?存在是f在该点连续的 fy 充分条件 必要条件 充分必要条件 既非充分也非必要条件 2(函数z?f在点处两个偏导数fx?，fy?存在是 f在该点可微分的 充分条件必要条件 充分必要条件 既非充分也非必要条件 3(设z?z是由方程F?0所确定的隐函数，其中F是可微函

5、数，a,b为常数，则必有 a?z ?x ?b ?z?y 6 / 35 精品文档 2 ?z?z?z?z?z a?b?1bb?a?1?1 ?x ?y ?x?y ?x ?a ?z?y ?1 4(微分方程 dydx 2 ?2 dydx ?y?e特解y的形式为 x * Aex Axex Ax2ex x2ex(若级数?an收敛，则下列结论正确的是 n?1? ? 2 7 / 35 精品文档 an ? n?1? 收敛 ?收敛 n?1 ? n ?an收敛 ?an收敛 n?1 n?1 6(下列级数中条件收敛的是 ? ? n?1 n nn?1 ? ? n?1 n nn?1 ? 8 / 35 精品文档 ? n?1 n

6、 2 n? ?n n?1 n?1n 2 7(曲面2x2?y2?3z2?6在点处的切平面方程为 x?2y?3z?6x?4y?3z? x?y?3z? x?y?3z?6 8( 原点是函数f?xy?y的 极小值点极大值点 驻点却不是极值点 非驻点 9(下列方程中是一阶线性微分方程是 dx?dy?0dy?dx yy?2y?5x xy?2y?5x ? 2 10(设p 为常数，则级数? n?1 n 9 / 35 精品文档 绝对收敛 条件收敛 发散 收敛性与p有关 xx ?xyy 11.设?2x?e?dx?1?edy?y? 是函数u的全微分，则其中一个u为 x x y?x2?yey x2?ey?1 x x?y

7、e ? 2y x ?1 x2 ?e y ? xy ?1?n1? 12.级数?的敛散情况是 ?n?nn?1? 条件收敛 绝对收敛 发散敛散性不能确定 三、计算下列各题: 10 / 35 精品文档 1.设z?f?xy,siny?g，其中函数f,g具有二阶连续偏导数， 2 x 求 ?z?x ， ?z?x ?z?x?y 2 ( 解: 2 2x ?f1?y?g?ye，?z?2y?f1?y2?g?ex?g?ye2x. ?x?y 2. 设u?f，函数f可导，且方程z?ez?2xy?3确定了函数z?z，求 ?u?x ?z?x ?u?x ( 11 / 35 精品文档 因 ?z?x ?z?x ?f?，方程z?ez

8、?2xy?3两端对x求偏导，得 ?z?x 2ye?1 z ?e z ?2y?0， 解得 ? n ?，故 ?u?x ?f? ?z?x ?f? 2ye?1 z 。 3. 求级数? n?0 12 / 35 精品文档 2n?1 的和。 ? 考查幂级数? n?0 n 2n?1 x 2n?1 ，因 lim un?1un n? ?lim 2n?32n?1 n? ?x 2 ?x， 2 所以，当x 13 / 35 精品文档 2 ?1，即x?时，幂级数绝对收敛。在x?1处，原幂级数成 ? 为收敛。故，幂级数的收敛域为?1,1，在?1,1内，设S? ? ?2n?1x n?0 n 2n?1 ， 上式两边对x求导，S?

9、 S?S? ? n?0x0 x11?x 2 n2n ? 11?x 14 / 35 精品文档 2 ，该式两边从0到x积分，得 ? dx?arctanx 又S?0，因此S?arctanx,x?1,1 ? 故? n?0 n 2n?1 ?arctan1? ? 4 4(求原点到曲面z2?xy?x?y?4的最短距离。 设点M?x,y,z?为曲面z2?xy?x?y?4上任一点，则该点与原点距离的平方和为:f?x,y,z?d2?x2?y2?z2，只要求距离的平方和最小即可，约束条件:xy?x?y?4?z2?0，设 F?x,y,z?x2?y2?z2?xy?x?y?4?z2? ?Fx?Fy 由 ? ?Fz?xy

10、15 / 35 精品文档 ?2x?y?1?0?2y?x?1?0?2z?2z?0?x?y?4?z?0 2 ，解得x?1,y?1,z?1 故，原点到曲面z2?xy?x?y? 4( ? 5(求幂级数? n?1 n n x 2n 的收敛域及和函数。 n?1n 因 lim n? 2 un?1un ?lim n? ?x 2 16 / 35 精品文档 ?x 2 所以，当x ? ?1，即x?时，幂级数绝对收敛。在x?1处，原幂级数成 为 ? n?1 n ? n ，收敛。故，幂级数的收敛域为?1,1在?1,1内，设 n ? S? ? n?1 n x 17 / 35 精品文档 2n n2n?1 ?， 上式两边对x

11、求导，S?2?x n?1 x ?2x1?x 2 上式两边从0到x积分，得S?S?又S?0，因此S?ln, ? ?01?x2 ?2x dx?ln 2 x?1,1 6(求幂级数?nn的收敛域及和函数。 n?1 因 ?lim n? an?1an ?lim n? n?1n 18 / 35 精品文档 ?1所以，半径R? 1 ? ?1，幂级数在 西南交通大学2009-2010高等数学II期中考试解答 一、选择题 ? 1、函数f? ? xyx2?y20 x2?y2?0x2?y2?0 在点。 (连续，偏导函数都存在;(不连续，偏导函数都存在; (不连续，偏导函数都不存在; (连续，偏导函数都不存在。、二重积分

12、?xydxdy的值为。 D ( 1; ( 1; 12 ( 19 / 35 精品文档 1 ; ( 1 ?z?z?b? ?yA。、设f为可微函数，x?az?f，则?x a (1; (a; (b; (a?b。 4、设D是以原点为圆心，R为半径的圆围成的闭区域，则 R4R4R4 4 (4; (3; (2; (R。 ? xy d?C D 。 ?fD:0?y?1?x , 0?x?15、设在上连续，则二重积分D 极坐标系下的二次积分的形式为 D。 (? 2 fd? 表示成 20 / 35 精品文档 ? d?frdr 0 1?cos? 1 ; (?;(? 2 ? d?d? cos?sin? frdrfrdr

13、; 。 ? 2 d?C 0 0( frdr 2 ? 1cos?sin? 0 二、填空题 y)1?lnx dx?dy2 z?dz?xx1、设，则，在点P处 21 / 35 精品文档 y x yx y 的梯度 grad zP? , )。 2、设f?x? x? ，则fx? y 3、D由曲线?1所围成的闭区域，则 22 ?dxdy D =2?。 98 4、函数u?xyz在点处从点到点的方向导数是13。 ?01 ?l?grad u?l?， 13， ?u?098?l?grad u? ?l13 ?y?1?2x ?x?1y?1z?2 152在点处的切线方程为5、曲线?，法平?z?x1?2?5?22? 22 /

14、 35 精品文档 面方程为x?2y?5z?13?0。 ? ?s?1,?2,?5n1,?2,?5?。 注意:，点;法平面方矢?s?6、改变积分次序 ? ?1 dy? ? ?2arcsiny fdx?dy? 1 ?arcsiny arcsiny fdx? ? ? dx? sinx x2 ?sin fdy 。 三、计算题 23 / 35 精品文档 x 1、求?dx?ysindy。 y0x 解:先交换积分次序 11 xx1 dxydy?dyydx? ?yy30x00 111y 2、求椭球面2x2?3y2?z2?9的平行于平面2x?3y?2z?1?0的切平面方程。 2x02?3y02?z02?9000解

15、:设切点为，则， 过切点的法向量为: n?/?x0? 4x06y02z0 ?t2?32， 得 11 t,y0?t,z0?t 2x02?3y02?z02?922，代入，得t?2， 切点为或，n?， 故切平面方程为:2x?3y?2z?9?0或2x?3y?2z?9?0。 ?x?ay 24 / 35 精品文档 ? z?f3、已知具有二阶连续偏导数，利用线性变换?x?by变换方程 ?2z?2z?2z?2z?3?0?0 a,b?x?y?y2?x2 。问:当取何值时，方程化为。 ?z?z?z?z?z?z ?a?b ?。 解: ?x?， ?y 22 ?2z?2z?2z?2z?2z?2z2?z2?z?2?2?a

16、?2ab?b2222 ?， ?y?x?2， ?2z?2z?2z?2z?a2?b2 ?x?y? ?2z?2z?2z?3?22 ?x?y?x?y 所以 2 ?2z?2z2?z?2?2?0 ? 2 ?2z ?02 25 / 35 精品文档 ?时，a,b应满足一元二次方程1?3r?r?0且2?3a?3b?2ab?0。 r1,2 解得 ?2z?3?0? 2，a,b取其任一值，且a?b时，方程化为?。 y?z222 4、x?y?z?xf,f可微，求 x?x解 : 设 yF?x2?y2?z2?xf x ，由公式 yyy 2x?f?xf?2 F?zxxx?x? ?xFz2z 1 P 3的平面中，求一平面，使之

17、与三坐标面围成的在第一卦5、在经过点 26 / 35 精品文档 限中的立体的体积最小。 1xyz P?1 3abc解:设过点的平面截距式方程为，点P满足方程 即 211?1ab3c 平面与三坐标面围成的在第一卦限中立体的体积为 V? 1 ?a?b?c6 ?211? F?abc?1? ?ab3c? 由拉格朗日乘数法，设 ?F?F?F211 ?0?0?0?1?a?b?cab3c由，及得最值点的坐标a?6,b?3,c?1 xyz ?1631所求平面为即x?2y?6z?6。 6、求二元函数z?x2?4y2?9在区域x2?y2?4的最大值、最小值。 ?zx?0 解:zx?2x,zy?8y。令? 解得驻点

18、:在区域内z?9 z?0?y 27 / 35 精品文档 在边界上x2?4?y2代入z?4?3y2?求出导数为0的点y = 0 这时x?2 z=13, z=13,z=z=25 比较得最大值:z=z=25，最小值:z=9 7、设区域 D: 221lndxdy?0?x?y?1?2，证明:D。 1 ?x2?y2?x2?y2?2xy?2?1 解:在区域D内，4。 ln?0，所以 22 ln dxdy?0?D 。 四、每小题6分，共计12分 f?0?1、设 ,x2?y2?0,x2?y2?0 ，用方向导数的定义证明:函数f在 原点沿任意方向的方向导数都存在。 lim f?f 28 / 35 精品文档 证明:

19、因为 ?0 ? ?2cos?sin? ?lim?cos?sin?0?2 ， ?f ?cos?sin?l所以。由于式中?为任意的方向角，这说明函数沿任意方向的 方向导数都存在。 ?f ?x1?dxdy, x?0,y?0,t?0?2?22 f?x?y2?t2x?y ?0t?0?2、设，若f是连续可微的函数，求f。 解:t?0时， f? x2?y2?t2 ? x1? fx2?y2 ? 2 29 / 35 精品文档 dxdy?cos? d?)dr t ?)dr t ?f?f?t2?2f?0f?f?t?f求导得。所以满足微分方程?。 解得 一、问答题 1. 求下列函数的定义域: y=x?4, y= 14

20、? x , 设f 的定义域是0,1, 求f 的定义域. 本题2分 参考答案: 解: D= , D= , 由 ln?x?0,1 可得其定义域为 1,e . 2. 若f=t+ + t+5t , 证明f=f . 本题2分 参考答案: 证明: f=1 t +t +5t+1 t =f . 3. 设f=x+6x? , 求f+f 及= 1f?f 及 中哪个是奇函数哪个是偶函数? 本题2分 参考答案: 解: ?= 1 f+f=x ?是偶函数, = 1 f?f=6x 是奇函数.4. 求下列极限: 30 / 35 精品文档 lim? x?1 ?2x+1 x?1 lim? h?0 ?x2h ; x? x?1 t ?

21、= 1 , 并指出 x ; 2x21 ? lim? ?x?1; lim? x?x+x x?3x2 +1; lim? x?4x?6x+x2 ?5x+4; lim? n?1+2+3+?+ n; lim? n? n ; lim? x?1 参考答案: 解: lim? x?1 x ?2x+1 x ?1 = lim? x?1 = lim? x?1 x?1 x+1 =0 . lim? h?0 ? x h = lim? h?0 ?=2x . lim? x? x ?1 x ?x?1 = lim? x? 1? 1 x? 1 x ? 1 x = 1 . lim? x? x +x x ?x +1 = lim? x?

22、1 x + 1 x 1? x + 1 x =0 . lim? x?x ?6x+x ?5x+= lim? x? = lim? x?x?x?1 = . lim? n? 1+2+3+?+ n = lim? n? n n = lim? n? 1 = 1 . lim? n? n = lim? n? 1 = 1 . lim? x?1 = lim? x?1 x +x? = lim? x?1 =1. 计算下列极限: lim? x?0 sin?x 31 / 35 精品文档 x ; lim? x?0tan?3x x ; lim? x?0sin?2x sin?5x; lim? x?0 xcot?x ; lim? x

23、?01?cos?2x xsin?x; lim? x?+? x本题2分 参考答案: 解:根据重要极限可得 lim? x?0 sin?x x = . lim? x?0 tan?3x x = lim? x?0 sin?3x x 1 cos?3x =. lim? x?0 sin?2x sin?5x = lim? x?0 sin?2x x x sin?5x = . lim? x?0 xcot?x= lim? x?0 x sin?x cos?x=1 . lim? x?0 1?cos?2x xsin?x = lim? x?0 1?cos?2x x x sin?x = lim? x?0 sin?2x x 1

24、1+cos?2x =. lim? x?+? x= lim? x?+? x x +1 +x = lim? x?+? 1 1+ 1 x +1 = 1. 利用夹逼准则证明: lim? n? =1 ; lim? x? =1参考答案: 证明:因为 n n +n ? n n + + n n +2 +?+ n n +n ? n n + , 而 lim? n? n n + = lim? n? n n +n =1 , 所32 / 35 精品文档 以 lim? n? =1 . 因为 n n +n ? 1 n +1 + 1 n +?+ 1 n +n ? n n +1 , 而 lim? n? n n +1 = lim

25、? n? n n +n =1 , 所以 lim? x? =1 .7. 研究下列函数的连续性: f= x, ?0?x?1,2?x,?1 f= x, ?1?x?1,1,x1. 本题2分 参考答案: 证明:仅需要讨论在 x=1 点的连续性.因为 lim? x? 1 ? f= lim? x? 1 ? x =1 , lim? x? 1 + f= lim? x? 1 ? =1 , 所以 f 在 x=1 点连续. 仅需要讨论在 x=?1 点的连续性. 因为 lim? x? 1 ? f= lim? x? 1 ? x=1 , lim? x? 1 + f= lim? x? 1 ? 1=1 , 所以 f 在 x=1

26、 点连续. 同理 lim? x? 1 ? f= lim? x? 1 ? 1=1 , lim? x? 1 + f= lim? x? 1 ? x=?1 , 所以 f 在 x=?1 点不连续.8. 证明方程 x?3x=1 33 / 35 精品文档 本题2分 参考答案: 证明: 设 f= x ?3x?1 , 显然是连续的, 又 f=1?3?1=?3 f= ?6?1=250 , 由零点定理知存在 c? , 使得 f= c ?3c?1=0 , 即方程 x ?3x=1 至少有一个根介于1和2之间. 至少有一个根介于1和2之间. 9. 求下列函数的导数: y= x ; y=x; y= x1.6; y= 1x ; y= 1x; y= x x本题2分 参考答案: 解: y =x , y = x ?1/, y =1.x 0., y =? 1x x , y =? x , y = 1x 11/10. 求曲线y=cos?x 上点 处的切线方程和法线方程. 本题2分 参考答案: 解: k=?sin?x | x=/=? , 所以切线方程和法线方程分别为: y? 1 = , y? 1 =? 11. 求曲线y= e x 在点处的切线方程. 本题2分 参考答案: 解: 34 / 35 精品文档 k= e x | x=0 =1 , 所以切线方程和法线方程分别为: y?1=x , y?1=?x . ,1 35 / 35